Khôlle : Un brin de groupe dans Lagrange.

[benekire2]

Je suppose que si tu fais un exo la dessus c'est que ça doit être bien utile :ptdr:

Pour la III-3 je vais réfléchir a mieux réécrire mais je sais pas si j'arriverais à être plus clair. :marteau:

Une question: Je peut garder la récurrence quand même ?

[Nightmare]

Oui, procéder par récurrence est une bonne idée. Question quand même : Une récurrence sur quoi ?

[benekire2]

Tu répond plus vite que ton ombre parfois :id:

J'arrive a voir qu'il faut une récurrence, je vois a quoi elle sert mais de te dire exactement sur quoi :doh: En fait je pense que c'est sur les permutations qui fixe n , n-1 .. etc. Ici H fixe n. H_1 fixe n et n-1 et on continue H_2 fixe n,n-1 et n-2 ...

[Nightmare]

Ici, on considère le groupe des permutations de {1,...n}. Comme je te l'ai dit, tu peux montrer qu'en fait H s'identifie au groupe des permutations de {1,...,n-1}, ce qui invite grandement à faire une récurrence sur n non?

[benekire2]

Ici, on considère le groupe des permutations de {1,...n}. Comme je te l'ai dit, tu peux montrer qu'en fait H s'identifie au groupe des permutations de {1,...,n-1}, ce qui invite grandement à faire une récurrence sur n non?

Dit comme ça oui :id:

[benekire2]

Est ce que je peut dire :

Comme il y a n éléments dans G il y a n sous groupes qui fixent un élément de G d'où card(G)=n*card(H) ??

[benekire2]

J'ai réfléchis un peu ... et en fait je vois pas comment faire ma récurrence proprement. En fait pour moi, je suis pas bien loin du raisonnement que je tenais sur l'autre post ... je dirais :

G est un groupe à n éléments. Il comporte donc n sous groupes qui fixent un seul élément de G. Comme card(H) divise card(G) on a card(G)=n*card(H)

En fait je ne vois pas le problème pour l'instant :triste:

Comme h peut être identifié au groupe des permutations de n-1 éléments ; par récurrence on a :
card(G)=n*(n-1)*...*2*card(M) avec M un groupe qui fixe tout les éléments de G donc card(M)=1 c'est à dire card(G)=n!

[benekire2]

En fait je pense à un truc, si on considère la propriété card(G)=n!

Le résultat est immédiat pour n=1
supposons maintenant K un groupe à n-1 éléments tel que card(K)=(n-1)!
On peut identifier H au groupe K puisque dans H, n est fixé. On peut même identifier à K tout groupe qui fixe un seul et unique élément de G. Il y a n groupe qui vérifient cela. De plus card(K)=card(H) d'où card(K)|card(G) et on a donc card(G)=ncard(K)=n*(n-1)!=n! CQFD (en principe)

C'est mieux ?

[Ben314]

Bon, je pense que tu fait fausse route depuis 3/4 posts :
Je vois pas bien pourquoi il y aurait n sous-groupes qui fixent un élément donné (en fait, il y en a... beaucoup beaucoup plus)
Ici, la seule chose qui t'intéresse au départ, c'est le sous groupe H constitué de l'ensemble de toutes les permutations qui fixent un élément donné, par exemple qui fixent n :

Si c'est pas "totalement évident" pour toi, commence par vérifier qu'il s'agit bien d'un sous groupe et qu'en fait, c'est la même chose que le groupe des permutations de {1,2,...,n-1}

Ensuite, regarde quelles sont les classes à gauche de H, plus précisément, essaye de voir combien de classe à gauche différentes il y a.
Qu'en déduit tu concernant le cardinal de G ?

P.S. Je me demande si ton "erreur" ne vient pas du fait que tu pense que les classes à gauches sont elles aussi des sous groupes. C'est faux.
Je sais pas si tu a fait assez d'algèbre pour que ça évoque quelque chose pour toi, mais, vu d'un peu loin, les sous groupes ç'est un peu comme les sous espaces vectoriels et les classe à gauche un peu comme les sous espaces affines (donc c'est bien plus "gros")

[benekire2]

Disons que je ne voyais que les sous groupes qui m'intéressaient

Ensuite, regarde quelles sont les classes à gauche de H, plus précisément, essaye de voir combien de classe à gauche différentes il y a.
Qu'en déduit tu concernant le cardinal de G ?

C'est là que je n'y arrive plus. :mur:

[Ben314]

Si tu fixe une permutation , essaye de caractériser les éléments de la classe à gauche .
Une permutation est dans ssi elle s'écrit où , c'est à dire ssi , c'est à dire ....

[benekire2]

Si tu fixe une permutation , essaye de caractériser les éléments de la classe à gauche .
Une permutation est dans ssi elle s'écrit où , c'est à dire ssi , c'est à dire ....

C'est ce que j'avais commencé à faire, mais ça ne m'a mené à rien de concluant.

Ici on doit avoir dans H.

[Nightmare]

Salut !

On a donc dit qu'on regroupait en classes toutes les permutations qui envoyaient n sur la même image. Du coup, on a naturellement n classes non? (La classe des permutations qui envoient n sur 1, celle des permutations qui envoient n sur 2 etc...). De plus on a dit que H s'identifiait au groupe des permutation d'ordre inférieur, autrement dit si je note Gn le groupe des permutations de {1,...,n}, on obtient .

On conclut rapidement par récurrence.

[benekire2]

Salut !

On a donc dit qu'on regroupait en classes toutes les permutations qui envoyaient n sur la même image. Du coup, on a naturellement n classes non? (La classe des permutations qui envoient n sur 1, celle des permutations qui envoient n sur 2 etc...). De plus on a dit que H s'identifiait au groupe des permutation d'ordre inférieur, autrement dit si je note Gn le groupe des permutations de {1,...,n}, on obtient .

On conclut rapidement par récurrence.

Salut :happy3:

C'est pas ce que j'ai dit dans mes post précédents ?

( Avec moins de concision et de rigueur certainement ...)

[Ben314]

Sans vouloir te vexer, j'ai pas trop vu où est-ce que tu démontrait que H avait exactement n classes à gauche...

Tient, je viens aussi de voir que dans le post #70 :

Une permutation est dans ssi elle s'écrit où , c'est à dire ssi , c'est à dire ....

j'ai écrit une connerie : la fin c'est ,

[benekire2]

non je ne l'ai pas montrer, d'accord mais j'avais dit qu'il y avait n groupes des permutations à (n-1) éléments enfin bref, oubliez, je me comprends :zen:

[Nightmare]

Il n'y a pas n groupes de permutations à (n-1) éléments mais n classes à gauches ! (Qui comme le dit Ben, ne sont pas des groupes)

[Ben314]

Bon, je t'écrit ce qui, à mon sens, devrait apparaitre quelque part et que je ne trouve... nulle part.

où

(par définition de )

Comme il y a exactement n possibilités différentes pour , cela montre que a exactement n classes à gauche différentes.

[benekire2]

Il n'y a pas n groupes de permutations à (n-1) éléments mais n classes à gauches ! (Qui comme le dit Ben, ne sont pas des groupes)

oui je sais, il me l'as déjà dit ! Mais c'est comme ça que je le concois dans ma tête; bref j'ai dit d'oublier ce que j'ai écrit :zen:

[Nightmare]

Est-ce que la notation Z/nZ t'est familière? Connais-tu cet "ensemble" ? Si oui, alors une application du théorème de Lagrange serait la démonstration du (petit) théorème de Fermat et plus généralement du théorème d'Euler.