Khôlle : Suites et valeurs d'adhérence

[benekire2]

Effectivement !!

Bon, mantenant je voi plus trop de démo valable en fait ...

[Finrod]

En utilisant la définition du sup, cherche une suite extraite de qui va tendre vers la limsup

[benekire2]

je vois bien qu'il faut qu'il faut montrer qu'il n'y a qu'un nombre fini de termes de u supérieurs à limsup, mais chaud ..

Je sais qussi que pour n>N on a limsup

[Finrod]

Non, cette affirmation aussi coince.

Imagine une suite convergente décroissante. Elle est toujours superieure à sa lim sup.

EDIT : par contre, pour tout e positif, il y a un nombre fini de termes superieurs à e+limsup

[benekire2]

EDIT : par contre, pour tout e positif, il y a un nombre fini de termes superieurs à e+limsup

C'est précisément ça qu'il faut que je prouve :id:

[benekire2]

Je pense tenir ma preuve

Comme je l'ai dit il existe N tel qu'a epsilon fixé on ait n>N => limsupn>N on a u(m)n>N => u(m)=limsup+epsilon[/B] il faut que m<n c'est à dire .. qu'il n'y a qu'un nombre fini de termes de u pouvant le vérifier.

Désolé pour la flemme du tex.

Est-ce que ça retranscrit l'esprit ? C'est un peu tirer par les cheveux je dois avouer !!

[Finrod]

Utilise la définition de la convergence et le fait que la suite des sup converge vers la lim sup.

Ensuite, reste plus qu'a vérifer que c'est vrai pour un sup pris à un rang fini. Et c'est la définition du sup qui le donne.

[benekire2]

c'est grosso modo ce que j'ai fais. :we:

[Finrod]

OK, maintenant, ça prouve pas que la limsup est une valeur d'adhérence...

ça prouve juste qu'elle est le sup des valeur d'adhérence. (du moins, c'est facile à voir à partir de ça)

Il y a donc une "existence" à montrer. donc faut trouver une sous-suite qui converge vers la limsup (tu l'as quasiment)

[benekire2]

OK, maintenant, ça prouve pas que la limsup est une valeur d'adhérence...

ça prouve juste qu'elle est le sup des valeur d'adhérence. (du moins, c'est facile à voir à partir de ça)

Il y a donc une "existence" à montrer. donc faut trouver une sous-suite qui converge vers la limsup (tu l'as quasiment)

Et merde , j'ai prouvé deux fois la même chose .. mais j'ai toujours pas prouvé que limsup était valeur d'adhérence ...

[benekire2]

Donc je reprend, faut que je montre qu'on a une infinité de termes de u tels que limsup -epsilon
Or il n'y a qu'un nombre fini de termes de u "au dessus" de l'intervalle. Reste a montrer qu'il y en a une infinité au dessus de limsup-epsilon.

Pareil on peut écrire n>N => limsup-epsilon
après j'y réfléchis.

[Finrod]

Construire ton infinité de point va finalement être équivalent à trouver une sous-suite qui converge vers la lim sup.

[benekire2]

je veut bien, mais j'ai vraiment du mal a extraire cette suite ...

[benekire2]

En fait, c'est bon, je viens de conclure.

Grâce à la définition de sup j'ai

pour tout n,
m>n => limsup-epsilon
on peut extraire notre suite.

[Finrod]

Attention, c'est "il existe m tel que"

[benekire2]

Attention, c'est "il existe m tel que"

Oui pardon :id:

[benekire2]

Pour l'application :

u est bornée car convergente. v est donc bornée.

il "suffit" donc de montrer que liminf u < liminf v et limsup v < limsup u

Et là je commence a réfléchir :zen:

[Nightmare]

Merci à Finrod d'avoir pris le relais, j'étais justement en khôlle en cette fin d'aprem. L'exercice a été réglé par les 3 en moins de 40 minutes. Pour ça, pas de miracle, ils ont tous dès l'instant où ils ont fini de lire l'exo fait, à mon grand contentement, un dessin à partir duquel ils ont sortis toutes les informations nécessaires aux démonstrations.

Voila l'exo donné dans les 20 minutes restante de la khôlle :

est une suite réelle vérifiant .

On suppose qu'il existe un réel M tel que pour tout n .

Montrer que converge

(On pourra évidemment appliquer ce qui a été fait précédemment !)

[Finrod]

Mais... tu met tes exo sur le net avant de les poser ?

Tu ne crains pas qu'un d'entre eux s'en rende compte un jour ?

[benekire2]

Ben en même temps c'est pour eux, si ils vont les voir avant ça sert a quoi ?
Bon moi je continuerais demain.