Discussion MATH et question-réponse et fun

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Anonyme

Discussion MATH et question-réponse et fun

par Anonyme » 27 Nov 2012, 15:34

Bonjour,

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Archytas
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par Archytas » 27 Nov 2012, 22:52

Haha je commence, j'ai un truc en tête depuis quelques jours ^^' ! J'ai lu que Cantor avait écris comme axiome que deux ensembles ont la même taille si ils peuvent être mis en correspondance biunivoque et il en avait déduis à l'aide d'un tableau que les rationnels ont la même taille que les entiers soit "aleph 0" ! Je comprends pas comment on arrive à la conclusion que card(Q)=aleph 0 !?

kazeriahm
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par kazeriahm » 28 Nov 2012, 11:44

Qu'est-ce que tu ne comprends pas, pourquoi card(Q)=card(N) ? c'est juste une notation

Archytas
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par Archytas » 28 Nov 2012, 20:47

kazeriahm a écrit:Qu'est-ce que tu ne comprends pas, pourquoi card(Q)=card(N) ? c'est juste une notation

C'est la taille des entiers... Et cantor dit (montre) que les irrationnels ont la même taille !

Nightmare
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par Nightmare » 28 Nov 2012, 20:52

Attention, Cantor n'a surement pas montré ça puisque c'est faux. Les irrationnels sont bien plus gros que les rationnels, ils sont aussi gros que R alors que les rationnels sont aussi gros que N.

Archytas
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par Archytas » 28 Nov 2012, 20:58

Nightmare a écrit:Attention, Cantor n'a surement pas montré ça puisque c'est faux. Les irrationnels sont bien plus gros que les rationnels, ils sont aussi gros que R alors que les rationnels sont aussi gros que N.

Mon livre en question dit clairement que N et Q ont la même taille à savoir aleph 0 aussi batisé le dénombrable tandis que les réels R ne sont pas comparables, et il montre qu'il n'existe pas de correspondance biunivoque entre Q (ou N) et R. La taille de R dit il est aleph 1 (2^aleph0 d'après l'hyposthèse du continu elle même indémontrable me semble-t-il.) qui serait batisé la puissance du continu. D'ailleurs sans aucun rapport avec mes lectures ma prof de maths nous à dit en anecdote exactement ce que je viens de dire à savoir que Q est dénombrable aussi et qu'il a la même taille que N même si c'est complétement contraire à l'intuition... sur ce point je suis bien d'accord et c'est justement le sujet de mes interrogations !

Nightmare
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par Nightmare » 28 Nov 2012, 21:04

Archytas a écrit:Mon livre en question dit clairement que N et Q ont la même taille à savoir aleph 0 aussi batisé le dénombrable tandis que les réels R ne sont pas comparables, et il montre qu'il n'existe pas de correspondance biunivoque entre Q (ou N) et R. La taille de R dit il est aleph 1 (2^aleph0 d'après l'hyposthèse du continu elle même indémontrable me semble-t-il.) qui serait batisé la puissance du continu. D'ailleurs sans aucun rapport avec mes lectures ma prof de maths nous à dit en anecdote exactement ce que je viens de dire à savoir que Q est dénombrable aussi et qu'il a la même taille que N même si c'est complétement contraire à l'intuition... sur ce point je suis bien d'accord et c'est justement le sujet de mes interrogations !


D'une part, dans ce que tu viens d'écrire, rien ne justifie que les irrationnels ont la même taille que R (tu n'en parles même pas).

Ensuite, l'hypothèse du continue ne dit pas du tout que la taille de R est 2^(aleph0). L'hypothèse du continu dit qu'il n'existe pas d'ensemble strictement plus gros que N et strictement plus petit que R. Ce qui justifie l'écriture 2^(aleph0) c'est le fait que R est équipotent à P(N), ensemble des parties de N, et l'on sait que si X est un ensemble fini de cardinal n alors P(X) a pour cardinal 2^n, d'où le prolongement de l'écriture au cas où X=N et n=Aleph0

Archytas
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par Archytas » 28 Nov 2012, 21:12

Nightmare a écrit:D'une part, dans ce que tu viens d'écrire, rien ne justifie que les irrationnels ont la même taille que R (tu n'en parles même pas).

Ensuite, l'hypothèse du continue ne dit pas du tout que la taille de R est 2^(aleph0). L'hypothèse du continu dit qu'il n'existe pas d'ensemble strictement plus gros que N et strictement plus petit que R. Ce qui justifie l'écriture 2^(aleph0) c'est le fait que R est équipotent à P(N), ensemble des parties de N, et l'on sait que si X est un ensemble fini de cardinal n alors P(X) a pour cardinal 2^n, d'où le prolongement de l'écriture au cas où X=N et n=Aleph0

Je parlais des rationnels pas des irrationnels désolé si mes doigts se sont trompés tiens de wikipédia :
"Le cardinal de N, et donc le cardinal de n'importe quel ensemble dénombrable, est noté ;)0 (aleph-zéro). Il est le premier de la suite ordinale des alephs, qui représentent tous les cardinaux infinis en présence de l'axiome du choix."

