Question

[biss]

Pour moi, comme pour le commun des mortels :
"l'infiniment grand existe" = "on peut toujours trouver un nombre plus grand qu'un nombre donné"

"L'infiniment grand existe" (ou disons plus clairement : "Il existe un nombre infiniment grand") veut dire qu'il existe un nombre plus grand que tous les entiers naturels standards.

Donc finalement l'I finement grand existe ? On peut toujourd avoir un nombre plus grand ?

[Robot]

Il faudrait faire la différence entre "Pour tout X, il existe Y tel que Y est plus grand que X" et "Il existe Y tel que, pour tout X, Y est plus grand que X".

[Ben314]

Donc finalement l'I finement grand existe ? On peut toujourd avoir un nombre plus grand ?

non, en math, il n'y a pas d'infiniment grand : Weierstrass et Cauchy les ont foutu a la porte il y a environ 200 ans et tout le monde les en a remercié.

Et, le fait de pouvoir "toujours trouver du plus grand" n'a rien a voir avec l'idée même naïve d'infiniment grand :
Si on prend un réel strictement compris entre 3 et 4 alors (x+4)/2 est un autre réel du même intervalle qui est strictement plus grand que celui de départ. Pense tu que pour autant on puisse dire que l'intervalle ]3,4[ contienne quoi que ce soit auquel on puisse accoler le terme "d'infiniment grand" ?

[Robot]

non, en math, il n'y a pas d'infiniment grand

Il serait peut-être plus exact d'affirmer que dans il n'y a pas d'infiniment grand, et que les raisonnements d'analyse réelle formalisés au 19e siècle n'utilisent ni infiniment grand ni infiniment petit.

[Ben314]

Il serait peut-être plus exact d'affirmer que dans il n'y a pas d'infiniment grand, et que les raisonnements d'analyse réelle formalisés au 19e siècle n'utilisent ni infiniment grand ni infiniment petit.

Tout a fait.
Mais mon problème c'est que ce fil est "à double vision", c'est à dire que, les réponses (et/ou objection) que je formulerais à tes post ou ceux de Pseuda ne sont pas les mêmes que celles que formulerais pour biss où j'aurais tendance à penser que c'est sans doute mieux d'éviter de parler d'analyse non standard ou de séries de Puiseux.

A mon avis, il en est, au niveau de l'analyse "basique" dans R (limites de suites, continuité, dérivabilité, intégration, etc) et lorsque je lui répond, c'est à ce niveau là que je me place.
Et si je suis aussi catégorique, c'est principalement du au fait que, régulièrement, on trouve sur ce forum (et ailleurs) des polémiques sans fins concernant (par exemple et entre autre) le fait que 0.9999... avec une infinité de 9 est égal (ou pas) à 1.
A mon sens, pour se poser ce type de question, il faut avoir a un moment ou un autre pensé qu'il existait des "entiers illimités" (représentant le "nombre de 9" qu'on met derrière le 0) et, à chaque fois, il faut des plombes pour faire "revenir sur terre" le "poseur de question" et lui faire comprendre que la seule façon "raisonnable" d'énoncer proprement (=mathématiquement) le truc en question, c'est de poser Un=0.999...9 avec n 9 après la virgule et de chercher la limite de Un (en utilisant la définition de Cauchy de ce qu'est une limite) pour faire constater que la limite est parfaitement totalement égal à 1 (et pas égale à 1 "à un infiniment petit prés") alors que, bien sûr, aucun des Un n'est égal à 1.
A chaque fois c'est long et fastidieux (et répétitif : je sais pas combien de post il y a sur ce forum sur le thème en question) et toute les fois que j'ai répondu à ce type de thread je me suis demandé quel était le #?#!?#!?! (censuré) qui avait pu leur laisser imaginer qu'il y avait des entiers (ou des réels) infiniment grands.

