Défi à tiroirs

[Imod]

Un défi qui a déjà été proposé à plusieurs reprises sur ce site et sur d'autres , je n'ai toujours pas vu de solution simple . Je vous invite donc à le lever ici bribes par bribes ( il faut répondre aux questions et si possible deviner le défi visé ) .

On dira qu'une suite à éléments rationnels converge vers 0 modulo 1 s'il existe une suite à valeurs entières telle que la suite converge vers 0 ( usuellement ) .

1°) Quelles sont les valeurs pour lesquelles la suite converge vers 0 modulo 1 ?

Bon courage !!!

Imod

[nuage]

Salut,
ça n'a pas l'air évident.
Enfin je peux donner deux exemples :
Les rationnels entre 0 et 1. (C'est trivial)
Et (par référence à Fibbonaci).

Je me demande d'ailleurs si les suites récurrentes ne sont pas une piste importante.

Enfin je regarderai plus précisément demain.

[modification] il faudra bien, qu'un jour, j'apprenne à lire :marteau:

[tize]

Bonjour,
les nombres recherchés sont des nombres de Pisot (voir ici par exemple...).
L'implication : est un nombre de pisot => tend vers 0 dans est assez facile à montrer, dans l'autre sens je ne sais pas faire...

[alben]

Bonjour,
Si j'ai bien compris le problème, tout rationnel compris entre 0 et 1 satisfait la condition en prenant pour u la suite nulle. De même pour les entiers avec (u) =(x)
Il reste le cas x=p/q avec p>q et je pense que l'on peut prendre u=partie entière de x sans nuire à la généralité.
Il resterait donc à qualifier des rationnels >1 tels qu'à partir d'un certain rang, la partie fractionnaire de leurs puissances soit décroissante. Il me semble que c'est impossible

[cesar]

vous avez oublié de citer le cas trivial : x entier, tous les entiers naturels verifient la convergence vers 0....

[yos]

Bonjour.
C'est le fait de se limiter à Q+ qui doit nécessiter une approche différente. Sans doute plus simple.

[Imod]

Rien à ajouter pour le moment , vous êtes sur la bonne voie :we:

Imod

[cesar]

il faut trouver x = p/q >0 tel que lim ( -E())=0 lorsque n tend vers l'infini, soit
si on pose :
mod on doit avoir lim () = 0

[BiZi]

il trouver x = p/q >0 tel que lim ( -E())=0 lorsque n tend vers l'infini

Sans blague :ptdr:

[Imod]

il faut trouver x = p/q >0 tel que lim ( -E())=0 lorsque n tend vers l'infini

Pourquoi la limite ne peut-elle pas être égale à 1 ?

Imod

[achille]

en effet hier avant de dormir j'avais vu votre exo, et j'ai eu l'intuition de choisir la suite des entiers par les puissances de la partie entière d x, je pense plutôt qui faut faire l'écriture x = p + r tq p c'est la partie entière et r [0.1[, puis par binôme de Newton x^n -p^n = sum(k=1...n) C(k_n)p^(n-k)r^k , mais allez vous casser la tête avec ce monstre à démontrer qu'il est de limite nulle pour n tend vers l'infini...

[Imod]

Pour les rationnels , et non entiers , il me semble plus judicieux d'utiliser la division euclidienne plutôt que la décomposition en partie entière et partie décimale . Je n'en dis pas plus :scotch:

Imod

[BiZi]

en effet hier avant de dormir j'avais vu votre exo, et j'ai eu l'intuition de choisir la suite des entiers par les puissances de la partie entière d x, je pense plutôt qui faut faire l'écriture x = p + r tq p c'est la partie entière et r [0.1[, puis par binôme de Newton x^n -p^n = sum(k=1...n) C(k_n)p^(n-k)r^k , mais allez vous casser la tête avec ce monstre à démontrer qu'il est de limite nulle pour n tend vers l'infini...

J'ai fait un peu pareil; en fait, j'ai plutôt raisonné par l'absurde (parce que en regardant ma calculette j'ai trouvé aucun rationnel positif q tel que converge vers 0 modulo 1). Donc en écrivant la division euclidienne de par :
avec . Puis j'ai élevé au carré, soit


Le but était d'exprimer en fonction de et d'essayer d'aboutir à une contradiction (par exemple que dès que devient trop petit, devient grand. Mais malheureusement, affirmer que me semble très contestable.... Et élever à une puissance supérieure avec le binôme de Newton devient vite affreux!

[Imod]

Demain je donne un indice , un problème à tiroir qui coince sur la première marche , ça manque de sérieux !

Imod

[nuage]

Salut,
juste une idée comme ça.
En posant , avec p et q premiers entre eux, on peut regarder le développement de en base q.
Je ne sais pas si ça donne quelque chose, mais la période est q-1 ce qui semble empêcher la convergence vers zéro de la partie fractionnaire.
C'est un argument insuffisant dans la mesure où le développement à une partie irrégulière.
Mais peut-être une piste... :mur:

[Imod]

Un indice pour le cas : irréductible avec . On suppose que converge vers 0 modulo 1 , c'est à dire qu'il existe une suite d'entiers telle que : . Que dire alors de la suite ?

Imod

[emdro]

Bonjour,

je découvre cette nouvelle énigme, j'espère ne pas arriver comme un cheveu sur la soupe...

Ta suite z ainsi définie est une suite d'entiers (il suffit de l'écrire) qui tend vers 0. Elle est donc stationnaire nulle à partir d'un moment.

[Imod]

Ta suite z ainsi définie est une suite d'entiers (il suffit de l'écrire) qui tend vers 0. Elle est donc stationnaire nulle à partir d'un moment.

Oui et maintenant il faut conclure : quelle conséquence pour ?

Imod

[emdro]

Et donc pour k entier,


Cela prouve que divise (Gauss).
Et comme c'est vrai pour tout k, c'est absurde si on n'a pas q=1 [car n'est pas nul (car on a supposé x>1)].

Il n'y a donc pas de nombres rationnels [non entier] supérieurs à 1 dont les puissances tendent vers 0 modulo 1.

[Imod]

Pour conclure , les seuls rationnels positifs dont la suite des puissances nième converge modulo 1 sont les rationnels inférieurs à 1 et les entiers . Deuxième tiroir :

2°) Soient des rationnel non nuls et des rationnels positifs distincts . A quelle condition converge-t-elle vers 0 modulo 1 ?

Imod