Khôlle : Polynômes

[Nightmare]

On peut toujours regarder ce qu'il se passe lorsqu'on fait tendre le module de z vers +oo !

[benekire2]

ba si on fait tendre la module vers +oo ca veut dire que sur un certain "disque" la fonction atteint ses bornes donc son minimum.
Je ne sais pas trop quel niveau de rigueur tu attend sur cette question ..

[benekire2]

Mais je viens de penser a un truc. C'est bien de vouloir faire tendre le module de P(z) mais le problème c'est que personne ne nous dit que les P(z) ont un module aussi grand que l'on veut ..

Cette première question est franchement pas facile :hein:

[Nightmare]

Faire tendre le module de z, pas de P(z) !

Comme tout bon polynôme, . Autrement dit, quel que soit A, on peut trouver un B tel que dès que alors . Reste à regarder ce qu'il se passe sur le disque , c'est là qu'il faut y ailler à "l'intuition".

[benekire2]

A oui d'accord. C'est vrai qu'n s'intéresse au module et non au polynome en lui même la dessus !!

Donc après on a un disque et je dirais que sur ce disque le polynôme atteint ses bornes ( si on l'admet bien sur ) maintenant qu'on a "isolé" une portion. C'est un peu comme l'exo que tu m'avais donné ou on avait une fonction qui tendait vers +oo sur les deux cotés et on avait isolé une portion où la fonction atteignait ses bornes.

[alavacommejetepousse]

Faire tendre le module de z, pas de P(z) !

Comme tout bon polynôme, . Autrement dit, quel que soit A, on peut trouver un B tel que dès que alors . Reste à regarder ce qu'il se passe sur le disque , c'est là qu'il faut y ailler à "l'intuition".

bonjour
rem f n 'est pas un polynôme son carré oui

[benekire2]

Pour la 2 :

Je sais pas trop comment faire, alors dit moi si c'est la bonne voie, ou si je part dans la mauvaise direction :



Peut se réécrire:



Ou encore :



Es-ce comme ceci qu'il faut commencer ?
Je ne sais pas du tout comment utiliser la deuxième condition.

[Nightmare]

A oui d'accord. C'est vrai qu'n s'intéresse au module et non au polynome en lui même la dessus !!

Donc après on a un disque et je dirais que sur ce disque le polynôme atteint ses bornes ( si on l'admet bien sur ) maintenant qu'on a "isolé" une portion. C'est un peu comme l'exo que tu m'avais donné ou on avait une fonction qui tendait vers +oo sur les deux cotés et on avait isolé une portion où la fonction atteignait ses bornes.

Voila, c'est exactement ça. Plus généralement (pourvu qu'on ait une distance du moins) une application qui est continue sur un ensemble qui est fermé ( toute suite d'éléments de l'ensemble qui converge converge vers un élément de l'ensemble. Plus visuel, une partie est fermée si elle contient son "bord", ie tous les éléments qui "adhèrent" à l'ensemble. Ici, le bord d'un disque est naïvement le cercle qui le délimite) et borné (dans notre cadre, être borné signifie être inclus dans un disque, donc ici le caractère borné du disque est trivial) est continue et atteint ses bornes ! (Un ensemble fermé et borné est dit compact, toujours dans un cadre métrique).

C'est effectivement le même exercice que celui que je t'avais donné, avec une dimension en plus.

[Nightmare]

Pour la 2 :

Je sais pas trop comment faire, alors dit moi si c'est la bonne voie, ou si je part dans la mauvaise direction :



Peut se réécrire:



Ou encore :



Es-ce comme ceci qu'il faut commencer ?
Je ne sais pas du tout comment utiliser la deuxième condition.

En fait il n'y a pas de réelle difficulté dans cette question. Il s'agit quasiment juste d'appliquer le I]

[benekire2]

en sachant que le terme de rang i=0 vaut P(z0) il me reste a montrer que :

[Nightmare]

En fait déjà, je ne comprends pas trop comment tu passes de la limite précédente à celle-ci ! Chose gênante à première vue, le terme de gauche ne dépend pas de z alors qu'à droite oui. Cette égalité est fausse.

[benekire2]

Grâce à la formule en I on a :




Donc après j'ai soustrait.

[Nightmare]

Ah ! je comprends mieux à présent.

Admettons, en fait il ne reste plus rien vraiment à "démontrer". La seule chose qu'il reste à dire, c'est qu'on va pouvoir trouver dans le développement de Taylor un plus petit indice k tel que la dérivée k-ème en zéro soit non nulle. (k peut éventuellement être égal à 1).

Et par définition de k, on a alors .

[benekire2]

En gros on dit qu'il y a toute une "série" d'indice qui vont être nuls parce que la dérivée le sera. Je comprends, mais pour rédiger tout ça c'est chaud !! :id:

[Nightmare]

Ce n'est pas vraiment ça. Tout ce qu'on fait, c'est retirer les premiers termes du développement de Taylor qui sont nuls (chose qu'on a le droit de faire puisqu'ils sont nuls !) . Il est possible qu'il n'y en ait aucun (et dans ce cas, k=1).

[benekire2]

Ce n'est pas vraiment ça. Tout ce qu'on fait, c'est retirer les premiers termes du développement de Taylor qui sont nuls (chose qu'on a le droit de faire puisqu'ils sont nuls !) . Il est possible qu'il n'y en ait aucun (et dans ce cas, k=1).

oui quand je dit il y a une "série" c'est que je veut dire que la somme est nulle pour un certain nombre d'indices. Mais c'est bien à cela que j'ai pensé .

Cependant le seul truc qui me chagrine, c'est comment on peut être sur que ce k existe ?

[Nightmare]

Ben comme je l'ai dit, au pire on prend k=1 !

[benekire2]

Oui mais mettons que la dérivée soit nulle tout le temps ?

[Nightmare]

Ce n'est pas possible, pourquoi?

[benekire2]

A vrai dire je n'en sais rien :cry: La fonction serait alors forcément nulle ?