Khôlle : Polynômes

[benekire2]

évidemment non, mais ça ne change pas le problème, je le sais, il faut que je le prouve.

[Nightmare]

Prenons P ayant une unique racine. Ce qui nous intéresse, c'est le comportement (non)injectif de P. On sait que le problème est simple pour les polynômes ayant au moins 2 racines distinctes, ce que je t'ai proposé, c'est de construire à partir de P, un polynôme qui aurait au moins 2 racines, la construction devant bien comme je l'ai indiqué transmettre la non-injectivité. Par exemple, considérons le polynôme , étant la constante d'Euler ...

Que dire de lui?

[benekire2]

la courbe est translaté.

Mais je ne vois pas comment montrer qu'alors g(x)=f(x)+cte euler admet au moins deux racines ...

[Doraki]

évidemment non, mais ça ne change pas le problème, je le sais, il faut que je le prouve.

Tu sais pas prouver que x -> x² ou x -> x³ ne sont pas injectifs ?

[benekire2]

Tu sais pas prouver que x -> x² ou x -> x³ ne sont pas injectifs ?

c'est le cas général qu'il faut que je prouve. Sur des cas particuliers ça va ..

[ffpower]

Ben le cas général ressemble a peu prés a celui la. Quelle est la forme d un polynome ayant une seule racine?

[Nightmare]

la courbe est translaté.

Mais je ne vois pas comment montrer qu'alors g(x)=f(x)+cte euler admet au moins deux racines ...

Je t'ai donné un théorème pour ça hier que tu es censé connaitre :lol3:

[benekire2]

Je veut bien, mais je te l'ai dit, je suis totalement bloqué la dessus !!!

[Nightmare]

Suppose que P+cste d'Euler admet une racine multiple, disons au moins double. Qu'a-t-on d'après le théorème que je t'ai cité?

[Nightmare]

Répondre à la dernière question de ffpower n'est pas inutile :lol3:

[benekire2]

et bien cette racine est aussi une racine de P'

[Nightmare]

Ok, avec ça et la réponse à la question de ffpower tu peux conclure.

[benekire2]

Si le polynpôme n'a qu'une seule racine a, sa dérivée égallement ( d'après le théorème) or on vient de montrer que P' a une autre racine, donc on en déduit une contradiction ie qu'on a montré ce que on voulait ?

[Doraki]

Rien compris à ton dernier post. Tu veux montrer que x -> x² n'existe pas ?

En fait t'as montré que :

P(x) - P(a) est un cas chiant => P(x) - P(a) a une seule racine, multiple vu que le degré de P est >= 2, et même que c'est a => P'(a) = 0.

Je te laisse réfléchir à la contraposée.
Ou bien à ce qui se passe si a ou P(a) est transcendant pour rejoindre Nightmare.

[benekire2]

Le problème c'est que je n'en vois pas le bout, sur ma feuille je suis bloqué. Je ne vois rien, même si c'est peut être très simple.

Je récapitule;

Soit P(X)+cte euler

supposons que ce polynôme n'ait qu'une seule racine, donc multiple.

ainsi cette racine a est aussi racine de P'(X) donc P'(a)=0

De plus on peut écrire

Et c'est précisément là que je ne sais pas quoi faire.

( Je peut vous paraître pénible, mais je vous assure que je vois pas trop où on veut aller !! )

[Nightmare]

Je pense que tu ne t'appuies pas assez sur les hypothèses.

On suppose que est de la forme . (le signe produit en moins), ie qu'il n'a qu'une seule racine.

Tu l'as dit, la dérivée de P+1 (j'espérais que tu remarquerais que la constante d'Euler pouvait être remplacée par n'importe quel constante :lol3:) est P'. Une racine x de P+1 est donc (au moins) double lorsque P'(x)=0. Mais dont l'unique racine est a ! a est-elle alors racine double de P+1 ?

[benekire2]

Je commence a voir où tu veut me mener !!

Donc on en déduit que x=a ainsi Ainsi, on en déduit qu a est racine de P+1
et donc P(a)+1=P(a) ce qui est absurde. Donc P+1 n'admet pas de racine multiples selon moi.

C'est le principe ?

[Doraki]

comment on déduit que a est racine de P+1 ? c'est qui a déjà ?

[benekire2]

J'ai prit les notations de nightmare.

a est racine multiple de P

et on le montre comme j'ai écrit. Si tu me pose la question, c'est surement que tu as vu que c'était faux !

Mais bon .. x racine de P+1 => x racine de P' => x=a => a racine de P+1 ce qui est absurde


Il manque un bout ??

[Nightmare]

Ca me semble correct mais mal mené. Effectivement, si x est racine double de P+1, alors elle est racine de P et en même temps de P+1 ce qui n'est bien sûr pas possible. On en déduit que si P a une unique racine, P+1 en a .... et donc ...