Défi 20

[Imod]

Puisque yos me passe le relais , un peu de géométrie pour changer .

Il est bien connu que les martiens ne connaissent pas la règle et le compas et qu'ils font leurs constructions géométriques avec un crayon et une soucoupe . Un point étant choisi sur un cercle dessiné avec une soucoupe , montrer qu'on peut construire avec la même soucoupe le point diamétralement opposé .

Bon courage !!!

Imod

[fahr451]

On n'aurait pas plus vite fait de prendre la soucoupe et d'aller au super u acheter le matériel de géométrie de 6ième?:)

[anima]

Puisque yos me passe le relais , un peu de géométrie pour changer .

Il est bien connu que les martiens ne connaissent pas la règle et le compas et qu'ils font leurs constructions géométriques avec un crayon et une soucoupe . Un point étant choisi sur un cercle dessiné avec une soucoupe , montrer qu'on peut construire avec la même soucoupe le point diamétralement opposé .

Bon courage !!!

Imod

Ton problème ne correspond-t-il pas au problème des rosaces? :ptdr:

Je n'ai pas le temps de tout prouver sur ce petit problème, je complèterai si j'ai le temps. Cependant, quand on trace deux cercles d'un même rayon, l'un ayant son centre sur un des points de l'autre cercle, on s'apercoit que les 2 intersections entre les 2 cercles sont à égales distances d'arc de cercle de chacun des 2 cercles. Donc, à chaque fois qu'on tracera une "soucoupe", on se retrouvera avec deux intersections de cercle qui se déplacent (en coordonnées polaires), d'un angle équivalent à pi/3 (par contre, je ne saurai surement pas prouver ça. C'est de l'induction pure et dure).
Or, un point diamétralement opposé se trouve à pi. On va donc faire une petite rotation du cercle jusqu'a ce que le point P ait ses coordonnées polaires telles que [r,0]. On fait une soucoupe, on a [r,pi/3] et [r,-pi/3]. On fait une soucoupe sur chaque point, on trouve [r,2pi/3],[r,0] (preuve de ce que j'avancais),[r,-2pi/3]. On en refait une dernière et on trouve... [r,-pi], point diamétralement opposé. C'était bel et bien le problème de la rosace.

Par contre, il faut encore prouver que le pas entre chaque soucoupe est de pi/6. J'ai mon idée là-dessus, si personne ne l'a fait, je le ferai demain :ptdr:


Preuve: théorème de la médiatrice, selon lequel, quand deux cercles sont tracés en mettant le centre de l'un sur un point de l'autre, ces deux cercles auront 2 intersections, et la médiatrice du rayon vers le point en question passera par ces 2 intersections. MIRACLE! On a donc une abscisse qui vaut 1/2, et donc un cos(1/2) = pi/3 :zen:

[alben]

Juste une question : une soucoupe, ça a des bords mais pas de centre identifiable ?
Autrement dit on ne peut pas tracer un cercle dont le centre serait un point précis mais on peut tracer un cercle passant par deux, voire trois points ?

[yos]

et un cercle tangent à un autre ? J'en demande beaucoup je sais.

[Imod]

Une réponse à yos avant de lire le reste , le cercle tangent n'est pas constructible avec une seule soucoupe ( avec deux oui !!! ) .

Imod

[Imod]

Pour répondre à Anima et Alben ( au passage ) une soucoupe n'est pas un compas , le centre n'est pas identifiable , on peut construire un cercle passant par deux points , par trois ? l'intérêt est limité !!!

Imod

[anima]

Pour répondre à Anima et Alben ( au passage ) une soucoupe n'est pas un compas , le centre n'est pas identifiable , on peut construire un cercle passant par deux points , par trois ? l'intérêt est limité !!!

Imod

Ca devient de suite plus dur...

On a le droit de poser des conditions dans le genre "tracer un cercle entre A et B pour que la distance la plus courte entre A et B sur le nouveau cercle soit la plus grande possible"?

[Imod]

On a le droit de poser des conditions dans le genre "tracer un cercle entre A et B pour que la distance la plus courte entre A et B sur le nouveau cercle soit la plus grande possible"?

La seule chose que l'on puisse faire : tracer un cercle passant par un ou deux points donnés .

Imod

[anima]

La seule chose que l'on puisse faire : tracer un cercle passant par un ou deux points donnés .

Imod

D'accord, je m'y mets alors :we:

[Imod]

C'est un problème que j'apprécie particulièrement, parce que sa solution est simple si on oublie les schémas classiques de la règle et du compas et que l'on accepte de devenir martien .

Soucoupement vôtre , Imod .

Un indice tout de même : le centre de la soucoupe bien que non soucoupement constructible ( à priori ) joue un rôle essentiel .

[BQss]

C'est un problème que j'apprécie particulièrement, parce que sa solution est simple si on oublie les schémas classiques de la règle et du compas et que l'on accepte de devenir martien .

Soucoupement vôtre , Imod .

Un indice tout de même : le centre de la soucoupe bien que non soucoupement constructible ( à priori ) joue un rôle essentiel .

J'ai pas le temps de regarder , mais si le centre joue un role c'est evidemment parce que c'est le centre de rotation. C'est le seul point invariant a chaque fois entre autre qualité, dont certaines doivent bien etre utile.

[BQss]

J'ai jeté un coup d'oeil.
Pour construire le point diametralement opposé. On peut faire une dichotomie.
On part dans un sens a une vitesse constante(sans faire un tour complet evidemment), faible pour limiter les erreurs, on marque le point. Puis on revient en arriere, a la meme vitesse jusqu'au point d'origine. On part dans l'autre sens cette fois a la meme vitesse, on compare le temps de parcours pour atteindre le point marqué. S'il est superieur, on revient au point de depart, sur le chemin du retour on marque un point, on note le temps. On repart dans l'autre sens, on va jusqu'au deuxieme point. On compare le temps, s'il est superieur, on marque un nouveau point sur le chemin du retour, s'il est inferieur, on continue un peu son chemin et on marque un nouveau point. On revient au point de depart en additionnant les temps des deux fraction de parcours qui doit etre identique a celui du trajet allé. On repart dans l'autre sens, on va jusqu'au point du milieu, si le temps est plus petit on continue sans depasser le 3eme points s'il est trop court on revient sans depasser le premier.

Et ainsi de suite chaque paire de point constitue le nouveau segment contenant le point diametralement opposé, ce segment diminuant de taille et tendant vers 0.


Mais si on fait une dichotomie intelligente
On trouve le resultat en deux demi tours:

Cela donne:
avec v la vitesse de rotation(on va faire une dichotomie intelligente qui s'arrete a la moitié de l'ecart entre les deux trajet parcouru de chaque coté):
Je pars dans un sens.
Je note mon point a t1= (rQ1) / v (avec Q1 l'angle inconnu parcouru)
Je note le point(je peux a loisir reperer ce point en restant fixe dans la soucoupe et en reperant un objet de l'espace qui est exactement dans l'axe de mon regard, ou en sortant evidemment, ou encore en decollant, puis en marquant le point d'intersection avec un autre cercle dans le sol).
Je reviens dans l'autre sens a la meme vitesse et je m'arrete quand qand j'ai parcouru le meme temps t1, je suis alors revenu au point de depart.

Je repars maintenant dans l'autre sens a la meme vitesse jusqu'a a atteindre le meme point, j'aurai parcouru la distance rQ2 pendant un temps de t2=rQ2/v.
Si ce temps est inferieur je continue, si il est superieur je revient en arriere, en notant bien ce temps t2.

Maintenant je remarque que(supposons que c'est Q1 le plus grand angle et que je suis allé trop loin la premiere fois)
(rQ2)/v + r (Q1-Q2)/2v = (2rQ2-rQ2+rQ1 )/2v
(rQ2)/v + r (Q2-Q)/2v = (rQ2+rQ1 )/2v = 2PIr/2v= t(d'un demi tour) .

donc t(1/2)= (rQ2)/v + r (Q1-Q2)/2v= t2 + (t2-t1) / 2 .

Ce qui veut dire que une fois sur le trajet dans l'autre sens, que j'ai atteint le point au bout d'un temps t2, je calcule la moitié de l'ecart entre le temps dans l'autre sens et le temps que je viens de parcourir. Et je parcours encore ce temps . Le point ou je m'arrete est alors diametralement opposé au point d'ou je suis parti, car j'ai parcouru le trajet pendant un temps correspondant a une distance d'un demi tour par rapport au point de depart.
( il faut faire ca a une vitesse faible pour pouvoir avoir le temps de dire stop quand on est dans l'axe du point de repere et compter exactement le temps parcouru, sans perte de precision, sauf si on a marqué le point d'intersection en decollant, la on peut se permettre d'aller plus vite).










*Edit ce que j'ai dit n'a de sens que si je ne peux pas reperer mon point de depart, si non au tant faire la meme methode en plus simple c'est a dire compter le temps d'un tour jusqu'a revenir au point de depart et rerpartir pour la moitié de ce temps... Mais bon a ce moment la, pourquoi ne pourrait on pas pointer le point de depart si je me suis permis de pointer un autre point...



J'imagine donc que finalement c'est pas ca la solution.

S'il s'agit juste d'une construction geometrique, il faudrait se repencher dessus(quelquechose avec deux points d'intersection tracer avec la soucoupe, une sorte de corde, le premier c'est le point dont on cherche l'opposé, puis on repart du deuxieme point d'intersection pour en faire un troisieme, je vois par exemple que si on se debrouille pour que l'angle entre le premier point et le deuxieme soit de Pi/2, c'est a dire qu'on trace les points de maniere a ce que du centre de la soucoupe les rayons les reliant fassent un angle droit(s'il font un demi tour sur eux meme dans la soucoupe il peutvent le remarquer), et que si je recommence en partant du deuxieme point, le troisieme est alors le point diametralement opposé) , mais je dois me pencher sur mes stats , joli petit probleme en tout cas encore Imod. Bon je vous laisse et bonne chance

[Imod]

BQss , il faut une véritable construction c'est à dire "exacte" en un nombre "fini" d'étapes .

Imod

[Joker62]

Et dire que tout le monde pense qu'ils ont une technologie hyper développée.
Ils vont tomber de haut ceux là

[BiZi]

Un indice tout de même : le centre de la soucoupe bien que non soucoupement constructible ( à priori ) joue un rôle essentiel .

J'avais vu un problème similaire mais la question était justement de savoir si on pouvait construire le centre d'un des cercles tracés à l'aide la soucoupe (dans le problème c'était une pièce de monnaie et un crayon^^).

[Imod]

J'avais vu un problème similaire mais la question était justement de savoir si on pouvait construire le centre d'un des cercles tracés à l'aide la soucoupe (dans le problème c'était une pièce de monnaie et un crayon^^).

Ou le problème de Napoléon vu par un martien !!! Je ne sais pas si ce problème a une solution .

Imod

[Imod]

Bonsoir à tous , un défi qui n'évolue pas a peu d'intérêt , un petit résultat niveau collège pour réactiver vos neurones :we:



Imod

[Imod]

Je crois qu'il est inutile de laisser ce défi bloquer cette belle série , Il me semble quand même qu'il n'était pas complètement inintéressant car il remet en cause pas mal de certitudes : "on nous change nos instruments et nous devenons complètement improductifs" .

Voici une solution , je parlerais de cercle plutôt que de soucoupe , habitude oblige :we: .

Soit un point d'un cercle . On trace un cercle passant par A , recoupe en . On trace passant par , recoupe en . On trace passant par , coupe en et . On trace passant par et . Pour finir , on note , les centres des différents cercles , alors d'après la propriété rappelée dans mon précédent message :

et A' est le symétrique de A par rapport à O .



Je laisse volontiers la place à un autre pour un prochain défi ( sinon il m'en reste quelques-uns en réserve ) alors avis aux amateurs !!!!!

Imod

[Joker62]

J'ai pas suivi la discution en entière mais on était pas sensé connaître le centre si ?