On est bien d'accord BQss tu as montré que le phénomène est périodique ( ce qui n'est pas du tout évident au départ ) . Reste à trouver LA période ce qui était la deuxième partie de la question .
Imod
Défi 2
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par Imod » 23 Déc 2006, 01:37
Je poursuis un peu plus loin l'explication que j'ai proposée à BQss car le problème est vraiment un défi ( je n'ai pas trouvé la solution en cinq minutes ) et je vous conseille d'imprimer la figure jointe au message précédent pour suivre . On a p fourmis rouges et q fourmis noires , on considère un point de départ où deux des fourmis sont en contact on les désigne par 0+ et 0- et on numérote alors les fourmis rouges dans le sens rétrograde et les fourmis noires dans le sens direct ( voir dessin ) . On suppose qu'à cet instant 0- rend son passeport à 0+ et on cherche à quel moment ( dans combien de tours ) ce phénomène va se reproduire . On va donc suivre le passeport de 0+ et pour simplifier les choses on considère un repère fixe pour les fourmis noires donc 0- , 1- ,... ne bougent pas et les passeports sont déplacés uniquement par les fourmis rouges . Suivons le cheminement du passeport de 0+ :
La fourmi 0+ déplace le passeport du point 0- au point 1-
La fourmi 1+ déplace le passeport du point 1- au point 2- ...
Je vous laisse deviner la suite et si personne n'a l'envie ou le courage de continuer je donnerais la solution avec un relai à BQss pour un défi 3 .
Sinon bon courage :mur:
Imod
La fourmi 0+ déplace le passeport du point 0- au point 1-
La fourmi 1+ déplace le passeport du point 1- au point 2- ...
Je vous laisse deviner la suite et si personne n'a l'envie ou le courage de continuer je donnerais la solution avec un relai à BQss pour un défi 3 .
Sinon bon courage :mur:
Imod
par BQss » 23 Déc 2006, 04:33
J'ai des exams Imod donc en ce qui me concerne je ne peux pas me pemettre de consacrer ce temps a resoudre la fin du probleme. Meme si je le trouve tres interessant je n'ai pas le temps de vraiment chercher a nouveau. J'ai une idée et grace a tes indications je vois a peu pres de quoi il en retourne et les pistes a suivre mais comme pour demontrer qu'il y a une periode (et comme tu l'as dit) ce n'est pas immediat et je dois passer le relais. Si personne ne trouve je serai evidemment content de voir ta solution et d'emporter le point au passage ;).
a+ j'y vais.
a+ j'y vais.
par Imod » 23 Déc 2006, 16:15
BQss ayant d'autres chats à fouetter et personne d'autre n'ayant donné signe de vie , je livre ma solution ( garantie 100% originale ) et je lui passe le relais pour un défi 3 .
Il y a p fourmis rouges qui tournent dans le sens direct et q fourmis noires qui tournent dans le sens rétrograde . A chaque tour les fourmis se retrouvent dans la même position , il faut donc trouver après combien de tours chacune aura retrouvé son passeport . On a en fait deux anneaux de fourmis qui tournent à la même vitesse mais dans le sens contraire .
On notera :
R ={0+;1+;...;(p-1)+} l'ensemble des fourmis rouges .
N={0-;1-;...;(q-1)-} l'ensemble des fourmis noires .
n=p+q , m=PPCM(p,q) , d =PGCD(p,q) .
On considèrera les fourmis de R modulo p et celle de N modulo q .
Prenons comme point de départ un instant où deux des fourmis sont en contact on les baptise 0+ et 0- et on numérote alors les fourmis rouges dans le sens rétrograde et les fourmis noires dans le sens direct ( voir dessin ) . A cet instant les fourmis O+ et O- viennent déchanger leurs passeports , essayons de voir dans combien de tour le même échange ( avec les mêmes passeports ) aura lieu .
Considérons tout dabord un repère lié à N , les fourmis noires ne bougent plus et les rouges tournent deux fois plus vite . Le passeport détenu par O+ va être déplacé par 0+ de O- à 1- puis par 1+ de 1- à 2- , par 2+ de 2- à 3- , , par q+ de (q-1)- à q-=0- . Le passeport à alors fait un tour complet et 0- va confier son passeport à q+ , si q+=0+ cest fini sinon on continue (q+1)+ déplace le passeport de 0- à 1- , , (2q)+ de (q-1)- à 0- et ainsi de suite , on va effectuer k tours jusquà ce que (kq)+=0+ c'est-à-dire k=m/q .
En faisant le même raisonnement dans un repère lié à R , la fourmi 0- récupèrera son passeport des mains ( pattes ) de 0+ après m/p tours .
Revenons au repère initial , léchange des passeports a lieu dans les mêmes conditions et un passeport qui se déplace dans lun des repères précédents est fixe dans lautre et réciproquement alors le nouvel échange de passeports à lidentique aura lieu après m/p+m/q = n/d tours .
La méthode étant applicable à toute paire de fourmis rouge et noire , après n/d tours les fourmis sont revenues dans leurs positions initiales avec leurs passeports et la période est n/d tours .
Imod
Il y a p fourmis rouges qui tournent dans le sens direct et q fourmis noires qui tournent dans le sens rétrograde . A chaque tour les fourmis se retrouvent dans la même position , il faut donc trouver après combien de tours chacune aura retrouvé son passeport . On a en fait deux anneaux de fourmis qui tournent à la même vitesse mais dans le sens contraire .
On notera :
R ={0+;1+;...;(p-1)+} l'ensemble des fourmis rouges .
N={0-;1-;...;(q-1)-} l'ensemble des fourmis noires .
n=p+q , m=PPCM(p,q) , d =PGCD(p,q) .
On considèrera les fourmis de R modulo p et celle de N modulo q .
Prenons comme point de départ un instant où deux des fourmis sont en contact on les baptise 0+ et 0- et on numérote alors les fourmis rouges dans le sens rétrograde et les fourmis noires dans le sens direct ( voir dessin ) . A cet instant les fourmis O+ et O- viennent déchanger leurs passeports , essayons de voir dans combien de tour le même échange ( avec les mêmes passeports ) aura lieu .
Considérons tout dabord un repère lié à N , les fourmis noires ne bougent plus et les rouges tournent deux fois plus vite . Le passeport détenu par O+ va être déplacé par 0+ de O- à 1- puis par 1+ de 1- à 2- , par 2+ de 2- à 3- , , par q+ de (q-1)- à q-=0- . Le passeport à alors fait un tour complet et 0- va confier son passeport à q+ , si q+=0+ cest fini sinon on continue (q+1)+ déplace le passeport de 0- à 1- , , (2q)+ de (q-1)- à 0- et ainsi de suite , on va effectuer k tours jusquà ce que (kq)+=0+ c'est-à-dire k=m/q .
En faisant le même raisonnement dans un repère lié à R , la fourmi 0- récupèrera son passeport des mains ( pattes ) de 0+ après m/p tours .
Revenons au repère initial , léchange des passeports a lieu dans les mêmes conditions et un passeport qui se déplace dans lun des repères précédents est fixe dans lautre et réciproquement alors le nouvel échange de passeports à lidentique aura lieu après m/p+m/q = n/d tours .
La méthode étant applicable à toute paire de fourmis rouge et noire , après n/d tours les fourmis sont revenues dans leurs positions initiales avec leurs passeports et la période est n/d tours .
Imod
par BQss » 23 Déc 2006, 18:20
Bravo Imod, tres joli, je constate que la vitesse constante et la recherche d'un nombre commun a deux ensembles entiers fait que comme pour la demo qui prouve que c'est periodique les PPCM et PGCD interviennent. C'est tres instructifs de voir un probleme concret ou de l'arythmetique de base est utile.
Bon je vais créer le defi 3 alors.
Bon je vais créer le defi 3 alors.
par Imod » 05 Jan 2007, 12:52
Je viens de me rendre compte que j'avais complètement oublié de donner le problème qui avait initié ce défi 2bis .
"Des fourmis se déplacent sur une règle de 1m de long à vitesse régulière et toutes à la même vitesse . A chaque rencontre les fourmis changent de sens et continuent à la même vitesse . Au bout de combien de temps ne restera-il plus une seule fourmi sur la règle ?"
Un problème qui peut paraître bien simple comparé au précédent !!!
Imod
"Des fourmis se déplacent sur une règle de 1m de long à vitesse régulière et toutes à la même vitesse . A chaque rencontre les fourmis changent de sens et continuent à la même vitesse . Au bout de combien de temps ne restera-il plus une seule fourmi sur la règle ?"
Un problème qui peut paraître bien simple comparé au précédent !!!
Imod
par sandrine_guillerme » 06 Jan 2007, 01:49
Salut ,
Je n'ai pas eu le courage de tout lire (trop bousculée par le taffe :'( )
Avec ton hypothèse Imod qui t'as facilité le problème :
et Au bout d'un tour, on retrouvera toujours une fourmi là où il y en avait une à T0. Si on ne différencie pas les fourmis ou si on a de la chance la périodicité est donc de 1 tour de fourmi. Si les fourmis ont un dossard et qu'on a pas de chance, reste à constater que comme elles ne se croisent en fait jamais, l'ordre des dossards est immuable et on a donc une permutation circulaire des fourmis : au pire il faudra n tours pour que n fourmis reviennent chacune à son point de départ
Je n'ai pas eu le courage de tout lire (trop bousculée par le taffe :'( )
Avec ton hypothèse Imod qui t'as facilité le problème :
et Au bout d'un tour, on retrouvera toujours une fourmi là où il y en avait une à T0. Si on ne différencie pas les fourmis ou si on a de la chance la périodicité est donc de 1 tour de fourmi. Si les fourmis ont un dossard et qu'on a pas de chance, reste à constater que comme elles ne se croisent en fait jamais, l'ordre des dossards est immuable et on a donc une permutation circulaire des fourmis : au pire il faudra n tours pour que n fourmis reviennent chacune à son point de départ
par Imod » 06 Jan 2007, 02:05
Sans doute , Sandrine , c'est la recherche de la période minimale qui est difficile et même si les outils utilisés ne sont pas d'un haut niveau , il faut un bon moment pour s'imprégner du problème ( il m'a fallu une semaine quasiment à temps plein pour en venir à bout ) .
Imod
Imod
par sandrine_guillerme » 06 Jan 2007, 02:08
je vais pas lire vos réponse je vais essayer de le regarder de plus près .. !
Mais bon avec 2semaines d'examens ..
J'y retourne !
Mais bon avec 2semaines d'examens ..
J'y retourne !
par Imod » 06 Jan 2007, 02:13
sandrine_guillerme a écrit:Mais bon avec 2 semaines d'examens ... j'y retourne !
Bon choix et bon courage !!!
Imod
par sandrine_guillerme » 06 Jan 2007, 21:54
Ohlala, elle veut pas lacher ma tête ton énigme Imod !!!!!! Je fais de la physique mais y a beaucoup de truc qui me tourne dans la tête !
alors voila ou ma réfléxion (aussi nulle soit elle )m'a amener
Nous avons un cercle de 2PiR de circonférence
N fourmis qui circulent sur ce cercle
La vitesse (constante) notée +ou-V=X/tselon le sens du mouvement (intérêt du +ou-???)
Soient les distances entre chaque fourmis notées de x(1) à x(N-1)
A ce niveau là je vous dirais bien de m'arréter si je me trompe, mais bon...
Si on dit que chaque fourmis est assimilée à un point, on peut poser:
x(1)+x(2)+...+x(N-1)=2PiR
Le plus dure étant de calculer le temps entre deux télescopages de deux mêmes fourmis (càd entre la 1 et la 2, la 2 et la 3 etc) tout en sachant que ce temps dépend du télescopage voisin... Là ça y est j'ai mal au crâne!!!
Je ne sais pas si je suis sur la bonne voix et mes excuses d'avoir deterrer un vieux fil (mais excellent d'ailleurs)
(mon intérprétation est plus physique que math, c'est normal, j'ai bien dis que je faisais de la physique, maintenant je vais commencer la chimie, peut être une autre intérprétation ?? :ptdr: )
alors voila ou ma réfléxion (aussi nulle soit elle )m'a amener
Nous avons un cercle de 2PiR de circonférence
N fourmis qui circulent sur ce cercle
La vitesse (constante) notée +ou-V=X/tselon le sens du mouvement (intérêt du +ou-???)
Soient les distances entre chaque fourmis notées de x(1) à x(N-1)
A ce niveau là je vous dirais bien de m'arréter si je me trompe, mais bon...
Si on dit que chaque fourmis est assimilée à un point, on peut poser:
x(1)+x(2)+...+x(N-1)=2PiR
Le plus dure étant de calculer le temps entre deux télescopages de deux mêmes fourmis (càd entre la 1 et la 2, la 2 et la 3 etc) tout en sachant que ce temps dépend du télescopage voisin... Là ça y est j'ai mal au crâne!!!
Je ne sais pas si je suis sur la bonne voix et mes excuses d'avoir deterrer un vieux fil (mais excellent d'ailleurs)
(mon intérprétation est plus physique que math, c'est normal, j'ai bien dis que je faisais de la physique, maintenant je vais commencer la chimie, peut être une autre intérprétation ?? :ptdr: )
par sandrine_guillerme » 07 Jan 2007, 03:04
Alors Imod ? tu trouve comment ? suis je sur la bonne voie ?
par Imod » 07 Jan 2007, 03:23
Sandrine , c'est une des pistes ( parmi tant d'autres ) que j'avais tenté d'explorer , à mon avis tu à peu de chance d'aboutir par cette voie . Regarde
le problème de la règle de 1m , il permet de comprendre où se situe vraiment le problème .
Imod
le problème de la règle de 1m , il permet de comprendre où se situe vraiment le problème .
