Défi 21

[Imod]

Si avec, alors
et



et ben je pense que dans ce cas soit a=0, soit b=0

Oui mais penser n'est pas montrer :we:

[EDIT]: Si : avec a, b non divisibles par 2 alors sachant que , , on trouve u et v pairs si k>0 .

P.S : les u et v viennent de donc , et (vérifié)


C'est bon Imod J'espère ?

Si a est impair , on ne peut pas avoir a=u-v et 2^k=u+v car alors a+2^k=2u serait à la fois pair et impair .

Imod

[sandrine_guillerme]

C'est absolument ça Imod .. donc je crois que c'est bon non ?

CONCLUSION !

les seuls points

sur le cercle sont



et

[Imod]

Je suis un petit peu perdu dans tous ces messages . Si ça ne t'embarasse pas trop , tu pourrais reprendre depuis le début en expliquant qui est a , b , u, v , zeta , p ...

Je réserve ma réponse d'ici là . Merci d'avance .

Imod

Ps : il me semble qu'il y a zeta qui passe de à :doh:

[sandrine_guillerme]

Hum..

Bah ça me dérange pas du tout .. je vais essayer de faire ce que je peux .

[Imod]

La disparition des cinq me paraît bizarre ( on croirait le titre d'un livre d'Enid Blyton ) . Il me semble que si on pouvait disparaître les cinq d'une façon ou d'une autre , on pourrait faire de même avec les deux .

Imod

[sandrine_guillerme]

bon je me rends compte qu'il y a 2 ou trois petites erreurs, alors Imod, d'ici demain au plutard je vais poster la solution complète, j'ai refais la démo plus de trois fois manque plus qu'a l'ecrire mas je t'avais dis que je suis en exam en plus je sors ce soir lol alors je te laisse imaginer le bordel,

une chose est sur demain je travaillerais sans faute sur ça, mais j'espère de tout coeur gagner ce défi, sinon, j'y toucherais plus ..

Allez a la prochaine !

[Imod]

Bonne soirée , y'a pas que les maths dans la vie :we:

Imod

[yos]

Il me semble que tout est dit non? Je récapitule.

Si x+yi est de module 1 avec x et y décimaux, alors il existe des entiers naturels a,b k tels que . Si , le premier membre est multiple de 4, donc a et b sont pairs (facile). Quitte à répéter l'opération, on voit que a et b sont tous deux multiples de .

On a donc avec entiers. Par conséquent est une racine de l'unité dont les parties réelles et imaginaires sont rationnelles. Ce genre de choses est rare : il n'y a que 1,-1, i, -i. On peut pour ce dernier point invoquer le fait que le corps Q(i) est de degré 2 sur Q (et ne peut donc pas contenir d'éléments de degré >2), alors que les seules racines de l'unité de degré 1 ou 2 sont 1, i, j, j², ij, ij² et leurs opposés (les polynômes minimaux sont les polynômes cyclotomiques et leur degré est ).

Encore bravo Sandrine. On attend ton défi 22 avec impatience.

[BQss]

Je suis pour que Sandrine est le defi, ses efforts meritent recompenses.
Et puis Sandrine bosse tes exams plutot ;), si je m'etais attaché a essayer de resoudre tout les problemes d'Imod j'aurais pas revisé grand chose :marteau: :ptdr: .

[Imod]

Il me semble que tout est dit non?

Tout à fait d'accord , relais à Sandrine .

Imod

[Imod]

Sandrine et yos , il y a toujours un point qui m'échappe , l'idée est sûrement simple mais je ne la vois pas :marteau:

On a donc avec entiers. Par conséquent est une racine de l'unité .

Imod

[yos]

Il y a un problème en effet. Je vais regarder.

[sandrine_guillerme]

Héy jeunes gens merci beaucoup de m'avoir encouragé, j'ai bien dis que j'ai fais une ou deux erreurs; d'ailleurs je l'ai corrige demain, !

mais sinon ça fais réellement chaud au coeur de vous entendre parler et m'encourager c'est la première fois que je résout un problème aussi "simple" lol
donc voila je m'en vais comme prévu bon courage les amis !

A+ :lol4:

[yos]

J'ai été un peu vite hier dans mon message de 20h30. Voilà un correctif (j'espère en tout cas).
Partant des deux entiers vérifiant , on écrit .
On raisonne à présent dans l'anneau factoriel . Quitte à les diviser par une puissance de 5, on peut supposer et premiers entre eux dans . On en déduit assez facilement que et sont premiers entre eux dans l'anneau . Donc chacun d'eux est une puissance (2k)-ème d'un élément de (à une unité près de :1,-1,i,-i). Cet élément devant diviser dont la décomposition en facteurs premiers dans est . On a donc ou à une unité près.

Quelle est ta méthode Imod?

[Imod]

Quelle est ta méthode Imod?

C'est grosso modo celle de Sandrine-Yos pour la fin en tout cas . Au départ je partais d'une écriture réduite pour montrer successivement que m=p , n=q , a=0 et m=p=0 d'ou . Ensuite comme vous , je ne sais pas si on peut éviter le passage par l'anneau euclidien ?

A Sandrine pour un autre défi :++:

Imod

[yos]

je ne sais pas si on peut éviter le passage par l'anneau euclidien ?

C'est ce qui me semble. C'est donc pas trop évident finalement.

[sandrine_guillerme]

Voici la démo comme prévu (heureusement que j'ai un ami expert en Latex) !

Alors je vous assure j'ai pas de truc moins rébarbatif !

Si est un point du cercle unité à coordonnées décimales, alors

pour un certain et où .



{Démonstration:} Soit l'entier positif défini de telle sorte que soit un entier non divisible par 10. Alors est aussi un entier non divisible par 10, puisque (si l'était, le serait aussi).

On pose , si bien que et .


Lemme : Soit deux entiers positifs tels que , . Alors l'un des deux nombres complexes ou est à coefficients entiers, appartient à .




{Démonstration du lemme} : développons les expressions


et montrons que l'un des nombres entiers ou est divisible par 50.

Tout d'abord, remarquons que et sont divisibles par 2 : si ce n'était le cas, on aurait , en contradiction avec .

Par ailleurs, écartons le cas trivial et supposons que et ne sont pas divisibles par 25. On a .


Dressons la table des carrés modulo 25 :


On voit ainsi que l'égalité n'est satisfaite que si est congru à l'un des couples dans l'ensemble .

Pour chacun de ses couples, on montre au cas par cas que l'un des nombres ou est divisible par 25, et qu'il en est de même pour et respectivement :







Ceci achève la démonstration du lemme .


Nous pouvons maintenant démontrer le théorème : en appliquant fois le lemme à , le nombre complexe (où selon le cas) est encore à coefficients entiers et son module vaut :

est donc l'une des racines quatrièmes de l'unité.

CQFD.

P.S: Tiens ça me fais un très bon départ en l'arithmétique ce semestre ! Merci Imod pour ce problème .

[Imod]

Quel courage Sandrine ! Je n'ai pas tout lu dans le détail mais ça à l'air de tenir la route :++:

Imod