Khôlle : Nombres complexes

par **benekire2** » 02 Juin 2010, 15:13

Pour la question 4 ; je me rend compte ( après que ben me l'ai dit) qu'on ne cherche qu'une partie FINIE de points, donc ma méthode fonctionne .

Le plus dur, c'est le III maintenant ... je cherche un peu et je vous dit tout a l'heure où j'en suis ! :id:

par **benekire2** » 02 Juin 2010, 17:21

Sur la III c'est quoi "stable par soustraction" ? Est-ce que ça veut dire que pour tout z et z' de cette partie z-z' est encore dans cette partie ?

par **Nightmare** » 02 Juin 2010, 17:24

C'est bien ça !

par **benekire2** » 02 Juin 2010, 17:51

C'est bien ce que je pensais ... alors je ne vois strictement rien :triste:

Un indice ?

par **Nightmare** » 02 Juin 2010, 17:57

Yos en a donné un dans son post :happy3:

par **benekire2** » 02 Juin 2010, 18:23

ok merci , je creuse :++:

par **busard_des_roseaux** » 03 Juin 2010, 09:49

re,

l'exo de NightMare est bien intéressant :++: et donne l'envie de gloser un peu... :id:

Prop1

si u,v,m,n sont entiers naturels , les fractions

et

sont irréductibles alors

entraine que v et n ont exactement les mêmes diviseurs
et sont donc des entiers naturels égaux.

Les points rationnels du cercle sont de la forme

et donc (x,y,z) forme un triplet pythagoricien

exemple: (3;4;5)

Prop2
les triplets pythagoriciens (x,y,z) sont complètement décrits ici
les triplets pythagoriciens primitifs vérifient

Ils forment un sous-groupe multiplicatif de matrices de rotations
dont la multiplication est décrite par

Prop3
Comme les triplets pythagoriciens (x,y,z) primitifs vérifient

on remarque que , en posant

alors

et donc que les points du cercle à coordonnées rationnelles

s'écrivent

où

est le carré d'un nombre complexe à coordonnées entières

exemple:

(au pif)

est bien un triplet pythagoricien

conclusion provisoire
l'existence de points du cercle à coordonnées rationnelles
semble avoir un lien avec l'élévation au carré et donc au
doublement de l'arc

ou de l'angle polaire, comme on voudra
je pense que la réciproque est valide.:
ces points à coord. rationnelles , sur le cercle, proviennent de carrés de points du plan complexe à coordonnées entières p+iq ,de tangente ou cotangente
rationnelles

ou

,
tangente ou cotangente de leur angle polaire.

En élevant au carré, et en divisant par le module,
on double l'arc en

et

pour obtenir un point rationnel du cercle.

évidemment, ces points "projectifs" (un point d'un espace projectif=
une droite du plan passant par l'origine) entiers ont un intérêt arithmétique...:

par **busard_des_roseaux** » 03 Juin 2010, 13:58

re NightMare,

je serai intéressé par le quotient de E par F :we:

peux-tu m'expliquer ce dont il s'agit (algèbre+géométrie) ?

par **benekire2** » 03 Juin 2010, 14:37

Salut,

J'ai des gros soucis sur cet exo, j'avance vraiment pas, même avec l'indice.
Déjà j'identifie le plan au plan complexe et donc on a pour x dans [0,1] x+ix² dans notre partie du plan (qui est un groupe)
Donc il "suffit" de ùontrer que R et iR sont dans ce groupe pour pouvoir dire que ce groupe est en fait C.

Comment continuer ?

Merci !!

par **Ben314** » 03 Juin 2010, 15:18

Bon, je te donne un "coup de pouce" :
Pour tout x de [0,1/2], (x,x²) est dans P donc, vu que P est un groupe (additif) (2x,2x²)=(x,x²)+(x,x²) aussi.
Mais 2x est dans [0,1] donc (2x,4x²)=(2x,(2x)²) est lui aussi dans P.
Donc....

par **benekire2** » 03 Juin 2010, 15:51

C'est a dire que je comprends pas trop l'indice ... je vois pas trop où tu veu en vennir pour être franc :doh:
J'ai l'impression que tu veut montrer que (2x,y) avec y dans R est dans P, mais je vois pas trop comment !

( Merci quand même :id: !!)

par **Doraki** » 03 Juin 2010, 16:09

Sinon tu peux essayer de voir quels sont les vecteurs horizontaux que tu peux caler sur la portion de parabole (arriver à placer le vecteur tel qu'il ait ses deux extrémités sur la parabole)

par **Ben314** » 03 Juin 2010, 22:45

Ben, mon indice, c'était pour suivre ton idée et pour commencer par montrer que iR, c'est à dire tout les (0,y) sont dans P...

par **benekire2** » 04 Juin 2010, 11:38

Salut !

En fait je vois pas comment montrer que les (0,y) sont forcément dans P , pour l'instant, je sais juste que les (2x,2kx) sont dans P d'après ton indice précédent, mais je vois vraiment pas comment faire pour montrer que P contient iR :mur:

Merci !

par **Doraki** » 04 Juin 2010, 11:48

Ah j'avais cru qu'on partait du morceau [-1;1] alors que c'est [0;1].

(2x,2kx) sont dans P ? Pourquoi ? C'est qui k ?

par **benekire2** » 04 Juin 2010, 11:52

k est un entier naturel, mais en relisant, j'ai dit n'importe quoi ...

par **Ben314** » 04 Juin 2010, 14:13

Bon, je te donne le début "complet" :

- Comme P et stable par soustraction et que (0,0)=(0,0²) est dans P, l'opposé de tout élément de P est encore dans P et donc P est aussi stable par addition : c'est bien un groupe additif.

- Pour tout x de [0,1/2], (x,x²) est dans P donc (2x,2x²)=(x,x²)+(x,x²) aussi.
mais 2x est dans [0,1] donc (2x,4x²)=(2x,(2x)²) est lui aussi dans P.
On en déduit que (0,2x²)=(2x,4x²)-(2x,2x²) est dans P pour tout x de [0,1/2], ce qui signifie (0,y) est dans P pour tout y de [0,1/2].

par **benekire2** » 04 Juin 2010, 15:47

Pour le groupe j'avais bon, mais j'avoue que j'ai même pas penser a soustraire les deux machins que t'avais calculer ....
donc comme P est un groupe il vient assez rapidement que iR est incus dans P, de plus (x,x²) et (0,y) sont dans P pour x et y de[0,1/2] en prenant y=x² il vient que (x,0) pour tout x de [0,1/2] est dans P , donc R entier, donc C entier , ainsi P est le plan complexe tout entier. C'est dans le genre ?

par **Ben314** » 04 Juin 2010, 15:55

C'est exactement ça.

par **benekire2** » 04 Juin 2010, 16:16

Ok merci !

Khôlle : Nombres complexes

points du cercle à coordonnées rationnelles

II.b

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