Khôlle : Exponentielle et équadiff

[benekire2]

alors j'ai :





et ça nous permet de conclure normalement si j'ai pas écrit n'importe quoi.

[Nightmare]

Pour intégrer l'inégalité sur [0,x], il faudrait qu'elle soit d'abord vraie sur [0,x] !

[benekire2]

Pour intégrer l'inégalité sur [0,x], il faudrait qu'elle soit d'abord vraie sur [0,x] !

et comment fait-on pour y remédier ?

[Nightmare]

On veut calculer une limite lorsque x tend vers +oo, du coup on peut supposer x assez grand, en particulier supérieur à A... Tu peux essayer ensuite de découper ton intégrale en 2, vu qu'on sait ce qu'il se passe entre A et x.

[benekire2]

A ba oui, c'est pas bête.
Donc grace a l'inégalité on sait ce qui se passe entre A et +oo
Maintenant, entre 0 et A, on obtient un réel donc ça permet de conclure, c'est ça ?

[Nightmare]

Je sais pas... :lol3: Je te laisse essayer de rédiger un peu.

[benekire2]

Pour l'intégrale de A à +oo on a déjà un encadrement qui me parait acceptable.

Maintenant de 0 à A :

soit g(t)=f(t)e^t elle est continue sur R donc admet des primitives sur R. ainsi si l'on note G(t) sa primitive on a :

G(A)=k avec k€R donc en sommant ceci sur l'inégalité, on a bien un encadrement de notre intégrale ..

C'est ça ou bien je suis un escroc ?

[Nightmare]

Je n'ai pas compris l'histoire de la sommation. Sinon, même sur [A,+oo[ il y a des choses à écrire. Ce n'est pas difficile mais c'est de la manipulation epsilonesque qu'il faut savoir faire !

[benekire2]

Pourquoi, mon encadrement n'est pas bon ? e^-x (l-e)< int A à +oo
faut que je modifie quoi ?

Pour la sommation, en fait, on sait que l'intégrale de 0 à A est constante, donc int 0 à +oo = int A à +oo + k et donc il suffirait de le rajouter dans notre inégalité.

[ffpower]

Une indication pour faire 1)b) par une autre méthode:
( Si F est la primitive de f valant par exemple 0 en 0, montrer que F(x+y) peut s exprimer en fonction de F(x), F(y) et f(y) puis déduire de cette expression la dérivabilité de f )

[Nightmare]

Pourquoi, mon encadrement n'est pas bon ? e^-x (l-e)< int A à +oo<e^-x(l+e)

faut que je modifie quoi ?

Que signifie ton intégrale de A à +oo ? Qui fais-tu tendre vers +oo? x? Dans ce cas pourquoi figure-t-il dans les autres membres de l'inégalité?

Pour la sommation, en fait, on sait que l'intégrale de 0 à A est constante, donc int 0 à +oo = int A à +oo + k et donc il suffirait de le rajouter dans notre inégalité.

L'intégrale de 0 à A constante ? Bof... Essaye d'écrire proprement, ça sera peut être mieux. Je te rappelle qu'on veut prouver que le tout tend vers l.

[benekire2]

Est on d'accord sur le fait que l'on a :



Et que l'on a

Par conséquent



soit

[Nightmare]

Ca me va déjà mieux ! Comment conclure?

[benekire2]

Et bien on passe à la limite, et il y a un tas de truc qui s'en va ...

reste plus que l-e et l+e sur les côtés. Ce qui montre bien que l'intégrale converge, c'est ça ?


PS : Faut bien sur rajouter le bout que j'ai oubié de mettre qui est lambda e^-x
mais qui converge vers 0

[Nightmare]

Et bien on passe à la limite, et il y a un tas de truc qui s'en va ...

reste plus que l-e et l+e sur les côtés. Ce qui montre bien que l'intégrale converge, c'est ça ?

Eh bien je ne sais pas, qu'en penses-tu ?

[benekire2]

Ba moi je pense que c'est bon, c'est la définition de la convergence. Rien de plus.

Après pour ta I-b je laisse de côté pour le moment ... ça s'annonce tendu !!!

Pour la III je vais p-e commencer ce soir, sinon ce sera jeudi après le bac blanc de Français !!

[Nightmare]

Le raisonnement bien que dans le fond juste n'est pas très propre. L'idée est de tout epsiloner et de montrer qu'au final, à partir d'un certain réel, on arrive à encadrer notre expression par et .

[benekire2]

oui je vois ... je passe à la limite une fois .. je tricote .. je dit qu'il y a une seconde limite c'est pas honnête ce que je fais en gros !!

Mais comment tout "epsiloner" ? J'ai franchement du mal sur ce point.

[Nightmare]

Déjà, pour simplifier les calculs, on peut se ramener au cas où la limite de f est nulle. (Pourquoi?)

Dans ce cas, le membre de droite est . Le but est d'alors de formaliser les limites de 1-exp(-x)exp(A) et de kexp(-x) pour qu'au final, on trouve qu'à partir d'un certain max(A,A',A''), on ait que le membre de gauche est supérieur à . Je te laisse essayer. Si tu n'y arrives pas ce n'est pas grave, c'est compliqué pour un élève qui n'a pas l'habitude de les manipuler.

[benekire2]

on peu considérer la limite nulle , parce que on peut forcément s'y ramener par translation ( enfin ajout d'un réel ).

Après, pour tout e (de R*+) il existe A' tel que x>A' => -epour tout e il existe A'' tel que x>A'' => 1-e<1-exp(-x)exp(A)<1+e

ainsi a gauche notre "paquet" sera supérieur à -2e+e² soit supérieur à -e


je ne sais pas si c'est ce que tu attends vraiment.

Si tes élèves y arrivent ( et je pense très très bien la dessus ) je vois pas pourquoi j'aurais "le droit" de ne pas y arriver. Surtout que la manipulation des limites et autres de ce genre c'est pour bientôt ...