Khôlle : Nombres complexes

[Nightmare]

Salut !

Voici la khôlle de cette semaine : un exercice rapide de construction et deux exercices un peu "originaux".

I] Les complexes comme des points

On considère le plan formé des couples de réels (x,y). On choisit d'additionner et de multiplier ces couples de la façon suivante :




Questions :

. 1) Vérifiez que l'opération est commutative.
Le nombre réel 1 est un élément dit neutre pour la multiplication entre réels, au sens ou pour tout nombre réel x, .
Quel couple (a,b) joue ce rôle pour l'opération ? Montrer que pour tout couple (x,y), il existe un couple (x',y') tel que

. 2) Expliquez pourquoi on peut "identifier" un nombre réel x, et le couple (x,0).
Notons . Vérifiez que "", puis que pour tout couple (x,y), ""

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II]Partie entière du plan

Préambule :

a)Simplifiez
b) Exprimer et en fonction de


Dans la suite de cet exercice, une partie X du plan est dite entière si deux points quelconques de X sont toujours à une distance entière l'un de l'autre. On note E l'ensemble des points du cercle trigonométrique à coordonnées rationnels et F l'ensemble des points d'affixe z², ou z est l'affixe d'un point de E.

. 1) Donnez l'exemple d'une telle partie contenant au moins 3 points non alignés

. 2) En utilisant le préambule, montrez que E est un ensemble infini, que F aussi, et que .

. 3) Montrez que deux points de F sont toujours à distance rationnelle l'un de l'autre.

. 4) Montrez que pour tout , il existe une partie entière du plan contenant n points cocyliques.


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III]Un morceau de parabole

Dans le plan - identifié à - on considère une partie P stable par soustraction. On suppose qu'elle contient le morceau de la parabole d'équation y=x² pour . Montrer que P est le plan tout entier.

Quelques commentaires :

Les premiers élèves ont eu la khôlle aujourd'hui, l'exercice 1) était essentiellement oral c'est pour ça que ce n'est pas très clair ainsi présenté. Pour la question 2. de cet exercice, j'ai mis entre guillemet les égalités demandées, il faut essayer de voir pourquoi.

J'ai volontairement évité de faire une khôlle collée aux exercices types sur les complexes, j'ai plutôt préféré montré la puissance qu'a le calcul complexe, lorsqu'on compléxifie le plan. J'ai aussi volontairement laissé le dernier exercice, difficile, sans indications. Les élèves aujourd'hui n'ont rien trouvé de concret, mais c'était intéressant de les voir réfléchir sur ce genre de problème "ouvert".

Bon courage
:happy3:

Edit : petite erreur, le topic devrait être dans la section "lycée", si un modo passe par ici

[benekire2]

Salut ! Merci pour l'exo :happy3:

Le I on va dire que c'est la construction "classique" je la connaissais déjà.

J'attaquerais l'exo "réellement" demain, je posterais certainement dans la soirée mes réponses au préambule du II.

PS: En fait je fais la II-a direct :

On met e^(i*pi*T/2) en facteur puis on simplisie pour qu'il ne reste qu'un produit et on tombe sur

[yos]

Salut.

C'est quoi G dans le II ?

Le III on l'a déjà posé avec un groupe : pour tout x de [0,1],, donc [0,1] inclus dans G etc.

[Nightmare]

Salut.

C'est quoi G dans le II ?

Le III on l'a déjà posé avec un groupe : pour tout x de [0,1],, donc [0,1] inclus dans G etc.

Notations modifiées. Pour le III] c'est possible mais cela m'étonnerait que les lycéens l'aient déjà vu, en tout cas, pas les miens !

[Nightmare]

Salut ! Merci pour l'exo :happy3:

Le I on va dire que c'est la construction "classique" je la connaissais déjà.

C'est la construction géométrique de C, mais à mon avis pas la plus naturelle.

On met e^(i*pi*T/2) en facteur puis on simplisie pour qu'il ne reste qu'un produit et on tombe sur

Pas loin !

