[Défi] Racines n-ième

[Ben314]

Pour montrer que phi(d) est pair, soit tu cherche la formule générale qui exprime phi(d) en fonction de d, soit, beaucoup plus simplement, tu compare le nombre de kd/2 (et

[benekire2]

ba la formule générale je la connait, on l'avais trouvé dans une des khôlle de nightmare, mais ici c'est pas ce qu'on attend.

Donc je dois arriver à dire qu'il y a autant de k inférieurs et supérieurs à d/2 qui sont premiers à d. et c'est tout de suite assez évident ( en fait j'ai cherché comme un con avant de prendre 15 comme exemple et de remaruer la symétrie ... )

comme PGCD(k,n)=1 alors PGCD(n-k,n)=1 et c'est fini. Ca se fait également pour les phi pairs puisque si d est pair d/2 n'est pas premier à d. Voilà pour la question1 !!

Pour la question 2 ; j'ai cherché un peu tout à l'heure, et je sais pas comment il faut procéder .. faut -il développer le polynôme ? Chercher à exprimer phi(p^i) même si ca nous sert pas trop je pense ?

[Ben314]

Pour la question 2), je ne sait pas à quelles méthodes Zweig pensait...

La seule chose qui me viennent naturellement à l'esprit est de commencer par regarder ce que vaut, pour n fixé, le produit des phi_d(x) pris sur l'ensemble des d qui divisent n puis de vaire une réccurence (forte) sur n...

[benekire2]

euh je te comprends pas trop ... enfin disons que pour l'instant j'arrive pas a voir à quoi ça sert ... surtout que je vois pas trop quoi représente ton d et ton n.

Est-ce que tu veut évaluer avec n=qd auquel cas je vois pas a quoi sert le n ...

Merci de m'éclairer :zen:

[benekire2]

ah !! J'ai compris , tu veut évaluer :



ça m'a pas l'air facile ...

[Ben314]

Si tu veut, là, "l'astuce", c'est vraiment seulement de regarder les définitions/propriétés que tu as :

Dire que z est une racine n-ième de l'unité (pas forcément primitive), ça signifie que où

Dire que z est une racine primitive d-ième de l'unité, ça signifie que où et

Maintenant, pourquoi toute racine n-ième de l'unité (pas forcément primitive) est-elle forcément une racine primitive d-ième de l'unité pour un certain d (unique) qui divise n ?

Une fois que tu as la réponse à cette question, cela te donne que vu que les factorisations sont les même.

Enfin, remplacer x par 1 dans cette formule ne sert évidement à rien vu que le terme de droite est clairement nul.
Mais, cela signifie qu'il y à a gauche un terme nul lorsque x=1.
Lequel est-ce ? et si on divise par ce terme et que l'on fait tendre x vers 1...

P.S. : je ne sait pas s'il n'y a pas plus rapide pour cette question, mais c'est tout ce que j'ai trouvé...

[benekire2]

j'ai pas lu ton message parce que je prend le pc en coupe vent, je le lirais dans 1h mais j'ai enfin réussi :

- j'ai dit que le problème se résumais a montrer que les Fd partitionnent les Rn et pour le montrer et bien je m'en suis sortit ...

ca se trouve tu vient de me dire la même chose ...

[benekire2]

ah .. ba j'ai traité légèrement différemment mais on arrive au même en fait , je vais encore réfléchir un peu pour la fin de cette question :id: je te fais signe quand j'ai besoin d'aide !

[benekire2]

comme 1 divise n et que Phi_1(x)=x-1 c'est ce terme qui vaut 0 et de plus x^n -1 est divisible par x-1 donc on divise par x-1 :

on obtient

Et le problème c'est que je reste bloqué là ; le passage à la limite ... c'est limite puisque j'ai encore un produit de Phi ... et pour la récurrence forte je vois pas non plus!

[Ben314]

Si tu passe à la limite x->1 dans :

Tu obtient :


qui te donne la valeur de lorsque n est un nombre premier.

Si n n'est pas premier, tu peut écrire que :


Qui permet de calculer en fonction de termes d'indice plus petit et donc de faire une récurrence.

P.S. Je continue à penser qu'il devait y avoir plus simple...

[benekire2]

Ca m'a quand même pas l'air facile, et d'une manière plus générale c'est la partie 5 qui n'est pas facile !!

Pour les nombres premiers ok, mais l'ennui c'est que c'est qu'un particulierdu premier cas ...
Pour la récurrence, en fait j'y vois pas tellement plus clair, parce que le problème c'est que faut en faire 2 ; une avec n=p^k et l'autre avec n différent de p^k donc ça me parait chaud !!

Merci beaucoup :id:

[benekire2]

Ah !! J'ai réussi ma récurrence forte pour le cas n=p^k en la faisant sur k par contre le cas ou n est différent de p^k me résiste ... comment procéder pour cette récurrence ?

PS: La question 3 doit être plus simple vu le résultat , mais je plante un peu dessus, quels sont les "pistes" qu'il faut suivre ? Sommer les entiers de 1 à n puis retirer les résidus ?

Merci

[Ben314]

Pour moi, on peut trés bien faire une récurence (forte) sur la proposition :

On considère un n>1 fixé et on suppose que, pour tout les d tels que 12[/TEX].
Ensuite, pour la somme, essaye de te rappeler comment on retrouve la formule 1+2+...+n=?, c'est la même chose ici.

Pour la 4), la relation "en sinus" doit venir du 2) celle "en cosinus", je vois pas du premier coup d'oeil.
Peut être en transformant les cosinus en sinus...

[benekire2]

je verrais demain maintenant, mais ce troisième cas m'embête bien bien ...

[Ben314]

Il n'est pas si embètant que ça du fait que seul les diviseurs de la forme t'interesse vu que, par hypothèse de récurrence, pour les autres on a

[benekire2]

ba en fait c'est con mon message précédent, puisque je viens d'aller me doucher et ... je viens de trouver alors c'est officiellement bon pour la 2 !!

Pour la 3 on a déjà traité la parité avant là c'est la somme qu'est chiante ,

et pour 1+2+3+....+n y a plein de moyens de la retrouver .. mais tu dois penser à la suite arithmétique, ou a l'autre forme arithmétique qui est (1+9)+(2+8)+...

c'est ça ? J'y réfléchis en cours et je te dit demain entre deux cours :zen:

[benekire2]

ah ba c'est bon ; finalement, j'ai réussi la question 3 ; et la première formule du 4 qui se déduit du 2 , mais pas la dernière formule. Alors comment faire ( celle des cosinus) ??

Merci beaucoup :zen:

[Ben314]

La deuxième formule du V)4) est fausse pour n=4, n=6 et n=8.
Je pense que ca ne marche que pour n>1 impair...

On peut se rammener à la formule précédente en utilisant le fait que cos(x)=sin(pi/2-x) puis en séparant le produit en 2...

Edit :
Je vient de voir qu'en fait (toujours avec n impair), on peut plus simplement utiliser le 1) du V) pour estimer phi_n(-1)...

[benekire2]

Juste en réécrivant j'obtient :



Mais je vois vraiment pas comment séparer , et puis cette formule n'est valable que pour n=p^k ?

[Ben314]

Tu est parti dans le mauvais sens et en plus tu t'est gourré car

Si tu veut utiliser la première méthode que je t'ai suggéré, tu écrit que :

puis tu sépare kn et, surtout, tu regarde si n-2k ne serait pas (par hasard) premier avec 2n...

Sinon, c'est plus court en utilisant le 2) car, si n est impair,

Or donc ...