Khôlle : Suites et valeurs d'adhérence

par **Nightmare** » 04 Avr 2010, 18:08

Salut :happy3:

Voici la khôlle de la semaine prochaine. Un seul exercice en plusieurs questions.

On appelle valeur d'adhérence d'une suite u tout réel qui est limite d'une des sous-suites de u.

. 1) Donner les valeurs d'adhérences des suites , . Que penses-tu des valeurs d'adhérence de ?

. 2) Montrer qu'un réel a est valeur d'adhérence d'une suite si et seulement si tout intervalle ouvert centré en a contient une infinité de terme de la suite

. 3) Que dire des valeurs d'adhérence d'une suite convergente ?

Etant donné une suite , on définit sa limite inférieure (resp. limite supérieur) comme la limite de la suite (resp. ). On la note (resp. ).

. 4) Justifier l'existence de ces limites

. 5) Quel rapport il y a-t-il entre limite inférieure/supérieure d'une suite et ses valeurs d'adhérence?

. Application :

Soit une suite convergente et .

Montrer que et en déduire que est convergente. Ce résultats s'appelle le lemme de Césarò

Amusez-vous bien.

:happy3:

par **benekire2** » 05 Avr 2010, 09:42

Y a pas eu des petits soucis de mise en forme latex ??

Pour l'application, je connais la démonstration ... et j'ai aussi montré que la réciproque du théorème de Cesàro était fausse .

Pour la 1)

pour (-1)^n les valeurs d'adhérence sont 1 et -1
sin(n) admet [-1;1] comme valeurs d'adhérence
enfin 1/n admet 0 comme valeur d'adhérence.

J'avoue que pour sin(n) il faut justifier . Le problème c'est qu'il faudrait justifier la densité de sin(n) dans [-1;1] .. et là je bloque :zen:

par **benekire2** » 05 Avr 2010, 10:02

Pour la 2 ; ça peut te paraitre un peu court mais je dirais que a est la limite d'une sous suite convergente, par définition, dans un intervalle centré sur
a on aura une infinité de termes de cette sous suite -donc de la suite u- dans cet intervalle [définition de la convergence].

Pour la 3, une suite convergente n'admet qu'une seule valeur d'adhérence, sa limite.

En effet, considérons que u converge vers l et supposons qu'elle admette une autre valeur d'adhérence noté a.

Par définition de la convergence, on pourra trouver un arbitrairement petit centré sur l qui contiendra tout les termes de u à partir d'un rang N.

On peut "se débrouiller" pour que l'intervalle centré ne contienne pas a. ainsi il ne reste qu'un nombre fini de termes de la suite qui ne sont pas dans notre intervalle, et d'après la question précédente on en déduit que a ne peut être une valeur d'adhérence de u.

Il y a très certainement plus probant.

par **ffpower** » 05 Avr 2010, 10:12

Demander les valeurs d'adhérences de sin(n) cash semble un peu ardu. Faut quand même passer par l'irrationalité de pi et la caractérisation des sous groupes de R..

par **benekire2** » 05 Avr 2010, 10:15

ffpower a écrit:Demander les valeurs d'adhérences de sin(n) cash semble un peu ardu. Faut quand même passer par l'irrationalité de pi et la caractérisation des sous groupes de R..

J'avais mal lu, la question est "que penses tu de .. " il n'y a donc ( peut être ) pas de preuve a apporter, puisque c'est une question-conjecture.

par **Nightmare** » 05 Avr 2010, 13:36

benekire2 a écrit:Y a pas eu des petits soucis de mise en forme latex ??

Pour l'application, je connais la démonstration ... et j'ai aussi montré que la réciproque du théorème de Cesàro était fausse .

Tu connais peut être la démonstration classique (et j'espère que tu t'en souviens cette fois-ci :lol3: ), ici c'est une autre preuve qui est proposée.

Pour la suite, comment sais-tu que l'ensemble des valeurs d'adhérence de sin(n) est [-1;1] ? Comment l'as-tu intuité? Tu le savais déjà ?

Effectivement pour répondre à ffpower, pour cette question je ne m'attendais pas à une démonstration, je voulais juste voir un peu ce qu'en pensais les élèves (d'où la forme de la question :lol3:)

par **benekire2** » 05 Avr 2010, 13:41

oui je connais la démo classique, et je me souviens de la démo !! ( Faut pas croire que je me rappelle plus des démos, simplement que je retiens l'esprit [ou pas...] )

Sinon, je sais que les valeurs d'adhérences de sin(n) sont [-1;1] parce que à la base je suis partit sur une énorme bêtise en considérent sin(n) avec n réel ...
mais après j'ai réfléchis et je crois avoir lu que sin(n) n entier était dense dans [-1;1 ] et même pour sin(p) p premier me semble-il mais là c'est complètement une autre histoire je crois !!

par **Nightmare** » 05 Avr 2010, 13:43

benekire2 a écrit:Pour la 2 ; ça peut te paraitre un peu court mais je dirais que a est la limite d'une sous suite convergente, par définition, dans un intervalle centré sur
a on aura une infinité de termes de cette sous suite -donc de la suite u- dans cet intervalle [définition de la convergence].

