Khôlle : Un brin de groupe dans Lagrange.

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

Khôlle : Un brin de groupe dans Lagrange.

par Nightmare » 10 Avr 2010, 18:57

Salut à tous :happy3:

Voici la khôlle de la semaine prochaine (dernière avant les vacances).


Données : Dans cet exercice, G est l'ensemble (fini) des permutations de . On note l'opération "composition" entre les permutations dont on omettra le symbole pour la suite. se notera . On vérifiera que G vérifie les 3 conditions suivantes :

1)
2)
3). ( désignant la permutation réciproque de ).

On considère en outre H un sous-ensemble de G vérifiant les même 3 conditions. Pour finir, nous définissons l'ensemble des couples d'éléments de G tels que .



Partie I : Relation d'équivalence

Montrer les propriétés suivantes :

. a)
. b)
. c)


Partie II : Etude des classes d'équivalence

Etant donné un élément de G, on définit la classe (d'équivalence) à gauche de (modulo H) comme l'ensemble

. 1) Justifier la notation

. 2) Montrer que la classe à gauche d'un élément quelconque de G a toujours autant d'élément que H.

. 3) Montrer que deux classes à gauche sont soient égales, soient disjointes.

Partie III : Théorème de Lagrange

. 1) Justifier que les classes à gauche forment une partition de G

. 2) En déduire que le nombre d'élément de H divise le nombre d'élément de G. Ce théorème porte le nom de théorème de Lagrange.

. 3) Application : En considérant H l'ensemble des permutations qui laissent n invariant, retrouver que .


Amusez-vous bien, l'exercice en lui même n'est pas difficile, les notions sont juste nouvelles.

:happy3:



benekire2
Membre Transcendant
Messages: 4678
Enregistré le: 08 Avr 2009, 18:39

par benekire2 » 10 Avr 2010, 19:12

qu'es-ce que l'on entend par x-y=H ?? que x-y est dans H ?

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 10 Avr 2010, 19:13

Oui, bien entendu ! Je corrige ça.

benekire2
Membre Transcendant
Messages: 4678
Enregistré le: 08 Avr 2009, 18:39

par benekire2 » 10 Avr 2010, 19:20

Je me disais ...

Partie I :

a) x-x=0 c'est la première condition, donc 0 est dans H
b) je traite que l'implication directe: on a x-y dans H mais aussi grace a la troisième propriété -(x-y) dans H c'est a dire y-x dans H.
c) x-y dans H et y-z dans H par somme ( propriété 2) x-z dans H

Je traite la suite quand j'ai fini l'autre khôlle.

ffpower
Membre Complexe
Messages: 2542
Enregistré le: 13 Déc 2007, 06:25

par ffpower » 10 Avr 2010, 20:09

Nightmare a écrit:Données : Dans cet exercice, G est un sous-ensemble fini de , vérifiant les 3 conditions suivantes :

1)
2)
3)


Euh, je veux bien voir un exemple de tel G à part {0} :happy2:

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 20442
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

par Ben314 » 10 Avr 2010, 20:12

Euhhh,
Tu est sûr de ton coup Nightmare :
Des sous groupes additifs FINIS de R, il me semble qu'il y en a tout de même trés peu (déjà que des multiplicitatifs, il y en a pas beaucoup)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

benekire2
Membre Transcendant
Messages: 4678
Enregistré le: 08 Avr 2009, 18:39

par benekire2 » 10 Avr 2010, 21:12

{-1;0;1} :id:

Pour la 1 du II , je sais pas du tout ce qu'il est attendu en fait .. faut-il expliquer la signification de x+H ?

ffpower
Membre Complexe
Messages: 2542
Enregistré le: 13 Déc 2007, 06:25

par ffpower » 10 Avr 2010, 21:43

1+1=2 :zen:

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 20442
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

par Ben314 » 10 Avr 2010, 22:06

ffpower a écrit:1+1=2 :zen:
Déjà, Nightmare il est fort, hein, il est fort, mais alors là, ffpower il est encore plus fort que Nightmare, je crois...

Par contre, aujourd'hui, benekire2, je sais pas ce qu'il a mangé ce midi, mais il est pas trop fort, pas trop...

P.S. On voit là un net interêt à poser cs "khôlles" sur le forum au préalable...
En plus, je vois pas comment modifier l'énoncé pour le rendre plus... interessant on va dire...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

benekire2
Membre Transcendant
Messages: 4678
Enregistré le: 08 Avr 2009, 18:39

par benekire2 » 10 Avr 2010, 22:50

Ouais ... c'est absolument , complètement con ce que j'ai dit !! :mur:

Ben314 a écrit:Par contre, aujourd'hui, benekire2, je sais pas ce qu'il a mangé ce midi, mais il est pas trop fort, pas trop...



Si seulement c'était qu'aujourd'hui :mur: simplement que aujourd'hui tu t'en rend plus compte que les autres jours parce que j'ai beaucoup sollicité ton aide !

Pour en revenir au sujet:
L'exercice se traite -il quand même ?

