Défi 21

[Imod]

Puisque personne ne se propose pour prendre le relais , un petit exercice d'arithmétique bien plus simple que le précédent .

Trouver tous les points du cercle trigonométrique dont les coordonnées sont décimales .

Bon courage !

Imod

[tize]

Bonjour Imod,
si cos(x) est décimal alors il existe.... (a entier) et .
Il faut donc trouver les entier a tels que et soit entiers...(en espérant que je n'en n'oublie pas... :we: ) et donc et sont des carrés parfaits..

[BQss]

Puisque personne ne se propose pour prendre le relais , un petit exercice d'arithmétique bien plus simple que le précédent .

Trouver tous les points du cercle trigonométrique dont les coordonnées sont décimales .

Bon courage !

Imod

Si on defini l'angle 0 comme l'origine du repere:
Tout les points de coordonnée:
l=teta=k/(10^n) avec l la distance, teta l'angle(si on prefere se reperer par l'angle), k un entier relatif et n un entier >=0

[BQss]

Puisque personne ne se propose pour prendre le relais , un petit exercice d'arithmétique bien plus simple que le précédent .

Trouver tous les points du cercle trigonométrique dont les coordonnées sont décimales .

Bon courage !

Imod

Si tu les reperes par la distance ou l'angle, vu que le rayon vaut 1 c'est immediat.

Si on defini l'angle 0 comme l'origine du repere:
Tout les points de coordonnée:
l=teta=k/(10^n) avec l la distance a 0 sur le perimetre, teta l'angle(si on prefere se reperer par l'angle), k un entier relatif et n un entier >=0

[sandrine_guillerme]

Salut Imod , José et BQss

José je crois que tu perds l'équivalence à un moment , quand tu dis sqrt(ab) est un entier, alors il est seulement suffisant que sqrt a et sqrt b soient entiers
par exemple ab=25 avec a=12.5 et b=2...

moi j'ecris le sin plutot comme ça
sin x=b/10^p
ça revient à trouver a et b tq



avec a et b entier

PS: équation diophantienne que mon prof de math m'a dis une fois en colle que c'est hors programme ..

mais je dis un éssai quand même

: il doit y avoir une infinité de solutions !
les seules solutions (que je vois )sont a = plus ou moins 1 b = 0
et symétriquement a=0 et b = plus ou moins 1 .

allons y pour le raisonnement :
Well,
on doit pouvoir raisonner sur les diviseurs de a et b en supposant que a n'est pas divisible par 10


on doit pouvoir transformer l'équation en a^2+10^n b^2=10^p
on suppose a non divisible par 10 (sinon il suffit de changer n et p)
dans cette expression si n et p sont >1, alors a est divisible par 10 : contradiction
donc soit n, soit p est nul
on a donc deux équations à résoudre : a^2+b^2=10^p ou a^2+10^n b^2=1
la deuxième est vite traitée : n=0
on résoud donc a^2+b^2=10^p

1er cas : je suppose p pair : p=2k

donc a^2+b^2=(10^k)^2 c'est une équation "de Pythagore" a^2+b^2=c^2 avec c=10^k les solutions se trouvent en posant a=u-v b^2=2uv et c=u+v
en effet (u-v)²+4uv=(u+v)² (connu en sup :we: )

avec ça on doit pouvoir trouver a et b facilement par exemple si k=2, on a : a=6, b=8 (il faut trouver les a et b mais je ne sais pas si on peut obtenir une formule close) mais c'est as très méchant .(enfin l'idée est là )

2ème cas : p est impair : p=2k+1
a^2+b^2=10 c^2 avec c=10^k

ça revient à trouver a et b avec a^2/10^(2n)+b^2/10^(2p)=1
donc le p dans l'équation a^2+10^nb^2=10^p est forcément pair (en effet il faut multiplier par 10^(2n), -don t l'exposant est pair
alors





conclusion : les points à coordonnées rationnels sur le cercle unité sont les points (a/10^k, b/10^k) tels que (a, b, 10^k) soit un triplet pythagoricien, i.e. vérifie a^2+b^2=10^2k



Voila

[Imod]

Pour préciser la question , il faut trouver une forme explicite de toutes les solutions qui sont en nombre infini , prendre par exemple toutes les puissances de ou de donc tous les avec et entiers relatifs sont elles les seules ?

Imod

[sandrine_guillerme]

Ah oui c'est Malin !
C'est normal, dès qu'on a une solution, les puissances sont encore solutions
donc ce que j'ai dis reste valable oui mais comme je disais on a pas de formule alors que selon l'énoncé, on aurait peut-être que les solution sont les (3/5+4/5i)^n
Je regarde s'il y en a d'autre !

[Edit] : sur quelques exemples, reste à montrer donc que ce sont les seuls.

[Imod]

Sandrine , ton idée de départ est la bonne mais ton raisonnement n'est pas assez précis . Partant de en supposant par exemple , tu arrives à mais attention 10 n'est pas premier il faut raisonner sur les facteurs 2 et 5 qui ne peuvent pas tous les deux diviser vu le choix de et on arrive à et .

Imod

[sandrine_guillerme]

oui il faut en effet raisonner sur les facteurs premiers quoique je crois que dans l'écriture , il est clair que 10 divise a^2...

[Imod]

oui il faut en effet raisonner sur les facteurs premiers quoique je crois que dans l'écriture , il est clair que 10 divise a^2...

10 ne divise pas donc :we:

Imod

[sandrine_guillerme]

Oui c'est ça, ça revient au même soit je dis : il y a une contradiction donc n-p ou n est nul soit soit je dis en effet ce que tu viens d'écrire

[sandrine_guillerme]

supposons que a+ib soit un tel point à coordonnées décimales

montrons qu'il est de la forme

avec
il suffit de diviser a+bi par 3+4i :

enfin faut le rédiger correctement


..

supposons que avec a, b entiers non divisibles par 10, alors


mais alors est de module 1 avec a, b rationnels de dénominateur
or ceci ne se produit que si zeta est une racine quatrième u de l'unité



conclusion : donc

CQFD

[Imod]

Tu peux préciser ce point ?

mais alors est de module 1 avec a, b rationnels de dénominateur
or ceci ne se produit que si zeta est une racine quatrième u de l'unité

Imod

[sandrine_guillerme]

Oui, bien sur .
|a+ib|=10^k et
|3+4i|^k=5^k
a/2^k et b/2^k sont rationnels de dénominateur 2^k

J'avous que c'était pas très bien dit en effet .

[Imod]

J'ai du mal à te suivre , il me semble que tu changes tes définitions en cours de route . Au départ du dis a+ib un tel nombre ( donc sur le cercle ) et plus loin |a+ib|=10^k ( donc k=0 ? ) a et b sont-il des entiers ou des décimaux ?

Imod

[sandrine_guillerme]

Oui je suis désolée (si je savais que le prob m'aurais prendre ce temps je n'y serais pas capable de le toucher .. j'ai oublié quand général dans les problème d'Imod qui ont l'air très simple se cache un raisonnement super extraordinaire .. bref
revenons a nos moutons .

Imod :
si tu préfères on prend alpha+ibeta sur le cercle, alpha et beta décimaux et on écrit alpha=a/10^k, beta=b/10^n avec a, b entiers et a non divisible par 10

beta=b/10^k


J'espère que ça va mieux comme ça !

[Imod]

Bon je pense que a et b sont entiers et que le point du cercle correspondant est a/10^k+ib/10^k mais je ne comprends toujours pas comment tu peux déduire :
zeta de module 1 avec des R(zeta)) et I(zeta)de dénominateur 2^k => zeta est une racine 4ème de l'unité :marteau:

Imod

[sandrine_guillerme]

Tu as vu ce que je viens d'ecrire ou pas ?

[Imod]

Si tu parles de ça , oui !

|a+ib|=10^k et
|3+4i|^k=5^k
a/2^k et b/2^k sont rationnels de dénominateur 2^k

il doit y avoir une subtilité qui m'échappe , pourquoi cela entraine-t-il que zeta est une racine 4ème de l'unité ?

Imod

[sandrine_guillerme]

C'est vrai je l'ai glissé en silence ..

Si avec, alors
et



et ben je pense que dans ce cas soit a=0, soit b=0




[EDIT]: Si : avec a, b non divisibles par 2 alors sachant que , , on trouve u et v pairs si k>0 .

P.S : les u et v viennent de donc , et (vérifié)


C'est bon Imod J'espère ?