Khôlle : Suites et valeurs d'adhérence

[Nightmare]

Je reprends la question qui n'est pas inintéressante :

Tu as montré qu'une suite qui converge admet une unique valeur d'adhérence, quid de la réciproque?

[bacha]

dites moi est ce que cette theorie est juste
soit x une variable reelle et f une fonction,et soit y un nombre reel donc: quand x convergeant vers +;) ,f(x) convergeant vers y on dit :autant que x est tres, tres, tres grand ,f(x)=y, est symboliquement: LIM f(x)=y
(n;)+;))

[benekire2]

Je reprends la question qui n'est pas inintéressante :

Tu as montré qu'une suite qui converge admet une unique valeur d'adhérence, quid de la réciproque?

Je pense y avoir répondu .. a moins que tu n'attende pas ça !!!

Non, prenons u(n)=0 si n pair et u(n)=n pour n impair

une seule valeur d'adhérence, aucun comportement asymptotique.

[benekire2]

Pour mon procédé d'extraction "logique". Je ne sais pas trop trop comment m'y prendre pour extraire la suite ...

[Nightmare]

Désolé, je n'avais pas vu ta suite. C'est correct, 0 est unique valeur d'adhérence et la suite ne converge pas. Pour extraire la suite, tu peux faire un dessin par exemple.

[benekire2]

Oui et je fais un algorithme qui dit : Si mon terme n'est pas dans l'intevalle demandé, je ne le prend pas, sinon je le prend.

Le problème c'est que c'est uniquement pour un intervalle donné et je peut pas le réduire ...

Pour répondre à la 4: Je dirais que la suite v(n) est croissante quoi qu'il arrive , donc ça devrait suffir a prouver qu'elle admet une limite ( infinie ou non. )
Pareil pour w(n) qui est décroissante.

Pour la 5: Les limites inf et sup sont des valeurs d'adhérence de u. ( Je rédigerais ceci plus tard)


Y a -t-il besoin que je précise pour la 4 ??

[Nightmare]

Pour la 2) l'idée est encore une fois très simple. On sait que tout intervalle centré en la valeur d'adhérence contient une infinité de terme de la suite. Il suffit donc de prendre des termes dans des intervalles de plus en plus petit.

Voici par exemple le début de la construction : On considère l'intervalle ]a-1;a+1[. On choisit un terme de la suite dedans. On réduit ensuite l'intervalle à ]a-1/2;a+1/2[, on choisit dedans un terme de la suite de rang supérieur à celui pris précédemment et on reréduis l'intervalle, etc... On construit par récurrence une sous-suite convergent vers a (puisqu'on choisit les termes au fur et à mesure dans des intervalles de plus en plus petit centrés en a).

[Nightmare]

4) En fait il y a plusieurs choses à justifier.

Déjà, et c'est volontairement zappé dans l'énoncé, qu'est-ce qui assure que les suites (vn) et (wn) ainsi posées existent?
Ensuite, effectivement on va pouvoir s'intéresser à leur monotonie. L'une est croissante, l'autre décroissante, c'est vrai, mais la démonstration mérite d'être écrite.
Pour finir, tu parles de limite éventuellement infinie de ces suites. Cela me semble impossible. Je t'invite à montrer que ces suites sont en fait bornées (donc convergentes).

5) Effectivement, les limites inf et sup sont des valeurs d'adhérence. Mais lesquelles en particulier?

[benekire2]

A oui, la construction, j'y avais pensé dans le bus en plus ... mais j'avais zappé ..

Pour ce qui est des justifications de la 4 :

Je n'vais pas pensé a justifier l'existence des suites, et elles me semblent ne pas existé si il n'y a pas plus de conditions sur u !

[Nightmare]

Exact, que manque-t-il comme condition sur u par exemple?

[benekire2]

qu'elle soit bornée.

J'y vais, je justifierais la 4 demain très certainement,

pour la 5 : Ce sont les plus grandes et plus petites valeurs d'adhérence.

Pour l'application , j'y réfléchirais :zen:

[Nightmare]

Bornée suffit effectivement.

5. A démontrer, évidemment :lol3:

[benekire2]

5. A démontrer, évidemment :lol3:

D'un côté je pensais tout de même pas m'en tirer comme ça ... ça aurait été trop facile :zen:

[benekire2]

Salut !! ( J'ai beaucoup de boulot mais comme j'avais promis de passé ... )


Alors pour la 4)

Le fait qu'il faille que u soit bornée explique l'existence de nos deux suites ( elles aussi bornées)

On peut montrer que w est décroissante. En effet considérons w(n+1)=u(k)
on sait que w(n) sera soit u(n) [mais forcément supérieur a u(k) c'est évident] soit sera u(k)

Ainsi w(n+1) =< w(n)

donc w converge.


Pareil pour v.


Je mettrais mon "idée" de démo pour la 5.

[benekire2]

5- Alors déjà, il est aisé de démontrer que les limites sup et inf sont des valeurs d'adhérence.

Maintenant, considérons que limsup ne soit pas la plus grande valeur d'adhérence. Soit a une valeurs d'adhérence supérieur a lumsup. On pourra trouver epsilon tel que les intervalles centrés en limsup et en a ; de rayon epsilon "ne se touchent pas" . Ainsi il existe N et N' tel que pour n>N on ait tout les termes de wn dans l'intervalle. Même chose pour a ( sauf que la c'est juste "une infinité de termes de u" ) .

En prenant n>max(N,N') on aura les deux vérifiés. C'est là que vient l'absurdité :

Prenons w(max(N,N')) qui sera contenu dans l'intervalle limsup +- epsilon . On aura donc une infinité de termes de u supérieurs à w(max(N,N')) de rang >= max(N,N') ce qui est absurde par définition de w(n). Ainsi on a une contradiction.



Disons que c'est l'esprit.

[Nightmare]

C'est ok pour le 4)

5- Alors déjà, il est aisé de démontrer que les limites sup et inf sont des valeurs d'adhérence.

Je veux bien voir ta preuve quand même !

Pour le reste, ça me semble être correct. Il est cela dit plus simple de passer par la définition avec les sous-suites. Si l'on considère une sous-suite qui converge vers une valeur d'adhérence a, alors on a l'encadrement ce qui permet de conclure en passant à la limite.

[benekire2]

Pour le bout "manquant"

Prenons w(n) Retirons lui tous les termes qui ne sont pas du u. Il s'agit alors d'une sous suite de u et d'une sous suite de w. Ainsi cette sous suite converge vers limsup. limsup est donc une valeur d'adhérence puisque une sous suite de u y converge.

Sauf erreur ..

[Nightmare]

Et si w(n) par exemple ne contient aucun terme de u?

[benekire2]

C'est possible ça ?? Etant donné que les w(n) sont les sup d'ensembles de u(n) .. je dirais que non :hein:

[Nightmare]

Un sup n'est pas forcément un max !

Je prends par exemple une suite de rationnels croissante qui converge vers racine de 2, w(n) est constante égale à racine de (2) qui n'est bien évidemment pas un terme de la suite.