[Défi] Racines n-ième

par **benekire2** » 08 Mai 2010, 10:09

finalement je vais prendre la seconde méthode :

Comme phi(n) est pair on a

Je me suis encore planté où c'est bien ça ( pour l'instant ) ?

PS: A force d'éditer et d'améliorer mon machin, j'ai conclu tout seul...

par **Ben314** » 08 Mai 2010, 10:27

C'est bon, mais peut être faut il un peu détailler d'où sort le (-1)^(phi(n)/2)

par **benekire2** » 08 Mai 2010, 10:30

Ben314 a écrit:C'est bon, mais peut être faut il un peu détailler d'où sort le (-1)^(phi(n)/2)

bah j'ai calculé la somme "sur l'exponentielle" qui résulte du produit, mais évidemment dans n'importe quelle copie on peut pas se permettre de zaper ça.

Pour la partie 6, comment procéder pour l'équation fonctionnelle ? Elle doit forcément avoir un lien avec les racines de l'unité, mais je vois pas trop. En plus j'ai presque jamais résolu d'équa fonctionnelles mis à part les "classiques" ...

Merci encore !

par **Ben314** » 08 Mai 2010, 10:35

Pour l'équation fonctionelle, perso, j'ai pas trop fait le rapport avec ce qu'il y a au dessus, mais j'utilise le fait que C est algébriquement clos.
Si

est une racine de P alors

est aussi une racine de donc.....

par **benekire2** » 08 Mai 2010, 10:59

si z est racine alors z² aussi ainsi que leurs conjugués respectifs.

Mais je sais pas où tu veut en venir, parce que il faut que la relation soit vérifiée pour tout complexe, et pas seulement pour les racines, bien que ça donne une condition sur les racines.

par **Ben314** » 08 Mai 2010, 11:03

Là où je veut en venir, c'est que une fois que tu connait toutes les racines complexes d'un polynôme, tu connait "presque" le polynôme (il te manque les exposants)

Bon, ce que je voulait que tu voie, c'est que :
Si z est racine de P alors z² aussi donc z^4 aussi donc z^8 aussi donc z^16 aussi donc ....
Sauf qu'un polynôme...

par **benekire2** » 08 Mai 2010, 11:42

donc tout les z^2k sont des racines, sauf qu'un polynôme à forcément un nombre fini de racines donc on peut dire que c'est 0 la seule et unique racine de P, c'est ça ?

On a donc avec lambda et k a déterminer :

par **Ben314** » 08 Mai 2010, 11:49

benekire2 a écrit:donc tout les z^2k sont des racines, sauf qu'un polynôme à forcément un nombre fini de racines

OUI (modulo que c'est z^(2^k), mais là, on s'en fout)

benekire2 a écrit:donc on peut dire que c'est 0 la seule et unique racine de P

NON...

par **Zweig** » 08 Mai 2010, 12:40

Salut,

Pour l'équation fonctionnelle, il n'y a pas grand rapport avec ce qui précède. Pour être plus précis, comme l'a remarqué Ben, si \alpha est racine de P, alors

, pour tout naturel

, l'est aussi (d'une part, on peut aussi en déduire quelque chose de similaire avec l'autre facteur de l'équation). Maintenant, les deux ensembles obtenus sont infinis, or un polynôme (non nul) n'admet qu'un nombre fini de racines. C'est là qu'il faut à un moment "utiliser" les racines de l'unité pour justifier la résolution d'une certaine équation impliquant des modules de

(condition nécessaire). Quand tu auras trouvé par cette équation toutes les racines de P, il ne manque plus qu'à faire la réciproque.

On trouve que les polynômes solutions sont

Pour info, cet exercice est tiré d'une de mes khôlles, ce n'est pas un exercice trivial .... (il est tombé dans une olympiade (non internationale)).

par **Zweig** » 08 Mai 2010, 13:25

Voici un exercice supplémentaire :

7. Formule de multi-section :

1) Soit

un polynôme de

. On se fixe

.

Montrer l'identité suivante :

avec

2) En déduire une réécriture de la somme

sous la forme d'une somme de

termes seulement.

Pour les plus courageux :

3) Soit

un polynôme de degré

vérifiant :

Déterminer

sachant que

Indices

Utiliser [url="http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_de_Lagrange"]le polynôme interpolateur de Lagrange[/url] + la formule de multi-section (question 1)).

par **benekire2** » 08 Mai 2010, 15:07

Salut Zweig ;

J'arrive pas a voir l'autre ensemble de racines, si z-1 est racine alors (z-1)² aussi ; ((z-1)²-1)² aussi etc.. C'est quoi la forme générale ? :doh:

par **Zweig** » 08 Mai 2010, 15:18

L'équation fonctionnelle se réécrit encore :

Tu en déduis donc que les

le sont aussi.

par **benekire2** » 08 Mai 2010, 17:01

ah oui c'est pas bête :id:

donc si je reprend , les

et les

sont aussi racine si alpha l'est.

mais quand tu parles d'une équation mettant en jeu les modules de alpha ... je vois pas trop de quelle équation tu veut parler ...

PS: pour la partie 7 ; a quoi correspond f ?
Merci :happy3:

par **Ben314** » 08 Mai 2010, 17:58

Si z est une racine alors z^2 , z^4 , z^8 , z^16 , .... aussi.
Comme un polynôme n'as qu'un nombre fini de racines, dans la liste ci dessus, il y a répétition : il existe donc n>m tels que z^n=z^m ce qui signifie que z=0 ou bien que z^(n-m)=1 et, dans ce dernier cas, on a |z|=1.

Sauf que, vu que P(z)P(z+1)=P((z+1)²), si z est une racine alors (z+1)² aussi donc...

P.S. Pour la partie VII), f c'est P !!!

P.S.2

benekire2 a écrit:J'arrive pas a voir l'autre ensemble de racines, si z-1 est racine alors (z-1)² aussi ; ((z-1)²-1)² aussi etc.. C'est quoi la forme générale ? :doh:

On en a pas besoin...

par **benekire2** » 08 Mai 2010, 18:48

donc je vais avoir |z+1|=1 et je pourrais surement en déduire qu'on a z1=e^2pi/3 et z2=e^i4pi/3
ok ok

Pour la 1 de la partie 7 ... je réfléchis, mais si je commence à dire qu'il existe r'

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