[Défi] Racines n-ième

par **Zweig** » 02 Mai 2010, 18:36

Salut,

Un PDF autour des racines n-ième (nombres complexes) : https://docs.google.com/fileview?id=0B-85nfHD_dCCZGUwNWMzNzctMTNhNS00NzM1LThiMDMtNTUxMzhjZWRkYTk0&hl=en

Enjoy it !

par **benekire2** » 03 Mai 2010, 08:23

Salut Zweig,

Merci pour ce bel exo :zen:

Je rencontre des problèmes dans la quatrième question de la partie 3 ; je ne comprends pas vraiment ce que signifie nN

Après j'ai de gros soucis dans la partie 4 ; la 5 n'en parlons pas et la 6 non plus !!

Merci!

par **Ben314** » 03 Mai 2010, 10:33

Salut,
Pour le III)4), tu peut constater que

puis que ta somme est de la forme

(attention au cas particulier...)
[Remarque : dans cette somme, il vaudrait mieux prendre un indice pour la somme différent de i, vu que, dans

, la lettre i sert déjà...]

par **Zweig** » 03 Mai 2010, 10:58

Salut,

sont les multiples positifs de

(je ne sais pas comment faire en latex le | barré pour "non divisible", donc j'ai rusé ...)

Aussi,

désigne le cardinal de

, càd le nombre d'éléments de l'ensemble

Ben > En effet, j'avais pas percuté quand j'ai rédigé le PDF ...

par **benekire2** » 03 Mai 2010, 11:32

merci Zweig pour cette précision, pour le cardinal de phi(n) j'avais compris par contre.

Merci ben, je vais essayer ça tout à l'heure.

Une question pour la partie IV] :

Dois-je passer au module et utiliser la première partie ? ... Merci !!!

par **Ben314** » 03 Mai 2010, 11:52

"x \not | y" =>

Pour la partie 4, tu as effectivement intérêt à écrire en modules :

par **benekire2** » 03 Mai 2010, 14:12

Ouais j'ai fait par les modules aussi , mais le problème c'est que j'arrive sur ... la deuxième relation à prouver, ce qui est complètement con ... y a une simplification que j'ai pas vue ?

par **Zweig** » 03 Mai 2010, 16:08

Yop,

Pour cette question, considère

. Calcule ensuite de deux manières différentes

.

par **Zweig** » 03 Mai 2010, 16:11

J'aurai pu rajouté aussi que les produits des

racines de l'unité vallent

par **benekire2** » 03 Mai 2010, 17:09

Zweig a écrit:Yop,

Pour cette question, considère . Calcule ensuite de deux manières différentes .

Je suis pas sûr de te suivre ... mais si on considère que ça se dérive comme une fonction réelle on a f'(1)=n faudrait donc montrer que l'autre membre vaut f'(1) aussi en ces cas là.

Je remarque que ça se factorise par (z-1) mais c'est tout :triste:

par **Zweig** » 03 Mai 2010, 18:31

Ah, tu fais bien de demander de l'aide pour cette question, j'ai oublié de préciser un résultat à admettre :

Si un polynôme de degré

admet

racines distinctes

, alors il se factorise sous la forme

Grâce à une certaine partie du PDF, tu as toutes les racines de

et donc tu peux le factoriser.

par **Nightmare** » 03 Mai 2010, 18:34

Salut,

ça manque de choses à propos de la structure de groupe de l'ensemble des racines n-ème, et en particulier une chose primordiale : sa cyclicité.

par **benekire2** » 03 Mai 2010, 18:45

oui toutes les racines de f sont les racines n-ièmes de l'unité.

Mais en fait j'ai pas l'impression que ça m'avance ... Je vais récapituler:
Je réécrit l'énoncé :

Et on a montré qu'avec

on a

il "suffit" donc de montrer que

Et c'est précisément là que je n'y arrive plus...

par **Zweig** » 03 Mai 2010, 18:48

Non non, on a plutôt, d'après ma formule

EDIT : Ok tu as edité avant ...

par **benekire2** » 03 Mai 2010, 19:02

Zweig a écrit:Non non, on a plutôt, d'après ma formule

EDIT : Ok tu as edité avant ...

Et oui :zen:

mais sinon c'est bien ça ? Je dois montrer que

Si oui , comment m'y prendre, parce que je vois pas trop . Merci !!

par **Ben314** » 03 Mai 2010, 19:08

Bon, je te donne une "grosse" indic :
Partant de

comment obtenir

?

par **benekire2** » 03 Mai 2010, 19:27

ah , et bien il faut diviser par z-1

le problème étant que c'est le produit des z-1 pas des z-epsilon .

par **Ben314** » 03 Mai 2010, 21:00

Tu as donc, pour tout complexe z différent de 1 :

Et si maintenant tu fait endre z vers 1...

par **benekire2** » 03 Mai 2010, 21:06

ok ... tu m'as eu ! Réécrit comme ça c'est tout de suite évident ! Merci :zen:

Ensuite pour l'application suivante, c'est pas trop compliqué ; par contre la dernière application géométrique on fait comment ? :hein:

par **Ben314** » 03 Mai 2010, 21:14

Je sais pas si c'est ce qu'attend Zweig, mais si tu écrit la première formule trigo en prenant n=2m pair et que tu sépare le produit en deux :les k pairs d'un coté et les impair de l'autre alors...

Edit : avec la méthode qui me venait à l'esprit (ci dessus), j'obtient :

mais je pense qu'il y a une faute de frappe et que c'est bien ça qu'il faut montrer car le produit

est nul lorsque n est impair, vu qu'il contient

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