Khôlle : Pour les cancres

[benekire2]

bon, je suis franchement désolé, mais j'arrive vraiment a rien, pour la fin ( je suppose ) de cette question, j'ai essayé par l'absurde, mais rien de concluant.
Comment continuer ? Merci.

[Doraki]

Juste comme ça, dans le I-2-c, il faut supposer z strictement positif.

Ainsi, chaque rationnel est la somme (frauduleuse) de deux rationnels, qui lui sont strictement inférieurs.

strictement inférieurs pour quelle relation d'ordre ?

[benekire2]

pour la relation d'ordre sur R.

[Doraki]

Ben nan, quand z = x (+) y, t'as forcément que z est entre x et y.
Il peut pas être plus grand que x et y.

[benekire2]

c'est vrai, j'ai dit n'importe quoi, autant pour moi !

sinon, au niveau de la II-2 on fait comment pour continuer ?

[Ben314]

Bon, je te donne un deuxième "indice" (assez facile) :
Montre que, si et sont deux termes succéssifs d'une des suites alors

Ensuite, essaye de voir, si je te donne un rationnel positif, par exemple comment trouver où il est sans calculer tout les termes de , , ... mais uniquement ceux qui sont "utiles"...

[Doraki]

En fait tu devrais relire les résultats de la partie I.

[benekire2]

merci doraki, j'ai relu les résultats et j'ai les idées un peu plus claires.

Salut ben :we:

En effet ton indice est facile à montrer, j'ai pas eu de problèmes.
En revanche, pour ta question suivante ( incluse dans la II-3 d'ailleurs) je vois pas trop et surtout, j'arrive (TOUJOURS...) pas à conclure la II-2 ; il me manque réellement quelque chose, je vois pas comment montrer que TOUS les rationnels sont dans la suite. Parce que bon ok,pour tous z z= x (+) y avec x et y "premiers" entre eux et de plus x
Merci :id:

[Ben314]

Bon, il y a sans doute d'autre méthode vu ce qu'on a déjà démontré, mais perso, j'aurais tendence à le faire "à la main".

On part d'un rationnel positif fixé .

On a et, évidement, .
Si une des deux inégalités est une égalité, c'est fini.

Sinon, quels peuvent être les éléments successifs et de tels que ?
Si une des deux inégalités est une égalité, c'est fini.

Sinon,....

Evidement, ce qu'il faut montrer, c'est que le processus fini par s'arrêter.
Pour cela, regarde par exemple ce que tu peut dire de la suite et utilise l'indic de Nightmare.

[Nightmare]

Salut !

La suite (an+cn) suffit :

Si p/q n'appartient pas à la suite, on va pouvoir l'encadrer par deux suites de rationnels (an/bn) et (cn/dn) et obtenir d'après l'indice p >= an+cn. Mais cette dernière suite est censé être strictement croissante !

[Ben314]

...d'après l'indice p >= an+cn. Mais cette dernière suite est censé être strictement croissante !

Ben, justement, non, par exemple si alors vaut 0+1=1 pour les 500 premers termes...

[Doraki]

mais il me reste a montrer que on a TOUS les couples "premiers" entre eux , bref , manque un maillon que je vois pas trop ...

Tout à fait.

Si (x = a/b, y = c/d) est un tel couple (ad-bc = -1), alors :

Ou bien a=c et b>=d, et alors regarde les couples (x,z) et (z,y) avec z = (a-c)/(b-d).

Ou bien ad, mais alors ad c et b= (b+1)(c+1) et donc b+c <= -2, ce qui est impossible.

[benekire2]

J'ai du mal a voir quels termes successifs prendre, mais de toute façon on est obligé de faire plusieurs "cas" mais je dirais a1/b1=a0/b0 ou (a0+c0)/(b0+d0) et c1/d1=(a0+c0)/(b0+d0) ou c0/d0

c'est ça ?

[Ben314]

Si tu veut suivre la méthode que je te suggère, oui, c'est bien ça et même c'est la même chose pour passer de l'étape n à l'étape n+1.

Sinon, tu peut aussi procéder "dans l'autre sens" (i.e. en partant du "bas") comme le suggére Doraki : a mon sens, c'est assez équivalent.

[Doraki]

La question aurait tout aussi bien pu être "montrez que si ad-bc = -1 alors a/b et c/d sont deux fractions successives dans un Un".

Dans les deux méthodes, les objets que tu dois vraiment manipuler sont bien les couples de fractions successives et non les fractions elles-même.
Et c'est aussi sur eux qu'on avoir une notion de "taille" (a+b+c+d) pour montrer que ça continue pas indéfiniment.

L'opération qui à partir d'un couple donne ses 2 couples "successeurs", et celle qui à un couple autre que (0/1, 1/0) donne son prédecesseur sont, en fin de compte, plutôt simples, et montrent bien comment on fait pour les obtenir tous.

[benekire2]

maintenant que je suis partit dans ce sens, je vais pas faire demi tour, alors là faut étudier la suite u(n)=an+bn+cn+dn et déjà je peut écrire :

an+bn+cn+dn=
Pour trouver facilement où se trouve, je pense qu'il va falloir utiliser cette suite,

[benekire2]

re-bonjour,

est-ce que quelqu'un peut m'aider a construire cette bijection entre N et Q ? Je ne vois pas comment m'y prendre exactement .. je pensais dire qu'établir une bijection entre N et les rationnels compris entre 0 et 1 était suffisant, mais après, pour la construire ... je vois pas trop désolé,

merci à vous,

[Ben314]

Ben, tu n'as qu'a numeroter les différents quotient (positifs) dans l'ordre dans lesquels il apparaissent dans les suites Un : x0=0/1 (le premier à apparaitre dans U0) le 1/0, comme c'est pas un quotient, on le jette donc le suivant, c'est x1=1/1 qui apparait dans U1 ensuite, dans U2, tu as x2=1/2 et x3=2/1 etc...
ça fait bien une bijection vu que chaque quotient (positif) apparait quelque part...

[benekire2]

d'accord, d'accord ... c'est aussi "bête" que ça alors ... je pensais que ce serait plus dur ...

[benekire2]

Bonsoir,

Je suis maintenant sur le III et je galère sévère !!

Comment est-ce que je peut commencer pour répondre à cette question ? Par double inclusion ?
Merci !