Khôlle : Suites et valeurs d'adhérence

[Ben314]

Bon, j'ai pas regardé "jusqu'au bout" comment mener la preuve, mais je suis à peu prés convaincu que ta dernière inégalité n'est pas trés maline : dans la traduction exacte de l'hypothèse :
Il risque d'être utile de faire tendre n vers l'infini pour un m fixé...

Bon, ensuite (toujours sans réfléchir), tu pose L=lim_sup(Vn) qui existe vu que Vn est majoré par M et il te reste à montrer que lim_inf(V_n)=L, c'est à dire que, pour tout epsilon>0, on a Vn>L-epsilon pour n assez grand...

[benekire2]

d'accord. Et est-ce "bon" si je réécris la première condition comme ceci :



En fait j'en suis pas trop convaincu puisque dans la première "version" de l'inégalité , je pouvais facilement voir le -epsilon mais l'inégalité n'est pas dans "le bon sens"

En revanche, bien qu'il faille montrer que pour n assez grand on ai v(n)>L-epsilon
j'ai du mal a visualiser cette lim sup ..

[Ben314]

Bon en réfléchant un peu (dés fois ça peut servir... :zen:), la seule soluce qui me vient à l'esprit est quand même pas triviale....

Début d'idée : que peut tu dire de () par rapport à ?
et ?

[benekire2]

ben j'ai v(qn)

[Ben314]

ben j'ai v(qn)<qv(n) et v(qn+r)<qv(n)+v(r)

peu nettement mieux faire....

[benekire2]

faire mieux .. je peut réécrire v(qn)
joli mais pas forcément utile. Il doit y avoir bien mieux :) Mais je vois pas trop même si je sens un truc avec des majorants ...

[Ben314]

Je veux... nettement mieux.
Ca donne quoi lorsque ?

[benekire2]

ça donne v(2n)c'est suffisamment précis ou tu veut encore mieux ?
PS: Oui effectivement ca sert a rien de remettre les U .. mais bon, j'avais pas d'idées !!

[Ben314]

Je veux... nettement mieux.
Ca donne quoi lorsque ?

Je vient de voir que la formule que j'aimerais que tu trouve, en fait elle est plus facile à voir sur la suite Un que sur la suite Vn :
Que peut tu dire de U(qn+r) par rapport à Un ?
Qu'est ce que cela signifie en terme de V? ?

[benekire2]

j'ai


Mais tu vas une nouvelle fois me dire qu'on peut affiner je suppose :hum:

:zen:

Edit: Je ne vois aucune formule avec u en fait ... parce que la seule chose que j'arrive a avoir c'est u(qn+r)<qu(n)+u(r)

[Ben314]

la seule chose que j'arrive a avoir c'est u(qn+r)<qu(n)+u(r)

C'est bien ce qu'il faut voir (ta première formule n'est toujours pas terrible).
ça se traduit comment en terme de V_queque_chose cette formule ? (on poura évidement poser m=qn+r une bonne fois pour toute pour simplifier)

[benekire2]

Je crois aussi et surtout que l'exercice me dépasse pas mal :cry:

[benekire2]

On peut écrire avec qn+r=m:

Et là je me is qu'il doit y avoir une autre majoration ou alors c'était pas le bon v_quelquechose !!

[Ben314]

Demandez la deuxième édition, demandez...
Si tu as une formule avec des U? et que tu as un changement de variables du style Vn=Un/n, il faut remplacer TOUT les U? par des V? si tu veut en faire quelque chose (pour moi, c'est comme si tu fait un changement d'unité mètresYards en physique : il faut absolument changer TOUTES les valeurs sinon, bien que ce soit pas faux, c'est franchement "piège à con" une formule avec la moitié exprimé en métres et le reste en yards !!!)

Donc ici, tu obtient :

qui, si r est le reste de la division de m par n () et que m est beaucoup beaucoup plus grand que n, cette inégalité dit "presque" que (et c'est ce qu'on veut montrer : que Vn est toujours "assez grand")
Il reste évidement à écrire proprement ce "presque"...

[benekire2]

effectivement, ... en plus ça fait deux fois que j'exprime pas tout en fonction de v , en plein dans "le piège à cons" :mur:

Bon alors maintenant je suppose qu'on peut travailler à n fixé.

Question annexe : On veut toujours montrer que v(n)>m-epsilon ou c'est une démo totalement différente ?

[benekire2]

Travaillons à n fixé. ( Je suis pas sur que ce soit vraiment ce que tu attende)

Alors (r/m)v(r) pourra être supérieur à -epsilon pour n grand.

De même , on peut trouver un rang N tel que m>N => (nq/m)v(n)> v(n)-epsilon

On aura donc a partir d'un certain rang v(m)
Est-ce correct ?

[Ben314]

Question annexe : On veut toujours montrer que v(n)>m-epsilon ou c'est une démo totalement différente ?

Non, c'est bien toujours ça qu'on veut montrer. (sachant que, par def de m, il existe certains Vm aussi proche qu'on veut de m...)

Par contre, si on veut, le calcul qu'on vient de faire (et qu'on peut encore un peu continuer...), on peut parfaitement le faire avant d'écrire :
"Soit m la limite sup de Vn. On fixe un epsilon>0..."
vu que pour le moment, on utilise ni m ni epsilon....

[benekire2]

Tu veut dire que dans ce que j'ai fais il faut que j'enlève les epsilon et que je "justifie" proprement sans ces fameux epsilons ?

[Ben314]

Travaillons à n fixé. ( Je suis pas sur que ce soit vraiment ce que tu attende)

Alors (r/m)v(r) pourra être supérieur à -epsilon pour n grand.

De même , on peut trouver un rang N tel que m>N => (nq/m)v(n)> v(n)-epsilon

On aura donc a partir d'un certain rang v(m)<v(n)-2epsilon

Est-ce correct ?

C'est (évidement) la bonne méthode, mais à mon avis, tes inégalités sont foireuses du fait qu'on ne connait pas le signe de Vn.

Perso, en rédigeant tout depuis le début, j'aurais écrit ça :

Soient deux entiers quelconques.
On effectue la division euclidienne de par : avec .
On a
Donc, si on pose (i.e. ) on a d'où, comme


Conclusion, pour tout , on a

En écrivant ça "propre", je vient de me rendre compte qu'en fait, on peu montrer plus fort que ce qui est nécessaire ici...

[Nightmare]

Salut les Ben !

Autre moyen de conclure : on a effectivement donc .
On conclut en fixant m et en passant à la limite sup pour n, on obtient quel que soit n et en particulier

:happy3: