Salut,
Un approfondissement du défi sur les nombres complexes : https://docs.google.com/fileview?id=0B-85nfHD_dCCZWEwYjkwZDAtZWQ0NC00OTY3LWI0MjctMzQzY2JjMjQ0ZWI3&hl=en
Enjoy !
[Défi] Polynômes cyclotomiques
58 messages
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par Nightmare » 14 Mai 2010, 17:39
Salut Zweig !
Toi qui semble t'intéresser aux polynômes cyclotomiques, as-tu eu connaissance de la notion de corps cyclotomiques ? Très rapidement, ce sont les surcorps de Q obtenus par adjonction d'une racine quelconque d'un polynôme cyclotomique (donc en gros, d'une racine primitive de l'unité :lol3: ). Si tu n'en as pas eu vent, je t'invite si tu en as envie à te renseigner à ce sujet fort intéressant, même si je ne suis pas en expert à la matière.
Toi qui semble t'intéresser aux polynômes cyclotomiques, as-tu eu connaissance de la notion de corps cyclotomiques ? Très rapidement, ce sont les surcorps de Q obtenus par adjonction d'une racine quelconque d'un polynôme cyclotomique (donc en gros, d'une racine primitive de l'unité :lol3: ). Si tu n'en as pas eu vent, je t'invite si tu en as envie à te renseigner à ce sujet fort intéressant, même si je ne suis pas en expert à la matière.
par benekire2 » 14 Mai 2010, 17:43
merci Zweig !!
encore beaucoup de boulot donc ... même si j'ai la réponse à certaines questions ...
encore beaucoup de boulot donc ... même si j'ai la réponse à certaines questions ...
par Zweig » 14 Mai 2010, 17:44
Salut,
Nope, j'en ai pas eu vent ;-). Tu peux me passer des références si tu veux, je suis preneur.
Si tu as d'autres applications concrètes des polynômes cyclotomiques, je suis preneur aussi (pas forcément niveau lycée d'ailleurs).
Nope, j'en ai pas eu vent ;-). Tu peux me passer des références si tu veux, je suis preneur.
Si tu as d'autres applications concrètes des polynômes cyclotomiques, je suis preneur aussi (pas forcément niveau lycée d'ailleurs).
par Nightmare » 14 Mai 2010, 17:55
La seule référence que j'ai est mon bouquin d'algèbre. D'ailleurs, je pense qu'il t'intéressera : Algèbre de Serge Lang, 2ème cycle.
Je dis que je "pense qu'il t'intéressera" car c'est un bouquin très complet sans l'être, dans le sens ou l'on a toutes les définitions qu'il faut comme si le bouquin s'adressait aux amateurs, mais en dehors de ça, les nombreux exemples que l'auteur donne pour illustrer les notions et les exercices (non corrigés) en fin de chaque section sont fait pour des lecteurs d'un (très) bon niveau. Pour moi, c'est un bouquin assez difficile à lire , mais malgré tout très passionnant. Pour toi qui semble avoir un peu (beaucoup...) plus de facilité de compréhension, tu devrais y trouver ton bonheur en algèbre ! (Attention, c'est un bouquin niveau Master, éventuellement un peu L3, mais je me souviens qu'en sup tous les passionnés l'avaient et l'affichaient fièrement :lol3: )
Sans ça, tu trouveras surement de bonnes références sur internet, un peu plus simplistes que le Serge Lang.
Pour les applications des polynômes cyclotomique, la première que j'ai en tête est le cas particulier du théorème de Dirichlet mais je viens de voir que tu l'avais déjà donnée. Cela dit, j'ai lu il y a pas si longtemps un vieil article avec plein d'applications "amusantes" de ces polynômes, je vais essayer de te le retrouver !
Je dis que je "pense qu'il t'intéressera" car c'est un bouquin très complet sans l'être, dans le sens ou l'on a toutes les définitions qu'il faut comme si le bouquin s'adressait aux amateurs, mais en dehors de ça, les nombreux exemples que l'auteur donne pour illustrer les notions et les exercices (non corrigés) en fin de chaque section sont fait pour des lecteurs d'un (très) bon niveau. Pour moi, c'est un bouquin assez difficile à lire , mais malgré tout très passionnant. Pour toi qui semble avoir un peu (beaucoup...) plus de facilité de compréhension, tu devrais y trouver ton bonheur en algèbre ! (Attention, c'est un bouquin niveau Master, éventuellement un peu L3, mais je me souviens qu'en sup tous les passionnés l'avaient et l'affichaient fièrement :lol3: )
Sans ça, tu trouveras surement de bonnes références sur internet, un peu plus simplistes que le Serge Lang.
Pour les applications des polynômes cyclotomique, la première que j'ai en tête est le cas particulier du théorème de Dirichlet mais je viens de voir que tu l'avais déjà donnée. Cela dit, j'ai lu il y a pas si longtemps un vieil article avec plein d'applications "amusantes" de ces polynômes, je vais essayer de te le retrouver !
par Zweig » 14 Mai 2010, 19:22
Salut,
Je "connais" ce bouquin, je l'avais en DJVU mais je n'ai jamais eu le courage de l'aborder ... Maintenant que j'ai les bases adéquates en Algèbre, je pense m'y plonger quand j'aurai plus de temps ;-).
Je suis intéressé par ton PDF aussi.
Je "connais" ce bouquin, je l'avais en DJVU mais je n'ai jamais eu le courage de l'aborder ... Maintenant que j'ai les bases adéquates en Algèbre, je pense m'y plonger quand j'aurai plus de temps ;-).