Et là où ça me gonfle, c'est qu'ayant été très souvent en contact avec des profs/élèves de Lycées, je sais très bien qu'aucun prof ne dit (ni ne sous entend) que, la limite de 1/n quand n->oo ça fait "presque" 0 (i.e. un "infinitésimal"). C'est toujours très clair que la limite est exactement égale à 0 et pas à autre chose et qu'une suite "tende" vers L, ça veut dire qu'on peut se servir des Un pour approximer L avec la précision qu'on veut dans le sens : "On se fixe une précision => on peut trouver un N tel qu'on a (au moins) cette précision là à partir de N" (avec en général moultes exercices d'application du style "quelle valeur doit on prendre pour avoir L avec 10^-3 de précision ?)
Bref, c'est suffisamment bien expliqués pour que je sois (relativement...) persuadé que c'est pas là qu'ils ont "extrapolés" que le fait qu'une suite Un tendait vers L ça signifiait que Un était "infiniment proche" de L pour n "infiniment grand".

Sinon (et pour finir), effectivement, ça (auquel je n'avais pas vraiment pensé)

Il faudrait faire la différence entre "Pour tout X, il existe Y tel que Y est plus grand que X" et "Il existe Y tel que, pour tout X, Y est plus grand que X".

ça me semble une explication on ne peut plus raisonnable concernant le fait que, pour certains, "pouvoir trouver toujours plus grand", ça veut dire "existence d'illimités".

[Sylviel]

Donc finalement l'I finement grand existe ?

Non. (Du moins pas dans R, ni en terme d'analyse standard. Donc au moins pas avant d'avoir un bon niveau L3 pour commencer à se poser la question)

On peut toujourd avoir un nombre plus grand ?

Oui. Si tu prends un nombre quelconque appelé x, alors x+1 sera plus grand.

[Sylviel]

@Ben314
Je peux t'assurer que tous ceux à qui j'en ai parlé aujourd'hui ont ouvert des yeux grands d'étonnement à l'affirmation que l'infiniment petit n'existait pas en mathématiques, voire n'étaient franchement pas d'accord.

Et ceux à qui tu en as parlé sont chercheur en maths et prof à l'université, et donc ont un avis éclairé sur ce qui existe ou non en maths ?

Il me semble que la confusion vient du fait que :

Pour moi, comme pour le commun des mortels :

"l'infiniment petit existe" = "on peut toujours trouver un nombre plus petit qu'un nombre donné"
"l'infiniment grand existe" = "on peut toujours trouver un nombre plus grand qu'un nombre donné"
"l'infiniment grand n'existe pas" = "il existe un nombre plus grand que tous les autres nombres"
"l'infiniment loin existe" = "on peut toujours aller plus loin qu'un point donné"
etc...

l'infiniment petit existe a plutôt l'air de dire qu'il existe un truc qui soit infiniment petit.

Toute l'analyse mathématique est quand même fondée sur le concept de l'infiniment petit et grand tel qu'il est compris par le commun des mortels. Et même si dans l'analyse d'aujourd'hui on n'en parle pas, il doit bien se trouver niché quelque part et accepté implicitement ?

Ce qui existe et qui est très largement utilisé c'est que "on peut toujours trouver un nombre plus petit qu'un nombre donné". Ou plutôt c'est utilisé de la manière suivante : "choisit un nombre aussi petit que tu le souhaites, et ce sera toujours vrai".

[biss]

Donc sur R on devrais plutôt faire et r devient le nombre infinement petit et p le nombre infinement grand.Comme ça on voit bien que l'infinement tel que pour tout x il existe un autre plus grand est fausse.

[Sylviel]

Je ne comprends pas ta phrase.

R ne peut pas s'écrire de la forme [r;P].

[Pseuda]

Bon alors, on peut le dire autrement, si c'est le terme d'infiniment petit et grand qui te gêne : il existe des nombres aussi grands que l'on veut, et il existe des nombres aussi petits que l'on veut. C'est ce que l'on appelle de l'"inconscient collectif".

Il n'existe de vitesse aussi grande que l'on veut (vitesse de la lumière). Il n'existe pas de température aussi basse que l'on veut (zéro absolu). Mais il existe des nombres aussi grands et aussi petits que l'on veut...

Et que l'on peut confondre par une terminologie qui a l'air d'avoir une signification particulière en mathématiques : "infiniment petit".

[Sylviel]

Oui, il existe des nombres aussi petit que l'on veut. Ce qui est différent de dire "il existe un infiniment petit". Par exemple, pour reprendre l'exemple qu'à resorti Ben :
le nombre a=0.99999... (avec une infinité de 9) est égal à 1. Si on fait a -1 on a 0, pas "une différence infiniment petite".

