Khôlle : Exponentielle et équadiff

[Nightmare]

Plus généralement, le terme homothétie désigne l'application linéaire (dans mon cas, x vit dans E et k est un réel, dans le cas général, x est dans un K-ev et k dans K)

[benekire2]

ok ok

Donc tu dit que les seules applications continues linéaires de R sont les f(x)=kx

sauf qu'elles ne vérifient pas notre condition .. et puis f(x)=kx est parfaitement dérivable

je ne suis pas sur de te comprendre ...

par contre si on suppose que f est dérivable en 1 point .. ça change tout, on pourrait se ramener au premier cas ..

[Nightmare]

Donc tu dit que les seules applications continues linéaires de R sont les f(x)=kx

Oui !

sauf qu'elles ne vérifient pas notre condition ..

Personne n'a dit qu'elles la vérifiaient :lol3:

et puis f(x)=kx est parfaitement dérivable

Je n'ai jamais dit qu'elle ne l'était pas !

je ne suis pas sur de te comprendre ...

Ne peut-on pas passer de notre équation fonctionnelle à celle de Cauchy, à savoir f(x+y)=f(x)+f(y) ?

par contre si on suppose que f est dérivable en 1 point .. ça change tout, on pourrait se ramener au premier cas ..

Effectivement, mais ce n'est pas supposé, il faut donc démontrer que f est dérivable en 1 point, comme cela a déjà été suggéré !

[benekire2]

Euh pourquoi tu veut qu'on passe à f(x+y)=f(x)+f(y) ?

Je sais bien que f(x)=kx le vérifie .. mais étant donné qu'on veut résoudre f(x+y)=f(x)f(y) .. je comprends pas !!

[Nightmare]

Supposons qu'il soit loisible de poser g(x)=ln(f(x)).

Tu remarques qu'alors g(x+y)=g(x)+g(y) !

[benekire2]

a ba oui ... pas con !!

donc g(x)=kx ie f(x)=e^kx

[Nightmare]

C'est ok. Bien entendu, il faut préciser qu'on a le droit de poser g=ln o f, ce que tu as déjà fait dans ta résolution du 1) puisque tu as montré que f était a fortiori positive. Le plus intéressant était de démontrer l'indice, à savoir que les homothéties sont les seules applications linéaires continues de R dans R.

:happy3:

[benekire2]

Alors pour la démo de l'indice j'ai deux idée qui me viennent ;

- Je sais que les homotéties sont des applications linéaires de R dans R et je considère qu'il existe d'autres fonctions qui le sont également. J'essaye alors de montrer que ces autres fonctions sont ... des homotéties .

-Autre chose, je cherche toutes les fonctions continues telles que f(x+y)=f(x)+f(y) ...

[benekire2]

je vais préférer la deuxième méthode. ( En fait j'avais fait un exo ou on montrais certaines propriétés de ces fonction :zen: c'est pour ça ... )

Alors f(0)=2f(0) donc f(0)=0
Par la suite f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x) c'est à dire f(x)=-f(-x) donc f est impaire

Après je réfléchis :happy2:

Edit :

Une propriété qu'on avait montré mais seulement sur les entiers :
f(nx)=nf(x)

Preuve : f(0x)=0=0f(x)

f((n+1)x)=nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)

Maintenant reste a généraliser sur R ... une récurrence "continue" Non je déconne ..

Avec x=1 on a f(n)=nf(1) avec n dans N .

[benekire2]

Ah ... je viens de retrouver la preuve sur Q :

Montrons que pour tout rationnel x=p/q on a f(x)=xf(1)

qf(p/q)=f(p)=pf(1) donc f(p/q)=(p/q)f(1) ie f(x)=xf(1) pour tout rationnel .

Pour R, aucune idées pour l'instant , mais je suis certain que l'hypothèse sur la continuité de f joue :mur:

[Nightmare]

On a effectivement f(nx)=nf(x) pour tout n entier et x quelconque.

Tu peux remarquer que f est une homothétie <=> f(x)=xf(1) pour tout réel x...

[benekire2]

On a effectivement f(nx)=nf(x) pour tout n entier et x quelconque.

Tu peux remarquer que f est une homothétie f(x)=xf(1) pour tout réel x...

Oui je sais que f(x)=f(1)x f est une homothétie , mais il nous faut montrer la propriété sur R, pas simplement sur N ou Q

[Nightmare]

Il faut donc réussir à passer de Q à R.

[benekire2]

Une idée me viens, avec la continuité de f et la densité de Q dans R , on devrait s'en sortir ...mais je n'y arrive pas trop , le fait est que j'ai du mal a utiliser la continuité de f en fait ...

[Nightmare]

Utiliser la continuité séquentielle de f :happy3:

[benekire2]

a oui,

on a une suite de rationnels qui converge vers un irrationnel a
les images de ces termes par la fonction sont f(1)x et donc la suite converge vers f(1)x et comme la fonction est continue on en déduis que f(a)=f(1)a


Donc pour tout réel x f(x)=f(1)x

[Nightmare]

C'est l'idée !

Repose toi, la khôlle de la semaine prochaine arrive :lol3:

[benekire2]

Je venais de réfléchir a une autre démo avec une fonction auxiliaire.

Soit h(x)=f(x)-f(1)x pour tout x

pour tout rationnel h(x)=0

donc s'il existe a irrationnel tel que g(a)>0 ( resp <0 .. ) on aurait par continuité l'existence d'un intervalle centré en a ou h ne serait pas nulle.
sauf que par densité de Q dans R il y a forcément un rationnel dedans d'ou la fonction s'annule. Contradiction. g(x)=0 ie notre résultat :hein:

[benekire2]

C'est l'idée !

Repose toi, la khôlle de la semaine prochaine arrive :lol3:

Cool :we:

[Nightmare]

Oui, c'est équivalent à ce que tu as déjà fait.