Et :
"L'ensemble Q des nombres rationnels est dénombrable."

Je n'ai fais que du copié collé.
Et dans le livre il y a marqué (oui désolé je me suis trompé c'est l'hypothèse généralisée du continu) :
"la question de savoir s'il n'y a rien entre aleph0 et 2^aleph0 équivaut donc à se demander si alph1 (par construction, l'infini immédiatement supérieur à aleph0) est égal à 2^aleph0. Elle est appelée l'hypothèse du continu. L'affirmation que pour tout i, aleph_i+1=2^aleph_i est appelée l'hypothèse généralisée du continu."

???

Nightmare
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par Nightmare » 28 Nov 2012, 21:56

Le fait que le cardinal de R puisse se noter 2^(cardinal de N), ça n'a aucun rapport avec l'hypothèse du continu, c'est juste une généralisation du fait que card(P(X))=2^(Card(X)).

Ce que te dis l'hypothèse du continu, c'est que card(R), qui s'avère être égal à 2^(card(N)), est le plus petit cardinal strictement supérieur à card(N).

Archytas
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par Archytas » 28 Nov 2012, 21:58

Nightmare a écrit:Le fait que le cardinal de R puisse se noter 2^(cardinal de N), ça n'a aucun rapport avec l'hypothèse du continu, c'est juste une généralisation du fait que card(P(X))=2^(Card(X)).

Ce que te dis l'hypothèse du continu, c'est que card(R), qui s'avère être égal à 2^(card(N)), est le plus petit cardinal strictement supérieur à card(N).

Et qu'y a t-il de plus dense que R ? Les complexes ? quaternions etc ... ?

Nightmare
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par Nightmare » 28 Nov 2012, 22:02

Attention, la notion de densité n'a pas de rapport avec le cardinal.

Q et R-Q sont denses dans R mais Q est bien plus petit que R-Q.

Si tu cherches à savoir quels sont les cardinaux supérieurs à celui de R, alors on a un résultat dû à Cantor qui nous permet de savoir qui sont ces ensembles qui ont de tels cardinaux.

Précisément, un des théorèmes de Cantor dit que si X est un ensemble alors card(P(X)) est strictement supérieur à card(X).

Donc par exemple, si l'on veut un ensemble de cardinal strictement plus grand que R, il suffit de prendre P(R). Et si on veut un plus gros, on prend P(P(R)) etc.

Archytas
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par Archytas » 28 Nov 2012, 22:13

Nightmare a écrit:Attention, la notion de densité n'a pas de rapport avec le cardinal.

Q et R-Q sont denses dans R mais Q est bien plus petit que R-Q.

Si tu cherches à savoir quels sont les cardinaux supérieurs à celui de R, alors on a un résultat dû à Cantor qui nous permet de savoir qui sont ces ensembles qui ont de tels cardinaux.

Précisément, un des théorèmes de Cantor dit que si X est un ensemble alors card(P(X)) est strictement supérieur à card(X).

Donc par exemple, si l'on veut un ensemble de cardinal strictement plus grand que R, il suffit de prendre P(R). Et si on veut un plus gros, on prend P(P(R)) etc.

Il me semblait que P(E) signifiait une "partie de E" ? c'est la "puissance de l'ensemble" ?

Nightmare
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par Nightmare » 28 Nov 2012, 22:31

P(E) est l'ensemble des parties de E.

Archytas
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par Archytas » 28 Nov 2012, 22:33

Nightmare a écrit:P(E) est l'ensemble des parties de E.

Ok, merci (= !

Judoboy
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par Judoboy » 28 Nov 2012, 22:43

Ca veut dire quoi canonique :lol2: ?

Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 28 Nov 2012, 22:49

Lol, question alakon :)

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leon1789
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par leon1789 » 28 Nov 2012, 23:14

Judoboy a écrit:Ca veut dire quoi canonique :lol2: ?

qui ne fait intervenir aucun choix particulier.

Judoboy
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par Judoboy » 29 Nov 2012, 00:14

leon1789 a écrit:qui ne fait intervenir aucun choix particulier.

Donc la base canonique de l'ensemble des polynômes elle fait intervenir aucun choix ?
(j'ai l'impression que c'est un sujet sur lequel on peut troller à l'infini)

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leon1789
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par leon1789 » 29 Nov 2012, 00:16

Judoboy a écrit:Donc la base canonique de l'ensemble des polynômes elle fait intervenir aucun choix ?
(j'ai l'impression que c'est un sujet sur lequel on peut troller à l'infini)

C'est en effet la base naturelle donnée par la définition des polynômes.

Judoboy
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par Judoboy » 29 Nov 2012, 00:21

leon1789 a écrit:C'est en effet la base naturelle donnée par la définition des polynômes.

Y a une notion de "donnée" qui est quand même subjective non ?

La seule définition de "canonique" qui me parle c'est "donné par le bon Dieu". J'aime beaucoup. A part ça une définition rigoureuse et totalement objective...

 

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