[benekire2]

sin(x)=2sin(x/2)cos(x/2)=2tan(x/2)cos²(x/2)

en posant t=tan(x/2) on peut remarquer que cos²=1/(1+t²) et donc de cette façon on a :

sin(x)=(2t)/(t²+1)

de façon presque analogue on a cos(x)=cos²(x/2)-sin²(x/2)=cos²(x/2)(1-t²)=(1-t²)/(1+t²)

C'est un exercice assez courant il me semble ?

Pour la première j'ai oublié les barres de valeur absolue autour du sin((T+T')/2)

[Nightmare]

Le calcul est effectivement classique, très utile pour intégrer des fonctions trigo.

Sinon, c'est sin (T-T')/2 et non T+T' !

[busard_des_roseaux]

Bj,

j'ai considéré un triangle rectangle pythagoricien (3,4,5)

puis une formule de Moivre "rationnelle"



qui en donne une infinité


pour le module, c'est


lire içi

et là

[benekire2]

Le calcul est effectivement classique, très utile pour intégrer des fonctions trigo.

Sinon, c'est sin (T-T')/2 et non T+T' !

:zen: Oups , erreur de frappe ! J'avais pourtant écrit ça correctement sur ma feuille..

[busard_des_roseaux]

après la suite, c'est de montrer que E est un sous groupe multiplicatif
dense dans ?

réfléchissons..

a) le sous-groupe, évident

b)

on peut s'inspirer de cet

algo

pour obtenir la densité de manière constructive

[benekire2]

Pour la II-1 ... je me mouille pas trop, prenons les points d'affixe 0 ; e^(i*pi/3) et e^(i*2pi/3)

[Nightmare]

C'est bon pour l'exemple !

[Le_chat]

Salut! juste pour signaler une petite erreur: on pose plutôt i=(0,1) non?

[Nightmare]

Bien entendu, c'est corrigé merci :happy3:

[benekire2]

Dit moi si la II-2 ça va .... :
Pour que sinx et cosx soient rationnels il suffit que t c'est à dire tan(x/2) le soit, or la fonction tangente étant bijective de ]-pi/2;pi/2[ dans R il existe donc une infinité de ces t. Cela est il suffisant ? Sinon en remarquant que z² a pour argument le double de celui de z et est aussi sur le cercle unité, via la formule sin(2x)=2sinxcosx on s'en sort très très bien.
Pour la 3 on va bien sûr utiliser le "lemme" a- mais je réfléchis encore au sin((T-T')/2) pour montrer qu'il est rationnel.
Pour la 4, je pense "agrandir" le cercle du 3, mais j'en suis pas encore là :zen:

[Nightmare]

L'idée est bonne pour les 2 premières. !

[busard_des_roseaux]

Dit moi si la II-2 ça va .... :
Pour que sinx et cosx soient rationnels il suffit que t c'est à dire tan(x/2) le soit

donc E est stable par doublement de l'arc.

comme
la condition est aussi nécessaire

par contre tan(x) rationnelle n'entraine pas cos(x) rationnel

[benekire2]

La distance entre deux points de F vaut ainsi il suffit de montrer que est rationnel.

Il est facile de vérifier que est rationnel.

Cependant comment arriver à montrer que est rationnel ? Merci !!

PS: Pour la 4 je comptais dire que les points de F sont a une distance égale à avec p et q des familles d'entiers. Je voulais donc multiplier le rayon du cercle par le ppcm des q_i sauf que là on est sur un ensemble infini .. Est-ce la bonne méthode ou pas ? :happy2:

[benekire2]

donc E est stable par doublement de l'arc.

comme
la condition est aussi nécessaire

par contre tan(x) rationnelle n'entraine pas cos(x) rationnel

Salut busard!

Il faut bien entendu que |(2t)/(t²+1)|=<1 [*]pour que ce soit le cosinus d'un réel.
Si t est rationnel, alors 2t aussi, et t²+1 réellement, par passage au quotient ça reste rationnel. Je vois pas pourquoi avec la condition [*] et tan(x/2) rationnel on a pas cos(x) rationnel ?? :doh:

[benekire2]

oups, étant dans F, j'ai trouvé, ... les arguments Theta/2 et Theta'/2 sont des arguments d'éléments de E, donc c'est tout bon pour cette question, me reste la dernière de cette partie !