Khôlle : Polynômes

[Nightmare]

Salut à tous :happy3:

Voici les exercices de khôlle de la semaine prochaine :

I] Formule de Taylor

Soit P un polynôme à coefficients complexes de degré n. Montrer que, pour tout z complexe,



II] Théorème fondamental : surjectivité

Soit un polynôme complexe. On pose .

. 1) Montrer que admet un minimum atteint en un certain point

. 2) On suppose que . Montrer qu'on peut trouver un entier k tel que, pour tout z complexe :
et

. 3) On admet l'existence d'un complexe , racine k-ème du complexe .

Montrer que, pour x réel, où .

. 4) Chercher une contradiction et conclure !


III] Et l'injectivité ?

P est toujours un polynôme complexe, de degré supérieur à 2. Montrer qu'il existe deux complexes a et b distincts tels que .

Bon courage :happy3:

Durée : Environ 1h30

Indications :

I]On pourra dans un premier temps démontrer la formule pour les monômes X^i

II]Pas d'indications pour celui-ci

III] On pourra démontrer un corollaire du II], à savoir qu'un polynôme complexe peut toujours s'écrire comme produit de polynômes du premier degré.

[skilveg]

Salut,

Pour le I, ce n'est pas censé être du cours?
Pour le II, il y a deux coquilles dans l'énoncé je crois: c'est qui doit être strictement positive, et on doit avoir . (D'ailleurs, tu demandes de conclure quoi? Il n'y a pas de question précise)

[benekire2]

Pour le I, ce n'est pas censé être du cours?

En terminale on ne connait pas cette formule.

[Nightmare]

Skilveg > Ce sont des khôlles pour des élèves de Terminale, donc le théorème de Taylor pour les polynômes n'est pas du tout dans le cours.

Pour la II] effectivement, j'ai oublié les barres de modules, je corrige cela. Pour la conclusion, c'est à l'élève de comprendre ce qu'il a fait dans les questions pour savoir qu'en conclure.

Edit : Voila j'ai rajouté quelque chose pour la 4) :lol3:

[benekire2]

Je comprend pas trop ton indice pour le 1 ...

[benekire2]

Dans le 1 t'est sur qu'il est bon ton incide de sommation ? C'est pas plutot P(i) / i! ?

[Nightmare]

Effectivement ce sont des i à la places des n. Que ne comprends-tu pas dans le 1. J'invite juste à démontrer la formule pour puis de généraliser à un polynôme quelconque.

[benekire2]

Effectivement ce sont des i à la places des n. Que ne comprends-tu pas dans le 1. J'invite juste à démontrer la formule pour puis de généraliser à un polynôme quelconque.

ah d'accord ...

Si j'arrive a montrer ce résultat , par combinaisons linéaires on devrait retomber sur nos pattes !!

Je vient juste de jetter un coup d'oeil au II ... chaud !!

[skilveg]

Skilveg > Ce sont des khôlles pour des élèves de Terminale, donc le théorème de Taylor pour les polynômes n'est pas du tout dans le cours.

Ah ok, je n'avais pas réalisé que c'était pour des terminales. C'est ambitieux du coup (ils n'ont pas non plus de notions de compacité j'imagine, qui seraient utiles pour faire rigoureusement la première question).

[Ericovitchi]

ha oui les pauvres terminales ! un vrai cauchemar tes colles

[Nightmare]

Ils s'en sortent généralement très bien :happy3: Les élèves que je khôlle sont très motivés par la prépa et je ne crois pas me tromper en disant qu'ils ont déjà tous cette année le nez fourré dans les bouquins de sup. C'est le prof qui m'a demandé de faire des khôlles type et niveau prépa (arrangées au niveau des théorèmes).

En fait, la plupart du temps, les exercices étant un peu difficile, j'attends dans un premier temps que les élèves me disent ce qui leur passe par la tête, leur piste de démonstration, rigoureuse ou non. Ensuite, lorsque je vois qu'ils ont les bonnes idées, je les aide à les mettre en forme et leur fournit, quand ils ne les ont pas, les outils nécessaire pour le faire.

Pour le coup de la compacité, ça m'a effectivement un peu gêné, mais les élèves ayant vu en cours qu'une fonction R->R continue sur un segment est bornée, j'attends surtout à ce qu'il voit une corrélation ici, sans vraiment m'attendre à ce qu'il me dise qu'un disque est compact :lol3:

[benekire2]

Pour la première je suis un petit peu bloqué,

J'ai modifié l'énoncé en partant non pas avec X+z mais X. J'ai donc :


par dérivation.
Mais j'aimerais bien montrer que ça vaut X^n ... je n'y arrive pas .

[Nightmare]

Pourquoi partir de X et non de X+z? Surtout que ce que tu veux montrer est plus facile dans ce sens :

Effectivement, on a

Mais

Tu peux conclure.

[benekire2]

Effectivement, la fin de la démo est immédiate ( si je me trompe pas !! )

Concernant le II , c'est une fonction complexe :doh: ??

[Nightmare]

f est définie sur C à valeur dans R.

[benekire2]

f est définie sur C à valeur dans R.

A ba oui, c'est le module, je suis con.

[Nightmare]

Au passage, la I] n'est pas vraiment terminée ! La généralisation à tout polynôme n'est pas difficile mais pas immédiate (en tout cas, pas en terminale :lol3: )

[benekire2]

Ben tout polynome de degré n est de la forme :

Et donc en décomposant la somme et en appliquant notre résultat sur chaque x^k suffit de tout faire "rentrer" dans une seule et unique somme grâce que fait que k (P) ' =(kP)' et P'+Q' =(P+Q)'

d'après moi ça fonctionne.

Pour la 1 du II, je vois pas trop comment montrer que le module admet forcément un minimum. Je sais qu'il va être positif, mais bon .. l'idéal ce serait qu'il tende vers l'infini aux bornes .. mais je vois pas trop comment le montrer ( faudrait que ce soit juste déjà .. )

[dudumath]

l'idéal ce serait qu'il tende vers l'infini aux bornes .. mais je vois pas trop comment le montrer ( faudrait que ce soit juste déjà .. )

Et quelle est la limite d'un polynôme en l'infini (distingue si celui ci est constant ou non)

[benekire2]

on est dans le cas d'un polynôme complexe, je sais pas si on peut parler de limite. Mais je parlais du module.