Khôlle : Un brin de groupe dans Lagrange.

[benekire2]

en fait là je suis tout de suite plus embêté avec les permutations. J'arrive pas a voir que représente r ou o. J'arrive pas du tout à visualisé le truc, et la composition je comprend pas trop. Ça suppose que r et o sont des applications?

[Nightmare]

Permutation de {1,...n} = bijection de {1,...n}. (Autrement dit, un réordonnement des n premiers entiers)

Par exemple dans {1,...,5} on a la permutation (qui envoie 1 sur 2, 2 sur 1, 3 sur 5 etc...).

La composée est la même chose que la composée de fonctions.

[Doraki]

Voila, l'énoncé est modifié. Attention cependant, le groupe des permutations n'est pas commutatif !

Du coup t'as défini dans le mauvais sens.

[benekire2]

donc on a : oo-1=rr-1 et oo-1=1,2,3,4,5 c'est ça ? Je sais pas trop comment noté l'identité ici ..

[Nightmare]

Du coup t'as défini dans le mauvais sens.

Merci, c'est corrigé :happy3:

[Nightmare]

donc on a : oo-1=rr-1 et oo-1=1,2,3,4,5 c'est ça ? Je sais pas trop comment noté l'identité ici ..

Je ne comprends pas trop tes notations mais la bijection réciproque n'est autre que le chemin inverse.

Si ma permutation est , ma réciproque sera

[Nightmare]

J'espère au moins que cet exo de khôlle sera enrichissant parce que j'aurai passé du temps dessus !!! En plus j'hésite encore énormément à ne pas en faire un d'algèbre linéaire, le prof m'ayant finalement dit que je pouvais le faire.

[benekire2]

Je ne comprends pas trop tes notations mais la bijection réciproque n'est autre que le chemin inverse.

Si ma permutation est , ma réciproque sera

Je sais mais quand on compose une appli avec sa réciproque on retombe sur l'identité, mais comment la noté à part Id ? Je la note (1 2 3 4 5) ?

Enfin bref, je ferais l'exo demain, pas avant !

[Nightmare]

Ce n'est pas vraiment important si? Tu peux la noter Id, ou comme tu veux.

[benekire2]

II-
Pour justifier la notation je sais pas trop , mais je dirais que c'est avec qui décrit H.

Pour la question suivante j'ai pas de "vraie" preuve mais pour moi du fait que H soit fini, je dirais que il ne peut y avoir que le même nombre de r dans G que de sigma' dans H. Reste a justifier l'unicité de ces r ...

Pour la 3, je pense avoir une démo a peu de chose près rigoureuse ( quoi que .. ) et je la poste dès que je peux

[Nightmare]

Pour la notation, c'est bien ça.

Le reste, je te laisse cogiter. Pour la II] 2), je t'invite à considérer le morphisme

[benekire2]

Au risque de te décevoir, je ne connais pas grand chose sur les morphismes si ce n'est leur définition.
Alors je vois pas trop trop comment faire ( mais ça doit pas être dur je suppose)

Une dernière question sur la 1) du II :

J'ai dit que c'est avec qui décrit H mais c'est pas plutôt juste sigme qui décrit H ? Ça me parait plus logique.


3) Bon on m'a dit de distinguer les deux cas ...

Supposons x et y éléments de G. supposons (x,y) dans R. Soit z élément de la classe d'équivalence de y on a (y,z) dans R d'où (x,z) dans R d'où l'égalité des classes.

supposons maintenant que (x,y) ne soient pas dans R. Alors c'est bizarre , mais je dirais : d'après la propriété (c) comme (x,y) n'est pas dans R alors au moins l'une des deux affirmations est fausse (x,z)dans R et (z,y) dans R) ce qui suffit a montrer que les classes sont bien disjointes.

[benekire2]

Ah quand je montre que les classes sont égales, j'ai qu'une inclusion, mais bon, on s'en sort (très) facilement avec la symétrie (x,y) dans R (y,x) dans R .

[Nightmare]

Re salut,

en fait l'idée de la khôlle est de travailler avec des structures abstraites de façon concrète. Dans mon énoncé, tu remarques que le groupe G est définit alors que son sous-groupe H est pour le moment arbitraire. Aujourd'hui, les élèves un peu bloqués comme toi du fait qu'ils aient du mal à imaginer les outils qu'ils manipulent, ont tout de suite compris que pour se faire une idée, il fallait fixer H et essayer de décrypter alors l'énoncé.

Ici, par chance, j'ai donné un exemple de H possible à la fin de l'énoncé il s'agit du sous-groupe formé des permutations de {1,...,n} qui fixent n (.

A partir de là, on peut interpréter l'énoncé. Par exemple l'ensemble R (comme Relation... ). Un couple de permutation est dans R lorsque où t est dans H, ie est une permutation qui fixe n.
Autrement écrit, (Tu peux t'arrêter deux minutes sur cette égalité qui permet de répondre à la question II] 1) )
Finalement, deux permutations sont en relation (= le couple est dans R) lorsqu'elles envoient n sur la même image. (Pour faire l'analogie avec un groupe de n personnes qu'on veut placer sur n chaises, deux "placements" sont en relation si la dernière personne est affecté à la même chaise quel que soit le placement.)

L'idée des classe d'équivalences est alors de classer les permutations selon l'image qu'elles affectent à n. Je te laisse regarder tout cela d'un peu plus près et continuer avec cet exemple dans la tête.

[benekire2]

juste avant de faire la 2) ; est-ce que ma réponse à la 3 est bonne ? Et quelle réponse à la 1 est bonne ? Merci. Faut ue j'y voie plus clair, je commence un peu à mieux comprendre.

[benekire2]

II 2)

On a vu qu'on doit avoir le résultat me parrait immédiat vu que sigma décrit H.

[Nightmare]

c'est t qui décrit H ! La 3) je regarderai quand la 2) sera réglée :lol3:

[benekire2]

euh ... je comprends plus la, je croyais que c'était sigma qui décrivait H ... je comprends pas les notations alors.

le sigma H signifie quoi au juste ?? Pour moi on avait un sigma de H et on cherchait les tau de G tels que (sigma,tau) soient en relation. :mur:

[Nightmare]

Où ais-je écrit que sigma décrivait H?

[benekire2]

tu ne l'as pas écrit, mais c'est ce qui me paraissait "logique" .
on peut pas remettre ça au clair ??

Que signifie le sigma H ? Si j'en crois tes réponses tu as aprouvé (une) de mes réponses qui est que ça signifie sigma sigma' avec sigma' qui décrit H. Admettons. Je ne comprends pas trop l'énoncé en ces cas là. On cherche les tau qui soient en relation avec sigma. Mais comme sigma ne varie pas, c'est là que je ne comprends plus la notion de classe d'équivalence.
:help: :cry: