[Défi] Polynômes cyclotomiques

[Ben314]

Pour "fabriquer" plein de nombres premiers congrus à 1 modulo n, il faut évidement regarder les diviseurs premiers de pour des "bien choisis".

Deux problèmes :
1) Un diviseur premier de est congrus à 1 modulo n OU BIEN il divise et on veut éviter ce dernier cas.
2) Si on a déja fabriqué des nombres premiers on voudrait être sûr que le diviseur premier de ne soit pas un des nombres premier déjà obtenu.

Pour cela, on a un seul "levier de maneuvre" : le choix du ...

Indic : Montre que est premier avec x...

[benekire2]

Salut !

Je suis vraiment pas sur de comprendre en fait ...
Je reprend;

Je sais que un diviseur premier de est congru a 1 modulo n ssi l'ordre de x dans Z/pZ est n. Jusque là pas de problèmes.

Je n'arrive pas a voir en quoi on va pouvoir montrer infinitude de ces nombres premiers.

Quand tu dis on a fabriqué p1 p2...pk ce sont des nombres premiers tels que p=1[n] ? Je suppose bien sur que c'est le cas, puisque l'on raisonne par l'absurde, on veut donc montrer que il existe un nombre premier p qui ne soit pas dans cet ensemble fini, qui divise pour un certain x tel que p=1[n]

Sauf que je ne vois pas comment démontrer ton indice et encore moins comment conclure après ...


Comment faire? Merci ! :id:

[Ben314]

Tout d'abbord, je raisonne pas du tout par l'absurde (j'aime pas ça du fait qu'on sait pas ce qu'on écrit donc si je peut, j'évite).

Pour produire des nombres premiers congrus à 1 modulo , on utilise la question 11) avec fixé :
Pour tout de Z, tout diviseur premier de est congru à modulo ou bien il divise (cas à éliminer en prenant des particuliers)

Sauf que divise qui est évidement premier avec donc est premier avec .

Considérons donc un diviseur premier de . On alors sait que :
a) divise qui est est premier avec .
b) ou bien divise .
On en déduit évidement que...

Esssaye de voir comment ensuite trouver un second nombre premier et distinct de .
Puis un troisième, puis...

[benekire2]

J'ai envie d'essayer avec p2 qui divise donc par contre pour montrer que forcément p1 est différent de p2 c'est moins évident ...

Est-ce que c'est déjà ça l'idée ( considérer )? Si oui , pour montrer que p2 est différent de p1 ... on fait comment :doh: ?

EDIT. Je viens de me rendre compte que c'est faux, ça sert a rien de considérer , donc .. retour à la case départ, je ne vois pas comment choisir ce fameux x :triste:

[Ben314]

Non : si tu prend un diviseur premier de alors tu as :
a) divise qui est est premier avec .
b) ou bien divise .
Et tu n'est même pas sûr que , il peut trés bien diviser

Pour on peut par exemple prendre un diviseur premier de . On a alors :
a) divise qui est est premier avec .
b) ou bien divise .
Et la partie a) permet d'être sûr que ne divise pas et que est distinct de .

[benekire2]

Ingénieux !! J'aurais pas trouvé je crois (sûr même .... ) !

Pour l'application 3 :

La seule chose que j'ai faite c'est ça :


Et après, c'est le vide total ! Comment continuer ? En plus les équations diophantiennes je connais pas beaucoup de "méthodes" ..

Merci :id:

[benekire2]

Zweig , pourrait-tu me donner quelques indications stp ?
Merci !

[Zweig]

L'équation est équivalente à :



Utilise maintenant la question 12)

[benekire2]

ok merci, le problème ici, c'est que par exemple y-1 n'est pas premier, on en sait rien. on sait simplement que si p est diviseur du membre de gauche alors p=1+7k et donc plus généralement un diviseur du membre de gauche est de la forme p=1+7k i.e. y=2+7k et donc de même je peut théoriquement en déduire que 1+y+y²+y^3=7k'

Voilà , je fais quoi maintenant ? :doh:

Merci !

[Zweig]

La question 12) te dit que tout diviseur p premier de vaut soit 7 ou est congru à 1 mod 7 ou encore que tout diviseur de cette expression est divisible par 7 ou congru à 1 mod 7.

D'après la relation, ça implique que y-1 est congru à 0 ou 1 mod 7. Dans les deux cas, montre que l'on obtient une contradiction.

[benekire2]

Bonjour,

J'ai vu que le membre de gauche est soit congru a 0 mod 7 ( pour x=1[7] ) soit congru a 1. En ce qui concerne le membre de droite c'est soit congru a 0 ( pour y=1[7] ) soit congru a 3 mod 7.

Donc il y a des contradictions, sauf pour x=1[7] et y=1[7] et je ne vois pas comment en établir une. Y a-il quelque chose que j'ai loupé ?

[benekire2]

Et bien, j'ai développer (7k+1)^7 et réduit :



Cette équation est donc logiquement divisible par 7. Une fois cela fait (long...) on peut diviser encore par 7 et j'obtiens k'=3[7] sauf que je tourne en rond ...

[benekire2]

Merde. :cry:

Je mérite d'être pendu. (1+y+y²+y^3+y^4) est aussi un diviseur ... donc si y=1[7] on a (1+y+y²+y^3+y^4)=5[7] -->> pas bon et si y=2[7] (1+y+y²+y^3+y^4)=3[7] -->> Fini !!


Pour l'application 2, comment fait-on ?

Merci beaucoup.

[Zweig]

Ouep, c'est ça !

Pour l'application 2, remarque qu'il suffit de montrer que le nombre en question a au moins diviseurs premiers distincts.

En partant de , montre que



Puis utilise 14)

[benekire2]

Salut !

C'est pas plutôt qu'il suffit que il admette diviseurs ?

Par ailleurs, c'est bizarre mais je trouve que :

[benekire2]

Tout calculs faits je trouve :


et je vois pas comment montrer que le machin en bas il vaut 1 ... :marteau:

Edit, finalement pour cette partie c'est ok.

[benekire2]

salut,

Je peine sur l'utilisation de la question 14. En fait, je n'arrive pas à l'utiliser et je ne vois pas comment on va s'y prendre pour montrer qu'il y a diviseurs premiers distincts.

Merci de ton aide !

[Ben314]

En ce qui concerne le membre de droite c'est soit congru a 0 ( pour y=1[7] ) soit congru a 3 mod 7.

Tient, c'est bizare, perso, pour y=0,1,2,3,4,5,6 modulo 7 je trouve pour le membre de droite y^5-1=6,0,3,4,1,2,5 modulo 7...

Donc ça me semble pas trop marcher...