Khôlle : Pour les cancres

[Dinozzo13]

Alors comment dois-je procéder ?

[Djmaxgamer]

Et bien un contre exemple suffit, (essaye d'en trouver un plutôt que de reprendre celui que je t'ai présenté).

[benekire2]

Une question sur la 2a ;
si on utilise bezout on a :

a premier avec b et c ; d premier avec b et c. Mais j'ai du mal a voir comment on va en déduire que PGCD(a+c,b+d)=1 . J'ai essayé rapidement par l'absurde mais ca n'a rien donné.
Merci!

[Dinozzo13]

Salut !
Pareil, je suis bloqué au 2°)a)

[Ben314]

Bon, pour la 2) et, par hypothèse, , c'est à dire .
Le but est de montrer que est irréductible, c'est à dire que et sont premiers entre eux.
Or (indic de Nightmare), pour montrer qu'il sont premier entre eux, il suffirait de trouver deux entiers et tels que sauf que, si on prend u=... et v=... alors...

[benekire2]

et ba c'est comme ça que j'avais commencé, mais j'ai pas eu le courrage d'écrire

u=-b et v=a ...

[Nightmare]

C'est bon pour le moment!

[benekire2]

J'aurais une question, sur la I-2-c :

J'arrive a montrer que la somme x+y donne un rationnel irréductible, mais j'arrive pas a montrer que z peut être écrit sous forme de somme de deux rationnels, comment fait on ? Merci ! :id:

[Ben314]

Ben, on traduit propres les hypothéses :
(irréductible) fixée , on cherche (irréductibles) telles que : Ce qui équivaut à ...

Indics : Penser (évidement) à Bézout et ne pas oublier que doivent être positifs...

[benekire2]

bon alors bezout fournis que a/b et c/d sont irréductibles. Je sais pas si c'est l'utilisation optimale de cet indice ... et pour le deuxième indice on trouve aue a,c=

[Nightmare]

Salut,

par Bezout, on sait qu'il existe a et b uniques tels que ae-bf=1 avec 0 <= a <=e. Avec ça et le dernier post de Ben, tu devrais conclure !

[benekire2]

Je suis désolé , mais j'y arrive toujours pas ...

du coup a et b sont premiers entre eux comme e et f. donc si on pose c=e-a et d=f-b

j'aimerais bien montrer qu'il existe u et v tel que fu-bu-rv+av=1 et c'est là que je plante. :marteau:

[Nightmare]

Et pourquoi pas simplement u=a et v=-b ?

Edit : du coup, petite erreur, il fallait prendre a et b tels que be-af=1.

[benekire2]

fu-bu-ev+av=1 avec u=a et v=b on a : af-ab-eb+ab=af-eb=-1 et c'est gagné.


Maintenant je vais réfléchir un peu à la II-2 je te dit tout à l'heure où j'en serais .

[benekire2]

pour la II-2 je sais pas trop comment procéder, mais j'ai quand même une idée, qui est ... de raisonner par l'absurde.

Pour commencer on a z=x+y avec det(x,y)=-1 i.e bc-ad=1>0 d'où (bc-ad)/(b(b+d))>0 ie (a+c)/(b+d)x et de même z>y

Ainsi, chaque rationnel est la somme (frauduleuse) de deux rationnels, qui lui sont strictement inférieurs.

Supposons qu'un rationnel ne soit pas dans la suite ... ensuite je sais plus ...

comment continuer ? Merci :id:

[Nightmare]

Comme demandé, un indice pour toi :

Montrer que si p/q est encadré par deux rationnels a/b et c/d et qu'en plus, det(a/b, c/d)=-1, alors p >= a+c et q >= b+d.

[benekire2]

ok je vais y méditer, je te dirais si j'arrive a prouver ce que tu demande et ce que je peut en tirer pour la question .

[benekire2]

Euh ... je vois pas trop comment répondre pour démontrer l'indice , comment doit on procéder ? :doh: Merci,

[Ben314]

On suppose que et que c'est à dire de même .
Et si tu fait fois la première inégalité plus fois la deuxième, tu tombe sur...

[benekire2]

merci beaucoup ben :)

Je réfléchis à la suite , voir si j'arrive à recoller les morceaux, :id: