Question

[Ben314]

Ce que tu ne veux pas comprendre, Ben314, c'est que pour l'homme de la rue, le lycéen, et les gens comme moi qui n'ont qu'un niveau Capes en mathématiques, l'infiniment petit et l'infiniment grand ont une signification : aussi petit que l'on veut, aussi grand que l'on veut. Ceci une REALITE.

Exactement de la même façon, "l'homme de la rue" (et, hélas, beaucoup de Lycéens...) dit que "il fait passer le 2 de l'autre coté" lorsqu'il écrit que 3x-2=0 => 3x=2. Et je pense qu'en temps que Capesien, tu connait aussi bien que moi les conséquence désastreuses de cette façon d'exprimer les choses.
Pour moi, parler d'infiniment petits (ou grand) a des pré-bac (voire à des "petits" post-bac), c'est tout aussi désastreux. Et je reste persuadé que, exactement comme d'utiliser l'expression "faire passer", tu n'y gagne absolument rien en terme de "facilité à exprimer les concepts/résultat".
Par exemple, de voir (ne serait ce qu'un tout petit peu) la limite d'une suite comme étant (plus ou moins) la valeur de la suite pour un n infiniment grand, ça va fortement inciter les élèves à écrire des débilités du style

(pourquoi un "infiniment grand" n'aurait-il pas lui aussi le droit d'être soit pair, soit impair ?)

Et que pour toi, qui est (a été) prof à l'Université, avec tout le respect que je te dois, ces mots signifient une autre REALITE, celle utilisée par Newton-Leibniz, qui, parce qu'elle a mené à des contradictions, des erreurs (je veux bien te croire, mais je voudrais bien savoir lesquelles), n'existe pas en mathématiques.

Leibnitz/Newton, ils écrivaient (avec les notations pourries de l'époque)
Et le problème il "saute aux yeux" : la première expression n'a de sens que pour dx non nul alors que la dernière égalité n'est vrai que pour dx=0. Donc il a fallut "inventer" un concept d'un truc qui soit en même temps nul et non nul (en fait, le point de vu a été de le voir comme "infiniment petit" qui est des fois nul et des fois non nul en fonction du contexte de façon d'éviter l'absurdité monumentale consistant à dire qu'il est les deux en même temps)
Évidement, pour "lever le problème", on peut décider que le dernière égalité est un "à peu prés égal", sauf que
- Il faudrait évidement définir ce que l'on entend par là (ça sent très fort le "mordage de queue"...)
- Ça conduirait à dire que, par exemple la pente de la tangente en 0 est "à peu prés nulle", or il me semble que tu as toi même reconnu que ce n'était vraiment pas malin...
Et je te le redit (pour la 10em fois il me semble) : "l'affaire" n'a pas été simple : il a fallu quasiment 200 ans de cogitations d'esprit dont certains très brillants pour arriver à enlever ces contradiction flagrantes des mathématiques et la solution de loin la plus simple (*) qu'on a trouvé pour les virer, c'est celle de Cauchy-Weierstrass.

Parce que pour l'homme de la rue, le contraire de l'infini, c'est fini, et que pour lui, les nombres ne sont pas "finis", il n'y en a pas un plus grand et un plus petit, donc ils sont "infinis".

Déjà, j'aurais tendance à penser que "l'homme de la rue", il ferait mieux de pas trop se mêler de mathématiques compliquéees pour éviter de dire d'énormes connerie.
Un truc qui me semble complètement évident, par exemple, c'est que l'infini, dans le monde "concret", ça a pas trop de sens donc que c'est forcément une "vue de l'esprit" sur laquelle on ne risque pas de faire des expériences "pratique" (comme en physique) pour voir si "ça colle" où si "ça colle pas". Et très souvent, "l'homme de la rue", il se rend absolument pas compte que, dans ce contexte (rien de concret pour "vérifier"), il faut une définition extrêmement rigoureuse du truc en question vu qu'on va pouvoir travailler qu'avec ça.
Tout ça pour (rere)dire que, avec les travaux de Cantor sur "l'infini actuel", on y a beaucoup gagné concernant les "vraies mathématiques" (i.e. celles faites par ceux qui savent de quoi ils parlent), mais ça a été catastrophique pour le "monsieur tout le monde" (par exemple le Lycéen de base...) qui s'est mis a penser que l'infini c'était un truc "simple" qu'il pouvait tout à fait comprendre.
Pour te donner un exemple de, historiquement parlant (i.e. avant Cantor) comment on voyait les choses, Euclide n'écrit jamais qu'une droite est infinie (ni qu'elle contient une infinité de points). Il écrit uniquement "qu'on peut la prolonger autant que nécessaire" (qui est ce qu'on appelle un "infini potentiel" exactement du même type que "je peut trouver un nombre toujours plus grand").
Pourquoi Euclide fait ça ?
- Parce que ça suffit pour faire des maths (en l'occurrence de la géométrie).
- Parce que ça permet d'éviter de parler d'infini "actuel" qui (on le sait déjà à l'époque) conduit rapidement à des paradoxes/contradictions.

De toute façon, je pense que l'infini est une notion qui nous dépasse, pour le pauvre être humain borné et limité que nous sommes. Il me semble que nous entrevoyons un concept qui existe, mais que nous ne comprenons pas (pas de chance).

Tout a fait d'accord dans le sens que pour "l'homme de la rue", c'est pas vraiment un truc "appréhendable" (en tout cas pas dans le sens "infini actuel")
Et si tu trouve que "je chipote" en différenciant les notion d'infini "actuel" et d'infini "potentiel", je te renvoie sur le post. de Robot qui pointe précisément du doigt que, pour passer de l'un à l'autre, il faut intervertir deux quantificateurs ce qui change complètement le sens (chose pas toujours forcément bien comprise par "monsieur tout le monde"...)

PS : pour mettre encore un peu d'huile sur le feu, je lis encore dans le Dixmier :
"Rappelons que f(x) est dit un infiniment petit quand x-> xo, si f(x) ->0 quand x->xo".
D'ailleurs, au vu des définitions des livres, f(x) ou f=o(1) signifie que f est un infiniment petit d'ordre n , ou infiniment petite par rapport à 1 (ou négligeable par rapport à 1), si f(x)->0 quand x->0.

Oui, mais de nouveau, on parle de fonction et pas de réel, et, comme l'ont déjà dit Sylviel et Robot, tu trouvera pas mal de personne (dont moi) pour critiquer l'utilisation de ce type de vocabulaire et en préférer d'autres ("petit o", "négligeable", "équivalent à", etc...) ne contenant pas le mot "tabou" infini.

(*) Ce n'est là que mon avis : je fait parti de ceux qui ne pense pas que, par exemple, l'analyse non standard soit "plus simple".

[JaCQZz]

Pour illustrer mon propos, voici un exemple du même genre que cette discussion sur l'infiniment petit.

Quand on veut éviter d'aborder des notions abstraites, on revient aux équivalents et aux notations de Landau (f(x) = O(g(x)) ou de Vinogradov (f(x)<< g(x)) qui reviennent à dominer f par g si : ∃ M ∃ C : ∀ x > M, f(x) ≤ C| g(x)|
Des enfants de dix ans ou moins à qui on demande quel nombre, au carré, donnera : -1, diront qu'il n'existe pas.
Certains savent même qu'un produit d'entiers négatifs est positif. Alors, quand on leur dit qu'il s'agit de nombre inventé que l'on appelle imaginaire, ils disent que c'est évident pour eux et qu'on aurait dû les laisser les utiliser.

[Ben314]

Autre chose : il y a un tas d'imprécisions dans le langage mathématique dont on se contente (par exemple, la 1ère qui me vient à l'esprit : on a la même notation pour l'angle que pour la mesure de cet angle).

C'est là qu'il y a (et c'est normal) un "conflit de générations".
A mon époque, au Lycée, on ne risquait pas de tolérer qu'on "confonde" un angle (= classe d'équivalence de couples de vecteurs unitaires via une certaine relation) et sa mesure.
On utilisait pour désigner la mesure d'un angle (extrêmement mal définie au Lycée, même à l'époque, soit dit en passant...).
Si tu as passé le Capes, je pense (j'espère...) qu'on t'a expliqué la différence entre les deux et qu'on t'a expliqué comment on construit (via les série entières dans C permettant de construire le sinus et le cosinus) proprement la notion de mesure d'un angle.

Quand à savoir si c'est "bien" ou "pas bien" de mélanger allègrement les deux objets (angle et mesures) a l'heure actuelle au Lycée/Collège, je n'ai pas de réponse : ça complique beaucoup de les différencier, mais de ne pas le faire, ça va clairement dans le sens on mélange tout et n'importe quoi (par exemple... les fonction et les réels...)
Mais dans le cas des infiniment petits, je reste catégorique : ça n'apporte rien (ce n'est pas du tout plus simple de voir les choses sous cet angle là) et ça incite plus que fortement à écrire d'énormes conneries.

[JaCQZz]

Les fonctions trigonométriques se développent à partir des séries entières. Les mesures d'angles font appel aux transformations du plan . La mesure d'un angle orienté de vecteurs du plan orienté est donnée par la matrice T : (*): (*) le programme de l'après-bac à ce jour pour l'algèbre.
Les collégiens voient qu'une mesure d'angle se fait au rapporteur et qu'on l'assimile à l'angle :

[Pseuda]

Leibnitz/Newton, ils écrivaient (avec les notations pourries de l'époque)
Et le problème il "saute aux yeux" : la première expression n'a de sens que pour dx non nul alors que la dernière égalité n'est vrai que pour dx=0. Donc il a fallut "inventer" un concept d'un truc qui soit en même temps nul et non nul (en fait, le point de vu a été de le voir comme "infiniment petit" qui est des fois nul et des fois non nul en fonction du contexte de façon d'éviter l'absurdité monumentale consistant à dire qu'il est les deux en même temps)
Évidement, pour "lever le problème", on peut décider que le dernière égalité est un "à peu prés égal", sauf que
- Il faudrait évidement définir ce que l'on entend par là (ça sent très fort le "mordage de queue"...)
- Ça conduirait à dire que, par exemple la pente de la tangente en 0 est "à peu prés nulle", or il me semble que tu as toi même reconnu que ce n'était vraiment pas malin...

Bonjour,

Newton/Leibniz, il écrivaient cela comme ça : ? Sans parler de limite ? Ils supposaient dans leur tête que le dx de la 1ère égalité était 0, presque égal à 0, en tout cas très petit, puis ils faisaient tendre (toujours dans leur tête) le dx vers 0 dans leur 2ème égalité, et ils obtenaient le résultat ?

Dans ce cas, je ne vois pas trop la différence avec notre lim (quand h->0) de (on calcule la limite pour h->0, h0, et on obtient le même résultat.

Je veux bien croire que cela devait aboutir à des absurdités. Ils appelaient cela (le dx) un infiniment petit ? Mais le rapport avec l'éradication de l'infiniment petit et grand dans le vocabulaire est pure forme alors (parce qu'il a été associé à ce dx que l'on faisait tendre vers 0 ou non, comme cela les arrangeait, et qui induisait en erreur).

Et je te le redit (pour la 10em fois il me semble) : "l'affaire" n'a pas été simple : il a fallu quasiment 200 ans de cogitations d'esprit dont certains très brillants pour arriver à enlever ces contradiction flagrantes des mathématiques et la solution de loin la plus simple (*) qu'on a trouvé pour les virer, c'est celle de Cauchy-Weierstrass.

Quand tu parles de l'analyse de Cauchy-Weierstrass, c'est bien celle qui commence par la construction des nombres réels à partir de Q, puis on démontre : R a la propriété de la borne supérieure (=toute suite de Cauchy converge dans R = R est complet = axiome de Cantor =...) que ne possède pas Q, puis la topologie dans R, les voisinages, les limites... ?

Mais dans la construction des nombres réels à partir de suites de nombres rationnels, on fait tendre n vers +oo (on peut prendre n aussi grand que l'on veut, il faut déjà pouvoir le faire), puis les différences entre les termes d'une suite de Cauchy peuvent être aussi faibles que l'on veut (là aussi). Le fait que R soit archimédien me ferait plutôt penser le contraire de toi (on peut toujours trouver dans R un nombre aussi grand que l'on veut)..

Tout cela me paraît plus un problème de forme (on s'interdit de parler d'infiniment petit parce que cela renvoie à une appellation qui a mené à des contradictions), que de fond. Mais maintenant que tout cela est oublié, il faut continuer à bannir l'"infiniment petit" du vocabulaire ? Ou parce que ça continue à faire des contradictions si on en parle ? C'est cela que je ne comprends pas.

Est-ce que tu dis à tes étudiants capésiens : "je vous interdis d'employer ce mot-là", "croyez-moi sur paroles, il ne faut pas", "documentez-vous" ? Où est la pédagogie là-dedans ? Perso, je n'avais jamais entendu parler de cela avant.

[Ben314]

Newton/Leibniz, il écrivaient cela comme ça : ? Sans parler de limite ? Ils supposaient dans leur tête que le dx de la 1ère égalité était 0, presque égal à 0, en tout cas très petit, puis ils faisaient tendre (toujours dans leur tête) le dx vers 0 dans leur 2ème égalité, et ils obtenaient le résultat ?

Ce qu'il faudrait que tu finisse par comprendre, c'est que, peut-être (j'en suis même pas sûr) que, dans leur tête, il faisaient plus ou moins "tendre dx vers 0", mais il ne risquaient pas de l'exprimer sous cette forme, et encore moins d'y voir quelque chose de rigoureux vu que la notion en question (i.e. celle de limite) n'a été inventé 200 ans plus tard !!!!
Dans exactement le même ordre d'idée, vers la même date (voire même plus tard), la notion de "fonction continue" c'était la même merde : on voyait bien qu'il y avait un truc à définir, mais comment le faire proprement ?
Il y a eu une époque (je peut te retrouver la date si ça t'amuse) où on pensait avoir une définition pas trop mal : une fonction continue, c'est (définition) une fonction qui vérifie le théorème des valeurs intermédiaires. Sauf que évidement, je sais plus qui à montré que ça donnait pas les résultats espérés cette définition là.
Enfin, bref, personne avant Cauchy et Weierstrass n'avait eu l'idée de définir la notion de limite qui permettrait de tout "codifier" correctement donc pour moi, ça veut clairement dire que, dans la tête de Newton et Leibnitz, c'est sûr et certain qu'ils ne voyaient pas le dx comme un truc qui tend vers 0 ("tendre vers" = 200 ans plus tard)

Sinon, concernant le fait que "on s'en fout vu qu'on obtient le même résultat", je sais pas si tu fait parti des élèves qui sont déjà aller râler auprès du prof. qui a mis zéro à un exercice où tu as trouvé le bon résultat, mais si c'est le cas, tu n'a qu'a te rappeler ce que le prof t'a répondu puis te dire que je te répond la même chose (et sinon, tu essaye d'imaginer...)

Je veux bien croire que cela devait aboutir à des absurdités. Ils appelaient cela (le dx) un infiniment petit ? Mais le rapport avec l'éradication de l'infiniment petit et grand dans le vocabulaire est pure forme alors (parce qu'il a été associé à ce dx que l'on faisait tendre vers 0 ou non, comme cela les arrangeait, et qui induisait en erreur).

Parce que toi, quand on te dit qu'un truc est à la fois nul et non nul, tout ce que tu en déduit, "tu veut bien croire que ça devait aboutir a des absurdités" !!!!!
Perso, je vois pas bien comment on peut avoir un truc plus absurde que ça.
Et ils appelaient ça pudiquement "un infiniment petit" parce que c'est ce qu'ils avaient trouvé de moins con comme mot français pour désigner un truc a la fois nul et non nul, absolument pas parce qu'il le voyaient (vision moderne du truc) comme une quantité variable qu'on faisait tendre vers 0. S'il avaient eu cette vision là du truc, je suis a peu prés certain qu'il leur aurait pas fallu longtemps pour trouver ce qui a été trouvé 200 ans plus tard (c'était pas des abrutis ces deux là).

Quand tu parles de l'analyse de Cauchy-Weierstrass, c'est bien...

Non, je parle quasi uniquement de l'idée lumineuse consistant a baser toute l'analyse sur la notion de "tendre vers" (i.e. la notion de limite) et de donner une définition rigoureuse à cette expression "tendre vers" (définitions avec des ). Le reste, à mon sens, ça a servi à montrer la puissance de cette définition qui permettait non seulement de définir rigoureusement ce qu'est une fonction continue et une dérivée, mais aussi de construire le corps des réel avec lequel on "travaillait" sans en avoir (de nouveau) de définition rigoureuse (ce qui a, en particulier, permis de vérifier très rigoureusement que, dans R, ou en tout cas dans ce R là, il n'y a pas plus d'infiniment petit que de beurre en branche...)

Le fait que R soit archimédien me ferait plutôt penser le contraire de toi (on peut toujours trouver dans R un nombre aussi grand que l'on veut)..

C'est une grossière erreur de logique. : relit le post de robot (3em édition et visiblement... pas la dernière...)

Tout cela me paraît plus un problème de forme (on s'interdit de parler d'infiniment petit parce que cela renvoie à une appellation qui a mené à des contradictions), que de fond. Mais maintenant que tout cela est oublié, il faut continuer à bannir l'"infiniment petit" du vocabulaire ? Ou parce que ça continue à faire des contradictions si on en parle ? C'est cela que je ne comprends pas.

On s'interdit de parler d'un truc parce que ça amène à des contradiction (exactement de la même façon que l'ensemble des ensembles), c'est pas vraiment ça que j'appellerais un problème "de forme", mais plutôt et très franchement un problème "de fond".
Et concernant le "est-ce que aujourd'hui ça amène à des contradiction", on en a déjà (longuement) parlé :
1) Soit tu voit le dx comme un réel et immédiatement, c'est contradictoire (avec le fait que R est Archimédien par exemple)
2) Soit tu le voit comme une fonction qui tend vers 0 lorsque x tend vers 0 (au sens de Cauchy du mot "tendre vers") et
- Tu embrouille le client vu que pour le "commun des mortels" (comme tu dit), l'expression "un infiniment petit", ça donne pas trop l'impression qu'on parle d'une fonction.
- A part perdre du temps en pérégrination, tu y gagne absolument que dalle vu qu'il faut quand même que tu ait précédemment donné la définition de "tendre vers" (au sens de Cauchy) pour pouvoir donner la définition soulignée ci dessus.
- Tu va clairement inciter moultes étudiant a écrire le type ânerie dont je parle dans le post précédent.
- Et d'un autre coté, bien qu'ayant lu tout tes post., j'ai toujours pas compris où est-ce qu'on y gagnerais quoi que ce soit.

Est-ce que tu dis à tes étudiants capésiens : "je vous interdis d'employer ce mot-là".

Jusque là, je n'ai jamais eu à le faire. Je pense qu'ils sont tous bien conscient que s'ils sortent un truc de ce style à l'oral du Capes, c'est le zéro assuré, mais je leur demanderais pour voir ce qu'ils en pensent.
Et si je devais en parler, ça ne serait surement pas pour dire que "c'est comme ça parce que je le veut" et ça me prendrait pas 3 plombes, je leur signalerais uniquement que c'est en contradiction avec l'axiome d'Archimède, point final (et éventuellement, s'il y en a un qui me sort que le dx il le voit comme une fonction, je lui demanderais "à quoi ça te sert ?")

[Pseuda]

Newton/Leibniz, il écrivaient cela comme ça : ? Sans parler de limite ? Ils supposaient dans leur tête que le dx de la 1ère égalité était 0, presque égal à 0, en tout cas très petit, puis ils faisaient tendre (toujours dans leur tête) le dx vers 0 dans leur 2ème égalité, et ils obtenaient le résultat ?

Ce qu'il faudrait que tu finisse par comprendre, c'est que, peut-être (j'en suis même pas sûr) que, dans leur tête, il faisaient plus ou moins "tendre dx vers 0", mais il ne risquaient pas de l'exprimer sous cette forme, et encore moins d'y voir quelque chose de rigoureux vu que la notion en question (i.e. celle de limite) n'a été inventé 200 ans plus tard !!!!

Enfin, bref, personne avant Cauchy et Weierstrass n'avait eu l'idée de définir la notion de limite qui permettrait de tout "codifier" correctement donc pour moi, ça veut clairement dire que, dans la tête de Newton et Leibnitz, c'est sûr et certain qu'ils ne voyaient pas le dx comme un truc qui tend vers 0 ("tendre vers" = 200 ans plus tard)

Et ils appelaient ça pudiquement "un infiniment petit" parce que c'est ce qu'ils avaient trouvé de moins con comme mot français pour désigner un truc a la fois nul et non nul, absolument pas parce qu'il le voyaient (vision moderne du truc) comme une quantité variable qu'on faisait tendre vers 0. S'il avaient eu cette vision là du truc, je suis a peu prés certain qu'il leur aurait pas fallu longtemps pour trouver ce qui a été trouvé 200 ans plus tard (c'était pas des abrutis ces deux là).

Bonjour,

Je crois qu'on va avoir du mal à se comprendre en effet. Je ne répondrai pas sur tout, je n'ai pas le temps malheureusement.

Résumons-nous. Dans mon sentiment,
"infiniment petit" = "aussi petit que l'on veut (0 exclu)" = "qui tend vers 0" = "quelque soit >0, ... peut être rendu < à partir d'un certain rang (j'abrège)".
"infiniment grand" = "aussi grand que l'on veut (+oo exclu)" = "qui tend vers +oo" = "quelque soit A, ... peut être rendu >A à partir d'un certain rang (j'abrège)".

Ce n'est pas jouer sur les mots, c'est être précis (indispensable en mathématiques). Et quel serait l'avantage de dire " est infiniment petit" plutôt que " a une limite nulle" ?

(j'ai corrigé le en ). Je pense que Robot a mis le doigt sur le coeur du problème : à quoi ça sert d'avoir 2 appellations qui signifient la même chose (infiniment petit, et, qui tend vers 0) ?
Je répondrai que c'est plus joli et parfois plus aisé (attention à la levée de boucliers.... ). Il est plus imagé de dire que "f est infiniment petite par rapport à g" que de dire "le rapport f/g tend vers 0",. Et d'ailleurs c'est une définition qui existe en mathématiques (impossible à nier).

Je suis d'accord pour dire que "la fonction f est infiniment petite", cela ne veut rien dire en soi, il faut préciser "au voisinage de".

Dans cette notion, "infiniment", il y a une idée de dynamique (qui tend vers, on n'en voit pas le bout), par opposition à quelque chose de statique.

Dans N, il n'y a pas d'infiniment petit, il y a un nombre plus petit que les autres (0 exclu), c'est 1. Ce plus petit nombre n'existe pas dans R.

Enfin je crois que je commence à comprendre là où est ma confusion. J'ai d'abord cru que l'on ne parlait pas d'infiniment petit parce qu'avec la topologie et les voisinages, on ramenait les propriétés sur les limites à des considérations d'appartenance à des ensembles, et que 'l"infiniment petit" avait été viré par la topologie. Or la topologie a succédé à Cauchy, donc ce n'est pas ça du tout le propos de Ben314.... Ouf......... !!!!!

Mais "une variable que l'on fait tendre vers 0", c'est une variable "infiniment petite", comme le dx, (c'est imagé) c'est une variable infiniment petite au voisinage de 0 (cela me semble être une vérité de La Palisse).

Je suis contre trop de formalisme (mais pas contre la rigueur, ....). En effet, je suis tombée une fois sur un livre de maths (de mémoire Arnaudiès & Fraysse), tout était formalisé, dans sa moindre expression. Illisible, pratiquement incompréhensible..... je déconseille à ceux qui veulent comprendre.

En conclusion, pour moi, dire que l'"infiniment petit" n'existe pas en mathématiques, c'est comme de dire que l'opération "addition" n'existe pas en mathématiques.

Je crois que l'on ne peut pas se comprendre en effet.

[Robot]

Mais "une variable que l'on fait tendre vers 0", c'est une variable "infiniment petite", comme le dx, (c'est imagé) c'est une variable infiniment petite au voisinage de 0 (cela me semble être une vérité de La Palisse).

Ce n'est pas une vérité de La Palisse, c'est du gloubi-boulga qui n'a aucune place dans un texte mathématique.

[Pseuda]

Mais "une variable que l'on fait tendre vers 0", c'est une variable "infiniment petite", comme le dx, (c'est imagé) c'est une variable infiniment petite au voisinage de 0 (cela me semble être une vérité de La Palisse).

Ce n'est pas une vérité de La Palisse, c'est du gloubi-boulga qui n'a aucune place dans un texte mathématique.

Est-ce que tu enseignes à des collégiens et des lycéens ? Des fois, le gloubi-boulga comme tu l'appelles, vaut 3 tonnes de discours. Ce qui compte, c'est de comprendre, et de faire comprendre......

[Robot]

Je ne vois pas comment on fera mieux comprendre en racontant des trucs qui n'ont pas de sens, du genre "variable infiniment petite au voisinage de 0".

[Pseuda]

C'est pourquoi je dis que c'est une vérité de La Palisse . Bon, il suffit d'interroger internet pour voir que cette question revient souvent :

lycee/que-signifie-dans-une-integrale-t28063.html

Je comptabilise dans ce post 6 définitions différentes du dx.

Et aussi :

http://www.les-mathematiques.net/phorum ... 677,328726

[Ben314]

Là, j'aurais tendance à te répondre très exactement la même chose que ton laïus concernant "monsieur tout le monde qui croit qu'il y a des infinitésimaux dans R", à savoir que, si pour toi le fait de trouver des proses sur le net (1) utilisant telle ou telle expression a une quelconque valeur de "preuve", alors ce n'est absolument pas surprenant que nos conclusions divergent.

Et, sinon, concernant des truc de ce style :

Il est plus imagé de dire que "f est infiniment petite par rapport à g" que de dire "le rapport f/g tend vers 0",. Et d'ailleurs c'est une définition qui existe en mathématiques (impossible à nier).

J'en ait très très très exactement la même opinion que si tu me disait que de dire qu'on "fait passer le 2 de l'autre coté" quand on passe de x+2=3 à x=3-2 est "plus imagé" que de dire "qu'on retranche 2 des deux cotés".
Enfin, bref, les "images", quand elle ne correspondent pas du tout à la réalité mathématique, a mon sens, il faut s'abstenir.

Et je rajouterais que, quand tu vois le mal que tu as en post-bac, à faire comprendre que "f est équivalente à g au voisinage de xo" (2), ça veut dire que f/g tend vers 1 et absolument rien d'autre de "magique" ou de "mystérieux" (ça je pense que 100% de ceux qui ont eu à enseigner cette notion te le confirmerons) j'ose pas imaginer ce que ça serait si qui que ce soit avait laissé penser aux étudiant à un moment donné qu'il y avait "derrière" la notion de limite des "infiniment petits" ou des trucs du même tonneau : pour les embrouiller, j'aurais pas mieux.

(1) En particulier dans des Forum: va jeter un coup d'œil aux pdf de "matheux philosophe", juste pour voir : le seul terme qui me vient à l'esprit, c'est du "gloubi-boulga" comme dit Robot (et encore...)

(2) Par exemple, je suis persuadé que, si au lieu de dire que "f est équivalente à g" qui utilise le mot "équivalente" qui a déjà un sens (pas clair du tout) dans le langage courant on avait choisi de dire que "f est schprountz par rapport à g" ou n'importe quel terme n'utilisant pas de mot "naïf", il y aurais (un tout petit peu) moins d'erreur concernant cette notion. Une fois la notion correctement acquise, tu pourrait bien évidement utiliser le terme "d'équivalent", exactement de la même façon que, une fois que tu es certain d'avoir en face de toi quelqu'un qui résous les équation du 1er degré sans problème, tu peut te permettre de "faire passer" des truc d'un coté à l'autre d'une équation.

Enfin, bref, tu fait absolument comme tu veut avec tes élèves et on se revoit dans une dizaine d'année pour voir, expérience à l'appui, si tes élèves écrivent moins de connerie que les autres, mais j'ai ma propre conviction sur le sujet.

[Pseuda]

J'en ait très très très exactement la même opinion que si tu me disait que de dire qu'on "fait passer le 2 de l'autre coté" quand on passe de x+2=3 à x=3-2 est "plus imagé" que de dire "qu'on retranche 2 des deux cotés".
Enfin, bref, les "images", quand elle ne correspondent pas du tout à la réalité mathématique, a mon sens, il faut s'abstenir.

Eh bien justement... En 4ème, 3ème, on explique ce que l'on fait (on retranche des 2 côtés). A partir de la 2nde, 1ère, (une fois qu'ils ont compris et que cela ne leur pose plus aucun problème), c'est beaucoup plus simple pour tout le monde, de dire "on fait passer de l'autre côté".

Ce qui compte c'est de comprendre et de faire comprendre, c'est souvent beaucoup plus dur que de faire une belle démonstration avec des x et des y.

[Ben314]

A partir de la 2nde, 1ère, (une fois qu'ils ont compris et que cela ne leur pose plus aucun problème), c'est beaucoup plus simple pour tout le monde, de dire "on fait passer de l'autre côté"

Tu devrais un peu plus souvent aller sur le forum Lycée (voire même dans "supérieur")...

De plus, a mon sens, ça ne va absolument pas dans le même sens que le reste de ta prose vu que ça semble dire que une fois que la notion de limite est parfaitement comprise, tu trouverais ça pas con de changer le vocabulaire pour te mettre à parler d'infiniment petit.
C'est pas justement le contraire que tu proposait ?

Sinon, le but de la pédagogie, c'est effectivement de "faire comprendre" les notions, mais c'est quand même mieux si ce "qu'on fait comprendre", c'est bien la notion en question et pas autre chose...

[Pseuda]

Là, j'aurais tendance à te répondre très exactement la même chose que ton laïus concernant "monsieur tout le monde qui croit qu'il y a des infinitésimaux dans R", à savoir que, si pour toi le fait de trouver des proses sur le net (1) utilisant telle ou telle expression a une quelconque valeur de "preuve", alors ce n'est absolument pas surprenant que nos conclusions divergent.

Au moins sur ce point-là tu m'as convaincue.

[syrac]

De toute façon, je pense que l'infini est une notion qui nous dépasse, pour le pauvre être humain borné et limité que nous sommes. Il me semble que nous entrevoyons un concept qui existe, mais que nous ne comprenons pas (pas de chance).

Sans référence aucune aux mathématiques, et en prenant le risque d'être hors sujet, je pense qu'il existe une analogie entre infini et éternité. Il est tout aussi difficile d'appréhender intellectuellement l'un que l'autre. Pour reprendre la définition du dictionnaire, l'éternité est une durée avec ou sans commencement et aucune fin. Dire que les nombres négatifs s'étendent à l'infini pourrait être comparé à un passé qui n'a jamais eu de commencement, les nombres strictement positifs étant assimilables à un futur sans fin (infini) et 0 à l'instant présent.

Or, Eckhart Tolle donne une définition de l'éternité qui rend celle-ci compréhensible : c'est l'éternel instant présent. Le temps est une construction mentale fondée sur la mémoire : le passé existe parce que je connais l'histoire de l'humanité, ou ne serait-ce que la mienne, et le futur est une continuation du passé (la preuve en est qu'il est impossible d'imaginer un futur qui ne soit pas composé de ce qu'on connaît déjà, individuellement ou collectivement, connu susceptible bien sûr d'avoir évolué). Dans le concept d' "éternel instant présent" le temps est aboli (mais pas celui de l'horloge, bien sûr), si bien que l'éternité cesse d'être une durée. La durée est une représentation mentale du temps ; sans elle le temps n'existe pas et il ne reste que le moment présent, qui ne peut pas avoir de fin puisqu'il ne dure pas.

Le même processus mental intervient lorsqu'on tente de se représenter l'infini, un univers infini par exemple, sauf qu'en lieu et place de durée il est maintenant question de distance.

Je pense qu'on ne devrait jamais se dissocier de ce qu'on a construit au point d'en faire une entité indépendante de notre intellect.

[Pseuda]

Sans référence aucune aux mathématiques, et en prenant le risque d'être hors sujet, je pense qu'il existe une analogie entre infini et éternité. Il est tout aussi difficile d'appréhender intellectuellement l'un que l'autre. Pour reprendre la définition du dictionnaire, l'éternité est une durée avec ou sans commencement et aucune fin. Dire que les nombres négatifs s'étendent à l'infini pourrait être comparé à un passé qui n'a jamais eu de commencement, les nombres strictement positifs étant assimilables à un futur sans fin (infini) et 0 à l'instant présent.

Absolument d'accord avec toi. L'infini du temps et l'infini de l'espace me paraissent aussi incompréhensibles l'un que l'autre, bien que la science dit que le temps aurait eu un commencement. Mais qu'est-ce qu'il y avait avant ? Il me semble que nous ne pouvons pas comprendre, et que la science (qui nous a fait comprendre énormément de choses) ne pourra jamais répondre à cette question. C'est comme s'il nous manquait une case.

Encore que c'est peut-être nous qui créons l'infini dans notre imaginaire (comme tout le reste d'ailleurs). Comme dans le paradoxe de la flèche de Zénon d'Elée, c'est nous-même qui avons décidé de diviser indéfiniment la distance restant à parcourir, et après on s'étonne que la flèche n'atteigne pas son but. (on crée les conditions de notre propre paradoxe).

Qui nous dit qu'il n'existe pas d'autres mondes ailleurs ou dans un autre temps ? ou une infinité de mondes ? Et surtout surtout, pourquoi y-a-t-il quelque chose, et pourquoi n'y a-t-il pas RIEN ?

[syrac]

Encore que c'est peut-être nous qui créons l'infini dans notre imaginaire (comme tout le reste d'ailleurs). Comme dans le paradoxe de la flèche de Zénon d'Elée, c'est nous-même qui avons décidé de diviser indéfiniment la distance restant à parcourir, et après on s'étonne que la flèche n'atteigne pas son but. (on crée les conditions de notre propre paradoxe).

Disons que notre science est inféodée à nos capacités cognitives, ce qui fait que de toute évidence on ne peut pas inventer ce qu'on n'est pas capable de concevoir intellectuellement.

Le temps en est un bon exemple. Prenons le cas d'un homme (ou d'une femme) dont toute la conscience serait concentrée sur l'instant présent, et pour qui le temps n'existerait donc pas (ou se résumerait à l'heure qu'il est). Si cet homme était Einstein, aurait-il inventé l'espace-temps ? Pour ma part je pense que non. Alors quelle conception aurait-il eue d'un univers dans lequel le temps n'existe pas, quelle cosmologie aurait-il inventée ? Il est évidemment impossible de le savoir, et de toute façon nous ne la comprendrions pas, sauf si nous-mêmes n'étions pas soumis au temps, si nous ne le créions pas.

Nous serions plutôt tentés de quantifier l'instant présent et dire par exemple qu'il correspond à une micro, voire une nano seconde. Mais ce faisant nous réintroduirions le temps là où il avait cessé d'exister, ce qui nous interdirait de comprendre ce que peut représenter son absence et d'entrevoir toutes les possibilités que ça ouvre.

[Dzp]

Bonsoir,
Je lis ce sujet soigneusement. Ce qui a attiré mon attention est qu'il ne semble pas exister de "vérité" dans les mathématique, au moins dans ce qui semble être les définitions de base. J'ai remarqué au passage certaines bizarreries concernant des "dates de mise au point de notions".
Là, je me demande si je sujet n'est pas entrain de dévier sérieusement vers la philosophie. je trouverais cela dommage.
En matière de science, il y a les sciences expérimentales sujettes à discussion dues aux hypothèses adoptées et concernant les expériences dont il s'agit.
Em mathématique, il me semble qu'on se situe à un autre niveau. Il ne s'agit que de postulats, théorèmes, démonstrations etc., alors pour s'entendre, il me semble qu'il faudrait commencer par fixer les termes employés et surtout se mettre d'accord sur les définitions.
Bonne soirée.

[Sylviel]

Si si il y a une vérité en mathématique : un théorème est vrai ou faux. Par contre parmis les hypothèses du théorème il faudrait (et c'est souvent non mentionné) préciser les axiomes que l'ont choisit.

En revanche dans la littérature mathématique les définitions et notations ne sont pas toujours les mêmes d'un auteur à un autre... Surtout pour les notions les plus récentes. L'unification des définitions ne se fait généralement qu'une fois qu'un domaine est mature et que l'on comprends mieux quelle définition est la plus efficace. Plus on s'approche des frontières de la connaissance plus les mêmes mots sont mis sur des définitions légèrement différentes (exemple : j'ai vu au moins une vingtaine de sous-différentiel différents...).

En revanche dans la discussion ci-dessus personne ne remet en question des axiomes ou des théorèmes. Il est surtout question de pédagogie et d'utilisation de terme. Il est clair pour tous qu'il n'existe pas "un réel infiniment petit" ou "un entier infiniement grand", ou que le dx de l'intégrale soit "un infiniement petit".
Pseuda argue que l'on peut mieux faire comprendre les notions en expliquant aux élève que dx est un infiniement petit tout en sachant que la réalité mathématique dérrière est plus complexe.

Quant aux remarques sur la mise en place des notions, il faut attendre globalement l'époque Bourbaki (Kolmogorov pour les probas) pour voir un effort de construction rigoureuse et systématique de l'ensemble des mathématiques. Et voir un certain nombre de définition ne plus être remise en question et donc partagées par l'ensemble des praticiens du domaine (côté proba: probabilité, variable aléatoire, loi, espérance, variance, densité, fonction de répartition, convergence en proba, en loi, presque sure, estimateur, maximum de vraisemblance...).