Ok pour le sens direct ... Le sens indirect?

Pour la 3, une suite convergente n'admet qu'une seule valeur d'adhérence, sa limite.

En effet, considérons que u converge vers l et supposons qu'elle admette une autre valeur d'adhérence noté a.

Par définition de la convergence, on pourra trouver un arbitrairement petit centré sur l qui contiendra tout les termes de u à partir d'un rang N.

On peut "se débrouiller" pour que l'intervalle centré ne contienne pas a. ainsi il ne reste qu'un nombre fini de termes de la suite qui ne sont pas dans notre intervalle, et d'après la question précédente on en déduit que a ne peut être une valeur d'adhérence de u.

Il y a très certainement plus probant.

C'est une (bonne) idée à mettre en forme ! Tu pouvais aussi parler de sous-suite ici.

par **Nightmare** » 05 Avr 2010, 13:47

Quelle signification donnes-tu à "sin(n) dense dans [-1;1]" juste pour savoir de quoi on parle et éventuellement parler d'une démo à ça. Quel rapport entre cette densité et les valeurs d'adhérence de sin(n)?

par **benekire2** » 05 Avr 2010, 13:52

juste pour finir avec sin(n) , ça s'intuite assez facilement avec un dessin, on voit que les sin(n) ne sont jamais "sur la même ligne" donc ...

2) pour le sens indirect, ça me parait assez évident en fait. Si un intervalle centré en a contient une infinité de termes de u, on extrait "logiquement" une sous suite convergente en a.

3) Pour la 3, il y a mieux je crois. Si u converge alors toute ses sous suites convergent vers la lmite. Fin de la démo :zen:

par **Nightmare** » 05 Avr 2010, 13:55

2) Je veux bien voir ton procédé d'extraction "logique" ! :lol3:

3) Oui, c'est plus cours. Question piège, que dire d'une suite qui n'a qu'une seule valeur d'adhérence? Converge-t-elle forcément vers celle-ci alors?

par **Nightmare** » 05 Avr 2010, 13:56

Au fait, où as-tu vu une erreur de syntaxe latex?

par **benekire2** » 05 Avr 2010, 13:58

Nightmare a écrit:Quelle signification donnes-tu à "sin(n) dense dans [-1;1]" juste pour savoir de quoi on parle et éventuellement parler d'une démo à ça. Quel rapport entre cette densité et les valeurs d'adhérence de sin(n)?

j'entends par là : pour tout "point" de [-1;1] si n prend un intervalle arbitrairement petit on trouvera toujours un sin(n) dedans .

Après c'est peut être pas réellement ça !!

Je pensais que si on montrais la densité des sin (n) par périodicité du sinus on pouvait s'en sortir, mais chaud ..

par **benekire2** » 05 Avr 2010, 14:00

Nightmare a écrit:Au fait, où as-tu vu une erreur de syntaxe latex?

ben en fait nulle part :zen: (j'avais cru)

par **Nightmare** » 05 Avr 2010, 14:04

benekire2 a écrit:j'entends par là : pour tout "point" de [-1;1] si n prend un intervalle arbitrairement petit on trouvera toujours un sin(n) dedans .

On en veut pas un mais une infinité nous !

Bref, je t'invite à continuer l'exercice, il te manque de toute façon des outils pour prouver que sin(n) est bien dense dans [-1;1]

par **benekire2** » 05 Avr 2010, 14:05

Nightmare a écrit:3) Oui, c'est plus cours. Question piège, que dire d'une suite qui n'a qu'une seule valeur d'adhérence? Converge-t-elle forcément vers celle-ci alors?

Non, prenons u(n)=0 si n pair et u(n)=n pour n impair

une seule valeur d'adhérence, aucun comportement asymptotique.

par **benekire2** » 05 Avr 2010, 14:06

Nightmare a écrit:On en veut pas un mais une infinité nous !

Bref, je t'invite à continuer l'exercice, il te manque de toute façon des outils pour prouver que sin(n) est bien dense dans [-1;1]

Je sais !! Mais, je pensais qu'on pouvait s'en tirer avec la périodicité !! A l'évidence non !!

par **Nightmare** » 05 Avr 2010, 14:07

La suite sin(n) n'est pas périodique au passage :lol3:

par **benekire2** » 05 Avr 2010, 14:16

Nightmare a écrit:La suite sin(n) n'est pas périodique au passage :lol3:

mais je sais , c'est pour ça que j'ai dit que ce n'étais pas bon . Simplement que je voulais utiliser la périodicité du sinus ( dans R ) mais comme je l'ai dis, .. c'est pas bon !!

par **Nightmare** » 05 Avr 2010, 14:21

On utilise effectivement la 2pi-périodicité de sin, ainsi que le fait que pi soit irrationnel !

Khôlle : Suites et valeurs d'adhérence

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