[Monsieur23]

Aloha,

À mon avis, il faut juste bannir le terme "infini" dans les mathématiques. Sinon, les matheux passent plus de temps à essayer d'expliquer des trucs comme sur ce topic qu'à faire des maths.

[Sylviel]

Sauf que le terme est fort utile : "tends vers l'infini", "au voisinage de l'infini", voir même utilisé directement (comme en analyse convexe).

[beagle]

Aloha,

À mon avis, il faut juste bannir le terme "infini" dans les mathématiques. Sinon, les matheux passent plus de temps à essayer d'expliquer des trucs comme sur ce topic qu'à faire des maths.

Comme d'hab je ne crois pas qu'en supprimant les mots on supprime les concepts.
Notre approche des maths, surtout le début des maths est forcément lié à notre condition humaine,
à nos sens.Nos schémas mentaux ne peuvent s'affranchir aussi facilement du réel vécu.

Donc oui tout ce qui concerne l'infini sur un forum de maths donne lieu à multitude d'erreurs, de trucs contre-intuitif au départ.
Et c'est bien une construction d'un nouvel intuitif qui est à faire.

Perso je comprends pas bien ce qu'est un infiniment petit, sauf la différence entre le monde physique et les maths, et encore...

Mais s'agissant du 0,999... = 1
ben oui comme beaucoup, ma première rencontre avec ce truc a été de penser que c'est proche, très proche mais pas vraiment le 1.
Ensuite il ya des arguments qui sont donnés sur ce forum, comme par exemple le fait qu'il n' y a rien entre les deux, si y a rien c'est quand même pète ben que c'est la même chose, cela reste mauvaise intuition contre meilleure intuition...

Mais c'est bien un sujet à bosser = à rencontrer = à se frotter.

Ces derniers jours j'étais sur des fils de bijection, de surjection dans des ensembles infinis.
Cela ne peut se faire qu'en sortant de la vision bijection surjection des ensembles finis.
Mais faut jouer avec pour maitriser.Certainement pas en fuyant.

Donc il est normal que les élèves ou les moins forts en maths racontent les mèmes bétises.
Il est normal que les profs, que les plus costauds en maths soiernt amenés à rabacher les mèmes corrections.
On remercie ici ceux qui le font pour leur patience.
Ensuite il serait possible de faire des sortes de "fiches " de sujets à répéter sur certains sujets.
Il y a , il y avait un truc pour épingler des sujets ...

[Robot]

Puisqu'on est au café....

Montrons que est strictement plus petit que , et qu'il n'y a rien entre les deux.

D'abord, il faut définir nos objets. Pour cela, nous allons expliciter une construction à partir des rationnels que nous appellerons "réels de Llort".

Un réel de Llort sera représenté par une suite de segments (intervalles fermés bornés non réduits à un point) emboîtés, à extrémités rationnelles, dont la longueur tend vers (penser à des encadrements). Nous dirons que deux telles suites et définissent le même réel de Llort quand, pour tout entier naturel , il existe un entier naturel tel que et . Tout nombre rationnel peut être vu comme le réel de Llort représenté par la suite de segments .

L'addition sur les réels de Llort est définie par (idem pour la différence), la multiplication par . Ces opérations étendent bien les opérations sur les rationnels.

On a sur les réels de Llort une relation d'ordre : veut dire que pour tout entier naturel , il existe un entier naturel tel que l'extrémité gauche de soit inférieure ou égale à celle de et l'extrémité droite de supérieure ou égale à celle de . Cet ordre étend bien l'ordre sur les rationnels.

Par définition, le réel de Llort est représenté par la suite de segments . On peut alors démontrer le

Théorème : , et il n'existe aucun réel de Llort entre les deux.

[Monsieur23]

Sauf que le terme est fort utile : "tends vers l'infini", "au voisinage de l'infini", voir même utilisé directement (comme en analyse convexe).

En fait, l'infini ne devrait pas apparaître en analyse. Le seul endroit où il devrait apparaître (selon moi), c'est en théorie des ensembles, dans son sens initial "non fini" (on peut même dire "transfini" pour slapéter un peu). En analyse, l'infini n'intervient jamais si on revient aux définitions. Pourquoi le faire apparaître dans les notations, comme si c'était un réel normal ?