Imod
par Imod » 07 Jan 2007, 13:37
Si les fourmis sont indiscernables après un tour la position est revenue à l'identique ( et le problème est trop simple ) : les fourmis sont discernables .
Imod
Imod
par sandrine_guillerme » 12 Jan 2007, 23:08
Bon, je n'ai encore rien réussi à prouver, je ne sais même pas vraiment comment m'y prendre, mais j'ai, par l'expérimentation, vu que le mouvement est périodique pour les systèmes comportant 2, 3 et 4 fourmis avec les périodes suivantes:
Syst. à 2 fourmis: Période de 2PiR (distance totale parcourue par chaque fourmis avant que le système ne se retrouve en position initiale) les fourmis ayant fait un demi-tour dans un sens puis un second dans l'autre.
Syst. à 3 fourmis: Période de 3PiR, les fourmis ayant fait le tour complet du cercle (dans le sens + si au départ les 2 fourmis tournant dans le même sens, sont dans le + et inversement: C'est pourtant clair NON!!!)
Syst. à 4 fourmis, dont 3 tournant dans le même sens: Période 4PiR, les fourmis ayant fait un tour complet du cercle dans le sens des 3 fourmis
Syst. à 4 fourmis, dont 2 dans le sens + et 2 dans le -: Période 2PiR, les fourmis ayant éxécuté un demi-tour dans un sens puis un second dans l'autre.
Une exeption au syst. précédent: Si au départ les fourmis sont toutes séparées par la même distance: Période PiR les fourmis n'ayant effectué qu'1/4 de tour dans un sens puis un second dans l'autre.
Enfin bref...Voilà tout ce que je peux dire là dessus... Je n'arrive pas à généraliser le raisonnement pour PROUVER que le mouvement est périodique quel que soit le nombre de fourmis et donc en trouver la période!!
P.S.: En plus tout ça n'est valable qu'en négligeant le temps de retournement des fourmis après chaque impact...(Parce que s'il y en a deux qui commencent à discuter le bout de gras on n'a pas le C.. sortit des ronces...) De toute façon ce week-end j'achète de la poudre anti-saloperie de fourmis qui tournent en rond comme des C.. au lieu d'aller bosser pour leur Reine, et la première qui ce pointe au printemps je lui démonte sa gueule!!!
:smoke2:
Syst. à 2 fourmis: Période de 2PiR (distance totale parcourue par chaque fourmis avant que le système ne se retrouve en position initiale) les fourmis ayant fait un demi-tour dans un sens puis un second dans l'autre.
Syst. à 3 fourmis: Période de 3PiR, les fourmis ayant fait le tour complet du cercle (dans le sens + si au départ les 2 fourmis tournant dans le même sens, sont dans le + et inversement: C'est pourtant clair NON!!!)
Syst. à 4 fourmis, dont 3 tournant dans le même sens: Période 4PiR, les fourmis ayant fait un tour complet du cercle dans le sens des 3 fourmis
Syst. à 4 fourmis, dont 2 dans le sens + et 2 dans le -: Période 2PiR, les fourmis ayant éxécuté un demi-tour dans un sens puis un second dans l'autre.
Une exeption au syst. précédent: Si au départ les fourmis sont toutes séparées par la même distance: Période PiR les fourmis n'ayant effectué qu'1/4 de tour dans un sens puis un second dans l'autre.
Enfin bref...Voilà tout ce que je peux dire là dessus... Je n'arrive pas à généraliser le raisonnement pour PROUVER que le mouvement est périodique quel que soit le nombre de fourmis et donc en trouver la période!!
P.S.: En plus tout ça n'est valable qu'en négligeant le temps de retournement des fourmis après chaque impact...(Parce que s'il y en a deux qui commencent à discuter le bout de gras on n'a pas le C.. sortit des ronces...) De toute façon ce week-end j'achète de la poudre anti-saloperie de fourmis qui tournent en rond comme des C.. au lieu d'aller bosser pour leur Reine, et la première qui ce pointe au printemps je lui démonte sa gueule!!!
:smoke2:
par Imod » 13 Jan 2007, 00:52
Sandrine , si tu ne peux plus supporter les fourmis , j'ai découvert cet après-midi sur le site "Les récréations mathématiques de Diophante" un problème très voisin où l'on ne parle pas de fourmi ( ref : E631) :we: et leurs explications sont sans doute bien plus claires que les miennes :we:
Imod
Imod
par Imod » 13 Jan 2007, 01:42
Je n'ai toujours pas compris comment on donnait un lien sur ce site , le voilà donc en "brut" : http://www.diophante.fr/pages/fslogique.htm
Imod
PS : je suis quand même un peu nul , je n'ai rien fait et le lien marche :--:
Imod
PS : je suis quand même un peu nul , je n'ai rien fait et le lien marche :--:
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