Khôlle : Polynômes

[benekire2]

Ca doit être proche de 1.
Par contre c'est comment se débrouiller quand on applique le module sur le membre de droite ? ? Ca me mène pas a grand chose. On doit surement pouvoir faire autre chose du DL a droite .. mais je ne sais pas quoi.

[Nightmare]

Effectivement le rapport est en module proche de 1, et vu le terme suivant du DL, on peut même affirmer que pour x positif suffisamment proche de 0, il est inférieur à 1 ! Conclusion ?

[benekire2]

Conclusion |P(z0+(x/w))| est plus petit que |P(z0)| on a notre contradiction !! :id:

Pour ce qui est de conclure, je remarque qu'a un moment on nous dit supposons w racine k-ième ..

Donc selon moi, w n'est pas une racine k-ième du complexe donné,

[Nightmare]

Je n'ai pas dit qu'on supposait l'existence de la racine k-ème mais qu'on l'admettait ! Ce n'est pas ici qu'il faut chercher la conclusion.

[benekire2]

A ba oui, je suis con j'ai même pas vu que on supposait |P(z_0)|>0 donc nécessairement |P(z_0)|=0 ie z_0 est une racine de P !!

On peut donc annoncer que tout polynôme complexe admet au moins une racine.

Je réfléchis au corollaire. Je te dit quand j'aurais un peu avancer :zen:

[Nightmare]

C'est bien ça. On dit que C est algébriquement clos.

Si tu as des notions sur les corps, on dit aussi que C est "la" clôture algébrique de R, au sens où c'est une extension (=surcorps) de R algébrique (= tout complexe est algébrique sur R, ie annule un polynôme à coefficients réels. Par exemple i est racine de X²+1) et algébriquement close.

Autre exemple, les nombres algébriques forment, par définition, la clôture algébrique des rationnels.

Je te laisse réfléchir à la suite :happy3:

[benekire2]

z0 étant une racine de P, on peut donc écrire P(z)=(z-z0)Q(z)
avec z un polynôme de degré n-1.

Q n'étant pas constant, il admet forcément une racine. Et on recommence ...
( ca se démontre facilement par récurrence imo)
Ainsi P admet n racine z_k et s'écrit sous la forme :



Ainsi on a démontrer le corollaire.

[Nightmare]

Ok si le polynôme est unitaire. Sinon il manque un coef. multiplicatif.

[benekire2]

oui il manque notre ami lambda devant ... désolé.

Donc maintenant on veut montrer que il existe a et b tels que P(a)=P(b)

J'ai une sacrée envie de poser Q(z)=P(z)-P(a)
a ce moment je sais que Q est de degré>2 donc admet au moins deux racines.

a est racine. il existe aussi b qui est racine.

Par contre un problème, a peut toujours être égal à b ...

[Nightmare]

C'est un bon début. Effectivement, si P a au moins une racine double, c'est évident. Reste à regarder ce qu'il se passe si P a toutes les racines de P sont distinctes.

[Doraki]

En effet c'est problématique si toutes les racines de P(z)-P(a) sont en a.

[benekire2]

On va supposer qu'alors P a deux racines distinctes, c'est ça ?

[Doraki]

J'espère que t'as voulu dire "on doit faire une distinction de cas selon les racines de tel polynôme c'est ça ?".

[benekire2]

Et non malheureusement, je suis pas sur de savoir ce que l'on va vraiment faire.

Je sais qu'on veut pas que Q est les mêmes racines. C'est pour ça que je me suis dit qu'il fallait que P ait au moins deux racines distinctes. Mais à l'évidence nightmare a dit qu'il fallait traiter le cas ou P a toutes ses racines distinctes et montrer qu'alors Q a au moins deux racines. Ca doit très certainement être simple mais je vois pas trop comment commencer.

[Nightmare]

Remarque : Dans mon post, je n'ai jamais parlé de Q :lol3:

En fait l'introduction de ce Q ici n'est pas vraiment utile. L'idée de translater le problème n'est pas mauvaise cela dit. On sait que c'est vrai pour les polynômes scindé ayant au moins une racine simple. Il faut voir ce qu'il se passe pour les polynômes du type . N'y a-t-il pas un moyen de se "ramener" à un polynôme ayant au moins une racine simple, tout cela en gardant le caractère injectif?

[benekire2]

Quand tu dit que c'est vrai pour un polynôme scindé ayant au moins une racine simple,

qu'es-ce qui est vrai ?? Je ne comprends pas trop ...

Sinon pour ton polynôme qui a les mêmes racines, je vois pas comment me ramener a un polynôme avec une racine simple a part multiplier et rediviser par (X-x1)

[Nightmare]

Ce qui est vrai? Ben, ce qu'on veut démontrer pardi :lol3:

Si ton polynôme a deux racines distinctes a et b, alors celles-ci ont la même image (nulle) par ce polynôme donc clairement celui-ci n'est pas injectif.

Evidemment, si toutes les racines sont égales (ie si le polynôme est de la forme susmentionnée dans mon précédent post), ce raisonnement n'est plus valable. Je te propose alors d'essayer de trouver un moyen de se ramener au cas où le polynôme a au moins deux racines distinctes. Pour cela, je te propose d'essayer de trouver la bonne translation qui conserve la non-injectivité.

Pour t'aider, je te propose ce théorème : Une racine d'un polynôme est double (ie le polynôme contient (X-a)² dans sa décomposition, a étant la racine) si et ssi elle annule aussi sa dérivée).

[benekire2]

je connais ce théorème.

Si on dérive P, a annule donc la dérivée de P. Je vais chercher un peu, mais je pense pas trouver quelque chose la dessus :triste:

[benekire2]

et bien je ne trouve vraiment rien. C'est surement bête mais je le vois pas.

Je sias simplement qu'on aura a racine de P' mais ça m'avance pas bien beaucoup.

[Doraki]

pour l'instant t'as dit que si P a 2 racines distinctesa et b, P n'est pas injectif parceque P(a) = P(b) ( = 0)

Ce qui fait que t'es bloqué sur les polynômes comme x-> x² parcequ'ils ont qu'une seule racine (multiple évidemment).
est-ce que les fonctions x -> x² ou x -> x^3 ont l'air injectives ?