Khôlle : Pour les cancres

[Nightmare]

Salut à tous :happy3:

Cette semaine, sans idée précise de sujet, j'ai proposé aux élèves une khôlle sur un sujet amusant, pas si facile que ça.

I] Somme frauduleuse :

Nous définissons sur l'ensemble des rationnels positif une nouvelle opération, que nous appellerons "somme frauduleuse" notée définie de la façon suivante : Si et et si les fractions sont irréductibles, alors. Si l'on note abusivement , alors on peut étendre la somme frauduleuse à l'infini : . On pose

.1) Montrer que cette opération :

a) n'est pas associative
b) est commutative
c) vérifie :

. 2) Pour deux rationnels irréductibles, notons . Montrer que :

a) Si alors la somme fournit, sans simplification, une fraction irréductible
b) si et ssi
c) Pour tout rationnel positif z, il existe x et y uniques dans tels que et



II] Dénombrement des rationnels

On considère dans cette partie, la suite définie comme suit :




etc... en intercalant entre chaque fraction leur somme frauduleuse.

. 1) Montrer que la suite ne contient que des rationnels irréductibles

. 2) Montrer que la suite contient tous les rationnels positifs.

. 3) Expliciter alors une bijection entre et . On cherchera aussi une méthode pour trouver l'antécédent d'un rationnel par cette bijection.


III] Les numérateurs :

On considère la suite définie par et

Question : Montrer que l'ensemble des couples de la forme est exactement l'ensemble des couples de nombres premiers entre eux.

Amusez-vous bien :happy3:

[Ben314]

Salut :
Quelques remarques :

1) Faudrait que tu précise bien que, avant de faire la "somme frauduleuse", il faut écrire les deux fractions sous forme irréductibles car sinon, c'est un peu ennuyeux que la "somme frauduleuse" de 1/2 et 1/2 ne donne pas le même résultat que celle de 1/2 et 2/4...
(en résumé, ça passe pas au quotient...)

2) Idem pour le déterminant...

3) Pour le 2)b) et 2)c), je suggérerais de remplacer les 'a' et 'b' par des 'y' et des 'z' pour avoir la logique sous entendue : a,b,c entiers ; x,y,z quotients.

[Nightmare]

C'est corrigé, je te remercie. :happy3: N'hésite pas si tu vois d'autre soucis (grâce à vous, rare sont les fois ou les élèves jouissent du plaisir de détecter une erreur dans l'énoncé lors de la khôlle :lol3: )

[Nightmare]

3) Pour le 2)b) et 2)c), je suggérerais de remplacer les 'a' et 'b' par des 'y' et des 'z' pour avoir la logique sous entendue : a,b,c entiers ; x,y,z quotients.

Ca à la rigueur c'est pas très important :lol3:

Edit : Mais pour pas te contrarier, j'ai effectué la modif quand même

[Ben314]

3) Pour le 2)b) et 2)c), je suggérerais de remplacer les 'a' et 'b' par des 'y' et des 'z' pour avoir la logique sous entendue : a,b,c entiers ; x,y,z quotients.

Quand je relit les sujet d'exams fait par des collègues, j'ai l'habitude de faire une remarque dés que je suis obligé de revenir en arrière pour être sûr de comprendre l'énoncé.
C'est devenu un espèce "d'automatisme" d'où ce type de remarque pas super pertinentes...

Sinon, je vois rien d'autre...

[Anonyme]

S'il n'est pas nécessaire que les fractions soient irréductibles on trouverai que la "somme frauduleuse" est associative non ?

J'ai pas compris la définition du complémentaire de Q+ (Q+ barre). Qu'entendez vous par l'ensemble {oo} ?


Edit: Je crois avoir compris , est ce l'ensemble des rationnels auquel s'ajoute la fraction 1/0 ?

[Nightmare]

Salut Qmath !

Comme l'a illustré Ben, si les fractions ne sont pas sous forme irréductible, la somme frauduleuse n'a pas de sens (au sens ou ce n'est pas une application).

Pour (ici, la barre correspond plutôt à la notion d'adhérence topologique qu'au complémentaire), c'est l'ensemble des rationnels auquel on a "rajouté" . C'est assez informel au sens ou n'est pas vraiment un "nombre", alors pour ne pas trop se borner sur la notation, disons qu'elle sert simplement, dans les énoncés, à éviter d'avoir à écrire ", on a la propriété truc, elle demeure vraie si x est éventuellement infini", on écrira plus rapidement ", on a la propriété truc."

[Ben314]

Qu'entendez vous par l'ensemble {oo} ?

Oh, moi, personellement, par là j'entend pas grand chose (Pierre Dac : Le Fakir Rabindranath Duval)

[Anonyme]

Le 1) est assez simple.

Pour le 2)a- j'ai essaye de démontrer la proposition de façon direct mais en vain alors je passe a un raisonnement par l'absurde alors je suppose qu'il existe un K, K appartient a N tel que: a+c=K(b+d).

Il y a bien entendu le cas ou K(a+c)=b+d qui je pense se démontre de façon analogue si on réussi a démontrer le 1er cas.

Après développement je trouve:

Mais j'arrive pas a conclure que K n'est pas un entier naturel et donc que l'hypothèse de départ est fausse.

Suis-je sur la bonne voie ?

[Nightmare]

Salut !

Et l'hypothèse det(x,y)=-1 ? Il faudrait s'en servir non? Pour une preuve directe assez rapide, on pensera au théorème de Bezout.

[Dinozzo13]

Salut à tous :happy3:

Cette semaine, sans idée précise de sujet, j'ai proposé aux élèves une khôlle sur un sujet amusant, pas si facile que ça.

Amusez-vous bien :happy3:

J'adore quand tu poses tes kholles, ne t'arrête pas :ptdr: :++:
Question : je n'ai pas saisis cet égalité :

[Nightmare]

Salut !

Cf post de 15h24 !

[Doraki]

Dinozzo, c'est une définition.

[Anonyme]

Salut !

Et l'hypothèse det(x,y)=-1 ? Il faudrait s'en servir non? Pour une preuve directe assez rapide, on pensera au théorème de Bezout.

Je ne connaissais pas ce théorème ..

[Nightmare]

C'est le seul "gros" théorème d'arithmétique à connaitre pour cette khôlle.

[Dinozzo13]

Ok :+++:
Tu pourrais m'éclairer pour la queestion 1°), moi je trouve qu'elle est associative.

[Nightmare]

Quelle est ta (fausse) preuve?

[Dinozzo13]

Je crois que ça s'appelle un raisonnement par l'absurde :
Je démontre que soit x,y,t des fractions irréductibles de telles que et .
Pour tout x,y,t irréductibles dans


donc
...

[Nightmare]

Le problème est que (a+c)/(b+d) n'est pas forcément irréductible ! Par exemple si je prends x=y=1,

[Djmaxgamer]

Dinozzo la fraction obtenue n'est pas forcement irreductible.

Contre exemple : (1/2+2/1)+3/4 = 1/1 + 3/4 = 4/5
alors que 1/2+(2/1+3/4) = 1/2 + 1/1 = 2/3


ps : ce que tu nous a posté n'est pas un raisonnement par l'absurde, cela aurait été une démonstration "directe" de l'associativité (si ta démonstration avait été valide)