[Sylviel]

Tu devrais préciser tout de même que ce message ne s'addresse pas aux lycéens... Et que dans ta construction 0 n'est pas élément neutre de l'addition si je ne m'abuse.

[Sylviel]

En fait, l'infini ne devrait pas apparaître en analyse. Le seul endroit où il devrait apparaître (selon moi), c'est en théorie des ensembles, dans son sens initial "non fini" (on peut même dire "transfini" pour slapéter un peu). En analyse, l'infini n'intervient jamais si on revient aux définitions. Pourquoi le faire apparaître dans les notations, comme si c'était un réel normal ?

Non, en analyse convexe / optimisation on utilise souvent des fonctions prenant pour valeur +oo

Par ailleurs écrire est beaucoup plus rapide à écrire et simple à manipuler que

[Ben314]

Puisqu'on est au café....

Vu qu'on en est au café, je pointerais tout de même du doigt que, sur les réels Llort, il peut éventuellement venir à l'esprit de considérer la définition suivante (qui, à priori, semble aussi "naturelle" que les autres)

veut dire que pour tout entier naturel , il existe un entier naturel tel que l'extrémité gauche de soit strictement inférieure à celle de et l'extrémité droite de strictement supérieure à celle de .

Et, avec cette définition là, on n'a plus 0.99999...<1.


Sinon, concernant les autres interventions, bizarrement, je suis d'accord avec tout le monde :
- Avec Monsieur23 sur le fait que, si on pouvait, ça serait mieux de ne pas utiliser le mot "infini" dans les définitions élémentaires de l'analyse.
- Avec Sylviel sur le fait que c'est pas facile de trouver un/des autres mots pour le remplacer. Par contre le fait qu'on utilise explicitement l'infini (actuel) en analyse complexe (ainsi que pour définir l'intégrale de Lebesgue, par exemple), à mon sens, ça sort "légèrement" du sujet, mais c'est tout à fait discutable...

[Pseuda]

Bonjour,

Comme vous, je ne vois pas comment bannir le terme "infini" du langage mathématique. Par ailleurs, tout ceci ne m'empêchera pas de continuer à répondre à mes élèves (qui ne sont pas au courant des batailles du 18ème siècle) et qui demandent ce qu'est le "dx" du f(x)dx, plutôt que de répondre "c'est une notation" (réponse très frustrante et qui à mon avis embrouille), de répondre que c'est une quantité infiniment petite (qui autorise à faire la somme de quantités finies) et qui indique la variable d'intégration. Sinon, quelle autre explication donner à "dx"?

De dire à des élèves de Terminale que l'infiniment petit et grand n'existe pas en mathématiques ne peut, à mon avis, que les embrouiller. Tout dépend du public auquel on s'adresse, on ne peut pas embraser d'un coup toutes les subtilités des mises au point faites par des générations de mathématiciens.

D'ailleurs, je n'ai toujours pas compris en quoi ce terme d'infiniment petit était gênant. L'exemple du 0,9999..... = 1 (dont je suis persuadée) ne me convainc pas, car la suite an =0,999... 9 (où les 9 sont n fois) tend vers 1, 1-an tend vers 0, donc on peut dire que 1-an est une différence infiniment petite qui tend vers 0. Il faudrait un autre exemple pour voir où cela peut être source d'erreurs.

Concernant la proposition "on peut toujours trouver un nombre plus grand qu'un nombre donné", je suis d'accord que cette proposition ne caractérise pas R (puisque ]3,4[ le vérifie aussi). En fait, elle caractérise que l'ensemble n'a pas de plus grand élément. Mais ce qui différencie ces 2 ensembles (]3,4[ et R) inclus dans R, c'est que l'un est majoré dans R, l'autre ne l'est pas (sauf par +oo, encore l'infini...). Il est en effet plus juste de dire : "on peut toujours trouver dans R (et pas dans ]3,4[) un nombre plus grand qu'un nombre donné dans R". Mais je ne vois toujours pas là en quoi il faut bannir l'infiniment petit et grand du langage mathématique. Mais c'est pas grave.

Je suis bien d'accord avec Monsieur23 pour dire que tout cela est au final une perte de temps.