Khôlle : dérivabilité et intégration

[benekire2]

ou alors c'est pas la bonne horreur que j'ai prise et faut que je cherche encore ?

[Sylviel]

Pourtant x² tend vers 0 en 0 ?

oui mais sin(1/x) ne tend pas vers 0 lui...

[Nightmare]

Ben, si t'as la flemme de tout montrer et que tu te contentes de donner les solutions, on ne va pas aller bien loin :lol3:

Bref, concernant le III] 2) plusieurs remarques :

1) Effectivement x² tend vers 0, mais je ne vois pas en quoi ça entraine que x²sin(1/x) soit un o(x²) ! Ce qui est d'ailleurs faux.

2) Concernant la dérivabilité, tu as déjà oublié la partie I] du problème à ce que je vois :lol3:

Si la notation o(...) te dérange, tu peux toujours revenir à la forme employée dans mon énoncé.

[benekire2]

ouais ... j'ai dis de la merde, je vois ... a l'évidence, x²sin(1/x) n'admet pas de DL 2 en 0 .

[Nightmare]

Effectivement ! Par contre, x^3 sin(1/x)...

[benekire2]

Ah ... alors je laisse le suspens pour demain :id: j'ai (malheureusement) d'autres choses a faire ce soir ...

Alors bon, je verrais demain :zen:

[benekire2]

De retour !!

Pour x^3sin(1/x) avec f(0)=0

Ça va te paraitre très con, mais comme f n'est pas deux fois dérivable en 0, comment avoir un DL 2 en 0 ? J'ai très peu de notions sur les DL.

Après, moi je suppose que c'est f(x)=o(x²)

[Nightmare]

Pourquoi f n'aurait-elle pas de DL d'ordre 2 en 0? On essaye justement de montrer qu'une fonction peut admettre un DL d'ordre 2 sans être 2 fois dérivable en exhibant un exemple de telle fonction.

f(x)=x^3sin(1/x) prolongée continûment en 0 convient parfaitement, f(x)/x²=xsin(1/x) qui tend vers 0 d'où f est un o(x²). Reste à montrer qu'elle n'est pas deux fois dérivable.

Dans le même genre, on peut trouver une fonction qui admet un DL en 0 de tout ordre mais qui n'est qu'une fois dérivable en 0. (Je te laisse en chercher une, voir du côté de l'exponentielle cette fois ci)

[benekire2]

Oui je sais que c'est ce qu'on voulait démontrer .
Je t'avoue que des fois la notation o(x²) m'induisent parfois en erreur. Je sais pas du tout manier les DL alors j'étais vraiment pas convaincu :marteau:

Pour prouver qu'elle n'est pas deux fois dérivable c'est pas dur. Déjà (je passe les détails) elle est dérivable en 0 et sa dérivée vaut 0.
Après on montre que sa dérivée n'est pas continue en 0. ( La je suis au cdi j'aui pas trop le temps) Je finirais tout à l'heure.


Merci nightmare :zen:


PS: J'ai enfin compris pourquoi xsin(1/x) n'était pas un o(x²) ... des fois j'atteint un niveau d'abrutisme ...

[Sylviel]

La notation o(x²) n'est pas si difficile à comprendre, mais plus d'un se mélange les pinceaux en essayant de l'utiliser. f=o(g) en a "signifie que" f est plus petite que g au voisinage de a, plus précisément que f/g->0 (en a). En fait pour être rigoureux il vaut mieux dire que f(x)=\epsilon(x)g(x) où \epsilon(x)->0 (histoire de division par zéro).

Pour les DL on dit qu'une fonction admet un DL d'ordre n en a si tu peux la mettre sous la forme f(x)=P(x-a)+o((x-a)^n) où P(x) est un polynome de degré n. On prend souvent a =0, et cela donne, de manière plus compréhensible : f vaut un polynome plus un truc tout petit au voisinage de ton point.

On sait trouver un DL d'une fonction à partir de ses dérivées successives (sous condition de régularité suffisantes), ce sont les formules de Taylor Young.

[benekire2]

Même si c'est pas dur, quand on connait pas trop on peut s'enmeler les pinceaux .

Après moi les DL en réalité je connais que ceux de Taylor youg. Bref, je préfère pas m'étendre sur les DL, sujet que je maîtrise pas trop.

[Sylviel]

Oui c'est ce que j'ai dit : on s'emmêle les pinceaux facilement. Mais bon, sinon écris o(x²)=\epsilon(x)*x². ou epsilon est une fonction qui s'annule, c'est parfaitement rigoureux et c'est peut-être plus compréhensible. Le seul truc c'est que o(x²)+o(x²)=o(x²) et si tu écris des epsilon tu te retrouves avec des sommes d'epsilon qui ne servent à rien.

Pour les DL il faut distinguer deux choses :
- l'existence d'un DL, donc d'un polynome qui ressemble à ta fonction en un point
- la manière de trouver le DL, dont la plus courante est d'utiliser Taylor Young.
Mais hors des cas d'école c'est toujours Taylor Young qu'on applique. En fait on connait vite un certain nombre de DL classique, puis on effectue les calculs avec les DL.

Exemple
sin(x)=x-x^3/6+o(x^3) (enfait c'est un O(x^4), mais bon, raf)
cos(x)=1-x²/2+o(x^3) (idem)

donne moi le DL à l'ordre 3 de
sin(x)+cos(x)
sin(x)*cos(x)

Si tu veux remplace par des epsilon comme dit précedemment, pour t'y retrouver.

[ffpower]

sin(x)=x-x^3/6+o(x^3) (enfait c'est un O(x^4), mais bon, raf)

C'est même un O(x^5)

[Sylviel]

C'est même un O(x^5)

Ok, ok, mais là c'est un cas particulier (fonction impaire suffit, je sais), alors que le O pour TY c'est toujours le cas. Mais bon pour bene qui ne voulait pas entendre parler de DL on va pas pousser...

[ffpower]

D'ac..Mais a ce moment la ne met pas un o(x^3) dans ton dl de cos :we:

[Sylviel]

ben si justement, parce que je ne veux pas rentrer dans ces détails pour benekire, je veux juste faire faire deux calculs simples avec des o...

[ffpower]

Oui, j ai bien compris, mais si tu ne veux pas utiliser la parité de cos, tu dois juste mettre un o(x²) ( ou un O(x^3) )

[benekire2]

Re bonjour .. j'étais en cours ( mais là j'ai fini ... bien que je doive réviser les tpe pour demain )


Pour la somme c'est assez intuitif, j'ajoute et comme tu l'as dit o(x3)+o(x3)=o(x3)

Après le produit c'est peut être moins intuitif... j'en sais rien mais j'essaie quelque chose qui me parrait "juste" :

sin(x)=x-(x^3)/6+o(x^3)
cos(x)=1-x²/2+o(x^3)

sinxcosx=(x-(x^3)/6+o(x^3))(1-x²/2+o(x^3))=x-(2x^3)/3+(x^5)/12 + o(x^3)


C'est ça ?

EDIT; copier coller ...

[Nightmare]

Salut !

Tu as plutôt effectué sin(x).sin(x) apparemment là !

[benekire2]

Non non !! J'ai fais cosx.sinx mais j'ai fais des copier coller alors la première étape est bien sin²x