[Défi] Racines n-ième

par **benekire2** » 03 Mai 2010, 21:17

J'y réfléchis demain :) je te dirais ce que j'aurais réussi à faire, là je vais aller me coucher ça sert plus à rien de réfléchir !!

J'espère pouvoir attaquer la 5ème partie mercredi .... polynômes cyclotomiques me voilà !!

par **Ben314** » 03 Mai 2010, 21:27

Je vient d'éditer mon post précédent...

par **benekire2** » 03 Mai 2010, 21:30

j'ai vu, :id: merci !

par **benekire2** » 04 Mai 2010, 11:45

Salut ;

Alors dit moi si c'est juste :

Par suite en découpant :

Ce qui se résume à

qui fournit la relation demandée.

Edit : Le latex n'a pas voulu me faire les fractioons !!

par **benekire2** » 04 Mai 2010, 12:15

Y a pas une erreur sur l'énoncé de la partie 5 et sur la première question ??
Merci !

par **Ben314** » 04 Mai 2010, 12:27

Pour la dernière question de la partie 4, c'est bien ce que j'ai fait (reste à savoir si c'est bien à cette formule que Zweig pensait)

Pour la première question de la partie 5, il y a une faute de frappe "évidente" :
il faut évidement lire " si d>1 est un entier impair alors..."
Par contre, le résultat demandé est tout ce qu'il y a de plus correct...

par **benekire2** » 04 Mai 2010, 14:16

Ben314 a écrit:Pour la dernière question de la partie 4, c'est bien ce que j'ai fait (reste à savoir si c'est bien à cette formule que Zweig pensait)

Pour la première question de la partie 5, il y a une faute de frappe "évidente" :
il faut évidement lire " si d>1 est un entier impair alors..."
Par contre, le résultat demandé est tout ce qu'il y a de plus correct...

Pour la faute de frappe oui j'avais vu ... mais pour l'énoncé en lui même avant la question 1 ; les epsilon ont un exposant alors que la forme d'un polynôme cyclotomique n'est pas avec des exposants sur les epsilons il me semble ... ou alors je dit n'importe quoi !

par **Ben314** » 04 Mai 2010, 15:04

Non, la formule est parfaitement correcte :

est une racine primitive n-ième de l'unité et l'ensemble des racines primitives n-ièmes de l'unité est bien l'ensemble des

où

et

.

par **benekire2** » 04 Mai 2010, 15:07

j'était persuadé que c'était :

et pas

puisque

vaut 1

par **Ben314** » 04 Mai 2010, 15:19

benekire2 a écrit:j'était persuadé que c'était :

et pas puisque vaut 1

Ben, tout dépend des notations, à savoir de ce que représente

et de ce que représente

...
Ici, vu les notations qu'il a choisi, la définition est parfaitement correcte.

Perso, si on me demande à froid la définition du n-ième polynôme cyclotomique, j'aurais tendance à dire que c'est :

où

est l'ensemble des racines primitivesq n-ièmes de l(unité dans

.
Ensuite, il y a plusieurs façons de décrire "plus précisément" l'ensemble

, et le choix fait pae Zweig correspond bien à la logique du problème.

par **benekire2** » 04 Mai 2010, 16:11

d'accord, alors je vois pas trop comment arriver a résoudre la première question pour l'instant ... et comment utilisé l'indication donnée sur d ... juste que 2d n'est pas divisible par 4 ..

par **benekire2** » 05 Mai 2010, 06:18

quelqu'un peut m'aider sur cette partie 5 ? Merci :id:

par **Ben314** » 05 Mai 2010, 08:24

J'avais pas trop fait gaffe aux notations du III) pour

(je sais pas pourquoi, sur l'ordi du bureau, je n'ai que la page 2...) :

Tu as raison : il y a un problème de notations :
Dans le III)

où

est un entier fixé une bonne fois pour toute, alors que, dans la définition du V), visiblement

et donc

...

Bon, donc tu prend comme définition du n-ième polynôme cyclotomique :

où

est l'ensemble des racines primitives n-ième de l'unité dans

Grâce à la question III)3), cela signifie que :

où

Enfin, pour montrer la formule demandée, une des méthodes consiste à évaluer le cardinal de

(parité ?) puis à trouver une bijection (trés simple) entre les ensembles

et

...

par **benekire2** » 05 Mai 2010, 11:36

ah .. j'étais sur qu'il y avait un petit problème de notations pour ces polynômes ...

Par contre je te suis pas trop quand on doit montrer que card A_d = card A_2d
avec d impair en fait par des tests je l'ai conjecturé, mais j'arrive pas à le démontrer.

par **ffpower** » 05 Mai 2010, 11:48

Ne pourrait tu pas trouver une bijection assez naturelle entre A_d et A_{2d} ?

par **benekire2** » 05 Mai 2010, 12:09

je ne vois pas quelle bijection, vraiment ... désolé

par **Ben314** » 05 Mai 2010, 17:41

Si z est une racine primitive d-ième de l'unité (aved d>1 impair), que pense tu de -z ?

par **benekire2** » 05 Mai 2010, 18:32

Ben314 a écrit:Si z est une racine primitive d-ième de l'unité (aved d>1 impair), que pense tu de -z ?

... et bien c'est une racine primitive 2d-ième

On peut alors facilement établir la bijection entre les deux ensembles je pense.

Donc déjà nos deux polynômes seront de même degré.

Ensuite on conclus facilement en écrivant phi_d (-x) en faisant sortir le -1 .

Juste un détail :

j'obtient :

c'est normal ?

par **Ben314** » 05 Mai 2010, 18:46

Modulo que au niveau notation (indices=?? ; epsilon', on sait pas qui c'est, je pense que le n, c'est la même chose que le d...) c'est franchement pas bon, l'idée est O.K.
aprés, il faut voir pourquoi phi(n) [ou plutôt phi(d)] est forcément pair à l'aide de l'hypothése d>1 impair.

Je suis pas non plus convaincu que l'on obtienne le fait que z->(-z) est une bijection de Ad sur A(2d) en "claquant des doigts" : à mon avis, c'est surtout ça qu'il faut bien rédiger...

par **benekire2** » 05 Mai 2010, 19:29

oui les notations elles sont louches :zen:

Sinon pour le phi(d) forcément pair je vois pas trop trop ...

PS: pour le fait que les phi_2d et les phi(d) soient en bijection je pense me dbrouiller, au pire je reposerais une question quand je rédigerais, il faut quand même que j'avance sur cette partie 5.

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