Voici la khôlle de la semaine prochaine (dernière avant les vacances).
Données : Dans cet exercice, G est l'ensemble (fini) des permutations de. On note
l'opération "composition" entre les permutations dont on omettra le symbole pour la suite.
se notera
. On vérifiera que G vérifie les 3 conditions suivantes :
1)
2)
3). (
désignant la permutation réciproque de
).
On considère en outre H un sous-ensemble de G vérifiant les même 3 conditions. Pour finir, nous définissons l'ensembledes couples
d'éléments de G tels que
.
Partie I : Relation d'équivalence
Montrer les propriétés suivantes :
. a)
. b)
. c)
Partie II : Etude des classes d'équivalence
Etant donné un élément\in \mathbf{R}\})
. 1) Justifier la notation
. 2) Montrer que la classe à gauche d'un élément quelconque de G a toujours autant d'élément que H.
. 3) Montrer que deux classes à gauche sont soient égales, soient disjointes.
Partie III : Théorème de Lagrange
. 1) Justifier que les classes à gauche forment une partition de G
. 2) En déduire que le nombre d'élément de H divise le nombre d'élément de G. Ce théorème porte le nom de théorème de Lagrange.
. 3) Application : En considérant H l'ensemble des permutations qui laissent n invariant, retrouver que.
Amusez-vous bien, l'exercice en lui même n'est pas difficile, les notions sont juste nouvelles.
:happy3:
