Khôlle : Polynômes

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benekire2
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par benekire2 » 01 Avr 2010, 20:54

P+1 n'en a pas une seule, donc il en possède plusieurs, ce qui montre la non injectivité de P .



Doraki
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par Doraki » 01 Avr 2010, 21:02

Je pense avoir compris ce que tu veux dire.

On suppose que P a une seule racine.
On appelle cette racine a.
On suppose que P+1 a une seule racine.
On appelle cette racine b
Comme (P+1)' (b) = P' (b) = 0 = P'(a) et que P' a une seule racine,
On en déduit que a = b
On en déduit que 0 = 1, contradiction.

C'est quand même vachement alambiqué.

benekire2
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par benekire2 » 01 Avr 2010, 21:05

Doraki a écrit:Je pense avoir compris ce que tu veux dire.

On suppose que P a une seule racine.
On appelle cette racine a.
On suppose que P+1 a une seule racine.
On appelle cette racine b
Comme (P+1)' (b) = P' (b) = 0 = P'(a) et que P' a une seule racine,
On en déduit que a = b
On en déduit que 0 = 1, contradiction.

C'est quand même vachement alambiqué.


Pourquoi, y a beaucoup plus simple ??

Doraki
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par Doraki » 01 Avr 2010, 21:15

Soit a tel que P'(a) soit non nul. (P est de degré >= 2 donc P' est de degré >= 1 donc non constant)
Alors a n'est pas une racine multiple de P(x) - P(a).
Donc P(x)-P(a) a une autre racine, b.
Donc on a a différent de b et P(a) = P(b)

Ou alors,
On suppose que P n'a qu'une seule racine.
P = a*(X-b)^n.
On constate que si x est une racine n-ième de 1 (différente de 1), P(b+1) = P(b+x)

benekire2
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par benekire2 » 01 Avr 2010, 21:21

D'accord.

Et la justification (brève) que je fournie a nightmare pour la fin, elle fonctionne ?

Nightmare
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par Nightmare » 01 Avr 2010, 23:43

En fait, P+1 en a exactement n. Donc il n'est pas injectif, et (P+1)-1=P non plus.

 

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