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 20442
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

par Ben314 » 11 Avr 2010, 00:24

Si tu ne te pose absolument pas la question de savoir si un tel ensemble existe dans R, c'est interessant (mais je pense que c'est pas façile de faire abstraction...)

La seule chose qui me vient à l'esprit comme modif, c'est de commencer par :

Soit G un groupe commutatif fini, c'est à dire un ensemble fini muni d'une opération + associative [x+(y+z)=(x+y)+z], commutative [x+y=y+x], admettant un élément neutre 0 (x+0=x), et telle que tout élément x admette un opposé -x [x+(-x)=0]

Ensuite, l'ensemble R est l'ensemble des (x,y) de G² tels que...

Sauf que, ça me parrait vraiment trés théorique pour un niveau lycée...

Sinon, si tu sais pas quoi faire, t'as toujours "mon" challenge à moi
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

ffpower
Membre Complexe
Messages: 2542
Enregistré le: 13 Déc 2007, 06:25

par ffpower » 11 Avr 2010, 00:34

Ben314 a écrit:Déjà, Nightmare il est fort, hein, il est fort, mais alors là, ffpower il est encore plus fort que Nightmare, je crois...

Merci, merci, je suis particulierement inspiré ce soir :)

Sinon, y'aurait p-e moyen de faire Lagrange dans Z/nZ pour en déduire ensuite le petit théoreme de Fermat. Par contre va falloir reussir a bien adapter la chose dans Z/nZ en évitant de définir celui ci comme le quotient d une certaine relation d'équivalence...Mais attendons l'avis de l'auteur^^

Pour Benekire pour qui mon paragraphe précédent est probablement du charabia: Le théoreme en question que l'on prouverait serait que si a est premier avec n, alors modulo n, ou est le nombre d'entiers de {1,..,n} premiers avec n

Edit : sauf que je viens de me rappeller qu'il y a une preuve plus simple que passer par Lagrange, donc je ne sais pas si c'est treés pertinent finalement..

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 20442
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

par Ben314 » 11 Avr 2010, 00:43

C'est effectivement sans doute le groupe commutatif fini le plus "envisagable" niveau lycée, mais si tu prend le groupe additif Z/nZ tout entier le résultat (à savoir n.x=0 pour tout x) est pas fantastique et si tu prend le groupe multiplicatif des élément inversibles, (pour obtenir Lagrange) je sais pas trop si y'a pas des "préliminaires" à écrire niveau lycée...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 11 Avr 2010, 03:14

Salut à tous !

Arf oui, ça ne va pas du tout ça !! En fait j'ai modifié la khôlle d'origine, qui était, comme en parle ffpower, plus axée sur Z/nZ. Je voulais l'aborder comme {1,...,n} munit des deux lois "usuelles" sur Z/nZ. Le problème est que je voulais absolument me passer de parler de nouvelle opération. Surtout qu'après, je devais parler de ((Z/nZ)*,x) pour démontrer le théorème d'Euler.

Bref, je sais pas trop comment je vais m'y prendre. A vrai dire, c'est le prof qui voulait absolument que je fasse une introduction aux groupes, moi je voulais en faire une d'algèbre linéaire qui me paraissait nettement plus visuelle.

Bon, il faut que je modifie complètement mon énoncé. Pour Benekire, vu que tu as déjà vu les définitions des groupes, tu peux traiter l'exercice avec la modification de Ben.

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 11 Avr 2010, 03:20

Je pense adapter l'énoncé avec le groupe des permutations. En plus je devrais pouvoir faire retrouver son cardinal en application. Je verrai ça demain, il se fait tard !

benekire2
Membre Transcendant
Messages: 4678
Enregistré le: 08 Avr 2009, 18:39

par benekire2 » 11 Avr 2010, 10:05

Nightmare a écrit: Pour Benekire, vu que tu as déjà vu les définitions des groupes, tu peux traiter l'exercice avec la modification de Ben.



C'est a dire, je prends quoi exactement ?

EDIT: C'est bon, j'ai trouvé :zen: :marteau:

benekire2
Membre Transcendant
Messages: 4678
Enregistré le: 08 Avr 2009, 18:39

par benekire2 » 11 Avr 2010, 10:39

J'irais le faire ton challenge ben, t'en fais pas !! (je l'avais presque oublié ...)

Sinon avec le groupe commutatif est-ce que l'énoncé reste le même en tout points ?

benekire2
Membre Transcendant
Messages: 4678
Enregistré le: 08 Avr 2009, 18:39

par benekire2 » 11 Avr 2010, 14:29

Pour justifier x+H est-ce que je peut dire que c'est x décrivant H ?

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 11 Avr 2010, 14:31

benekire2 a écrit:Sinon avec le groupe commutatif est-ce que l'énoncé reste le même en tout points ?


Quel groupe commutatif? Tu peux prendre comme je l'ai indiqué le groupe des permutations, et la loi de composition à la place de la loi +. Je vais modifier l'énoncé en conséquence.

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 11 Avr 2010, 14:45

Voila, l'énoncé est modifié. Attention cependant, le groupe des permutations n'est pas commutatif !

 

Retourner vers ✎✎ Lycée

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 64 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite