par skwouale » 05 Avr 2013, 14:29
bonjour à tous,
Les réflexions sont bonnes, mais elle s'arretent à modéliser la proba de gagner du 2e au 3e ou du 3e au 4e lancer.
Au n-ième lancer, la proba de gagner dépend non seulement de pouvoir gagner en fonction de la configuration au lancer n-1 et n-2, mais elle dépend aussi du nombre de cas (pour reprendre des termes proba) que l'on a de chaque combi XY au n-ième lancer.
La probabilité du chat de gagner, est égale à :
la proba du chat de gagner au 3e lancer strictement
+ proba que personne n'ai gagné au 3e lancer x proba du chat de gagner au 4e lancer strictement
+ ...
+ proba que personne n'ai gagné au nième lancer x proba du chat de gagner au n-ième lancer.
+... somme à l'infini...
la difficulté vient du fait de calculer la proba de gagner au rang n pour le chat (ou la souris)
Quelque soit le dernier lancer, on a 4 configurations possibles restantes (00/01/10/11), mais chacune répétée qtté différentes...
on va raisonner par récurrence.
en supposant qu'au rang n-1, personne n'ai gagné
- soit x(n) le nombre de combinaisons gagnantes pour le chat aux n-ième lancer,
- soit y(n) le nombre de combinaisons gagnantes pour la souris aux n-ième lancer
- soit i(n) le nombre combinaisons 00 restantes suite au n-ième lancer
- soit j(n) le nombre combinaisons 01 restantes suite au n-ième lancer
- soit k(n) le nombre combinaisons 10 restantes suite au n-ième lancer
- soit l(n) le nombre combinaisons 11 restantes suite au n-ième lancer
En fonction du couple de combinaisons du chat et de la souris, on définit facilement une relation de récurrence entre chacune de ces variables au rang n+1 et celles au rang n (voir un exemple ci-après)
et également la proba de gagner au rang n strictement pour le chat (px(n)) ou la souris (py (n))
px = x / (x+y+i+j+k+l)
py = y / (x+y+i+j+k+l)
la probabilité que personne n'ai gagné du 1er au n-ième lancer que j'appellerai Pdt(n) est donc :
Pdt(n) = (1-px(2)-Px(2)) x ...x [1-px(i)-py(i)] x ...x (1-px(n)-py(n))
On en déduit la probabilité Px(n), que le chat au plus tard au n-ième lancer :
Px(n+1) = proba d'avoir gagné au plus tard au rang n + proba que personne n'ai gagné (n) x px(n+1)
Px(n+1) = Px(n) + Pdt(n) x px(n+1)
La proba de gagner du chat est la limite de P(n) quand n tend vers l'infini
Pour chacune des combinaisons possibles chat/souris, avec un tableur excell, et les relations de recurrence d en à n+1, on en déduit rapidement les x,y,i,j,k,l,px,py,Pdt,Px etc...
attention en fonction du couple de combinaison choisi par chat/Souris, les relations entre x,y,i,j,k,l sont différentes de n à n+1 , mais ca converge vite....
Exemple :
supposons que le chat aie pris "110" et la souris "001", que l'on est au rang n et que personne n'a gagné, on donc suite aux 2 derniers lancers
i fois j fois k fois l fois
0 1 0 1
0 0 1 1
au n+unième lancer, on peut avoir les combinaisons suivantes, avec un nombre de cas correspondant de :
i j k l i j k l
0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1
donc le nombre de cas pour que le chat gagne est le nombre de "110" resultants, il y en l(n)
donc x(n+1) = l(n)
de la même façon pour la souris il y a i(n) fois "001", y(n+1) = i(n)
le nombre de fois où on à 00 sur les 2 derniers lancers = i(n+1) = i(n)+ j(n)
de même :
j(n+1) = k(n)
k(n+1) = j(n)
l(n+1) = k(n)+l(n)
etc...
AU FINAL, en mettant en colonne la combinaison choisie en premier pa la chat,
la probabilité de gagner pour le chat en fonction de celle choisie par la souris est ds le tableau suivant.
on voit que la souris a toujours la possibilité de prendre une combinaison où elle a plus de proba de gagner que le chat : celles ou la proba de gagner du chat est inférieure à 50%
souris 0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 12,5% 40,0% 50,0% 30,0% 41,7% 40,0% 50,0%
1 0 0 87,5% 50,0% 75,0% 33,3% 50,0% 50,0% 60,0%
0 1 0 60,0% 50,0% 33,3% 37,5% 50,0% 50,0% 58,3%
1 1 0 50,0% 25,0% 66,7% 50,0% 62,5% 66,7% 70,0%
0 0 1 70,0% 66,7% 62,5% 50,0% 66,7% 25,0% 50,0%
1 0 1 58,3% 50,0% 50,0% 37,5% 33,3% 50,0% 60,0%
0 1 1 60,0% 50,0% 50,0% 33,3% 75,0% 50,0% 87,5%
1 1 1 50,0% 40,0% 41,7% 30,0% 50,0% 40,0% 12,5%