Je suis intéressé par ton PDF aussi.
par Ben314 » 14 Mai 2010, 20:46
Sinon, pour faire le chieur (j'aime bien ça), fait attention, la fonction de Moëbius n'est que faiblement multiplicative, c'est à dire que mu(mn)=mu(m)mu(n) lorque m et n sont premiers entre eux.
(en général, en arithmétique, quand on dit "multiplicative" sans préciser, ça veut dire faiblement)
(en général, en arithmétique, quand on dit "multiplicative" sans préciser, ça veut dire faiblement)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Ben314 » 14 Mai 2010, 22:58
Tient, temps que j'y pense, parmi les applications "classiques" (mais un peu détournée) des polynômes cyclotomiques, il y a le théorème de Weidenburn (???) qui dit que tout corps fini est commutatif.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Zweig » 15 Mai 2010, 10:09
Ben314 a écrit:Sinon, pour faire le chieur (j'aime bien ça), fait attention, la fonction de Moëbius n'est que faiblement multiplicative, c'est à dire que mu(mn)=mu(m)mu(n) lorque m et n sont premiers entre eux.
(en général, en arithmétique, quand on dit "multiplicative" sans préciser, ça veut dire faiblement)
Exact, j'ai oublié le "premier entre eux" après "(m,n)N²".
par Zweig » 17 Mai 2010, 11:45
Nightmare > Par hasard, je viens de trouver une application du corps cyclotomique : le théorème de Catalan (eh non, ce n'est plus une conjecture depuis 2003 ! :id: ) : http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups05-01.pdf
Bonne lecture ...
Bonne lecture ...
par benekire2 » 17 Mai 2010, 20:24
au fait Zweig, ne t'en fais pas , e serais bientôt de retour pour attaquer ces méchants polynômes ! ( et vous poser tout plein de questions parce que je serais pas faire :id: )
par Ben314 » 17 Mai 2010, 23:38
Bon, t'en est pas encore là, mais en lisant la suite, il me semble qu'il y a quelques petits "problèmes techniques" dans l'énoncé.
Le plus génant me semble être la question 9) qui demande au minimum à connaitre la définition des polynômes formels (le résultat demandé est faux en terme de fonctions polynômes...)
Le plus génant me semble être la question 9) qui demande au minimum à connaitre la définition des polynômes formels (le résultat demandé est faux en terme de fonctions polynômes...)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par benekire2 » 06 Juin 2010, 14:42
Salut tout le monde !
J'ai commencé tout à l'heure , et ... j'ai bien galéré a vrai dire. J'avais déjà répondu à la 2, mais la 3 m'a fait réfléchir alors que la réponse à la question est relativement simple ...
Pour la 6) comment doit-on procéder ? Je ne vois vraiment rien !
Merci à vous !!
J'ai commencé tout à l'heure , et ... j'ai bien galéré a vrai dire. J'avais déjà répondu à la 2, mais la 3 m'a fait réfléchir alors que la réponse à la question est relativement simple ...
Pour la 6) comment doit-on procéder ? Je ne vois vraiment rien !
Merci à vous !!
par Ben314 » 06 Juin 2010, 15:17
Pour la 6), il faut utiliser la formule d'inversion de Möbius qui dit que, si f et F sont deux fonctions de 
dans un groupe multiplicatif 
(par exemple l'ensemble des fractions rationelles...) on a équivalence entre :
1)=\prod_{d|n}f(d))
2)=\prod_{d|n}\big(F(\frac{n}{d})\big)^{\mu(d)})
Je te conseillerais même de démontrer cette formule : c'est trés simple et c'est un bon entrainement pour manipuler des produits (ou des sommes) indexés sur des ensembles quelconques.
1)
2)
Je te conseillerais même de démontrer cette formule : c'est trés simple et c'est un bon entrainement pour manipuler des produits (ou des sommes) indexés sur des ensembles quelconques.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par benekire2 » 06 Juin 2010, 17:24
Re !
En fait je vois pas comment utiliser ton indice ben, et pour la démo de la formule d'inversion de mobius, tu as l'air de dire que c'est très simple, sauf que .. je n'y arrive pas aussi, j'ai VRAIMENT du mal a transformer les écritures.
Merci :we:
En fait je vois pas comment utiliser ton indice ben, et pour la démo de la formule d'inversion de mobius, tu as l'air de dire que c'est très simple, sauf que .. je n'y arrive pas aussi, j'ai VRAIMENT du mal a transformer les écritures.
Merci :we:
par Ben314 » 06 Juin 2010, 23:06
Pour 1) => 2) : Si alors, pour tout n dans 
, on a :
\right)^{\mu(d)}\ <br />=\ \prod_{d|n}\big(\prod_{c|\frac{n}{d}}f(c) \big)^{\mu(d)}\ <br />=\ \prod_{d|n}\prod_{c|\frac{n}{d}}\big(f(c) \big)^{\mu(d)}\ <br />=\ \prod_{c|n}\prod_{d|\frac{n}{c}}\big(f(c) \big)^{\mu(d)}\ <br />=\ \prod_{c|n}\big(f(c) \big)^{\lambda(\frac{n}{c}))
où, pour tout m dans
, =\sum_{d|m}\mu(d))
Reste à vérifier que=1)
et que, pour tout m différent de 1, =0)
ce qui se fait simplement en considérant la décomposition en nombre premiers 
...
où, pour tout m dans
Reste à vérifier que
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par benekire2 » 07 Juin 2010, 09:21
D'accord, merci !
Et pour la question en elle même , on a F(n/d)=x^(n/d)-1
j'ai juste un problème pour F(n) ce serait bien x^n-1 ?
Et pour la question en elle même , on a F(n/d)=x^(n/d)-1
j'ai juste un problème pour F(n) ce serait bien x^n-1 ?
par Ben314 » 07 Juin 2010, 09:57
Oui, c'est bien ça.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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