Question de sémantique

[Skullkid]

Pour moi un tenseur ça désigne plutôt une application multilinéaire, qu'on peut représenter par un tableau à n dimensions. Plusieurs matrices peuvent représenter la même application linéaire selon les bases qu'on se donne, et plusieurs tableaux à n dimensions peuvent représenter le même tenseur selon les bases qu'on se donne.

Et je rejoins ce qui a été dit par Luc, la définition d'une matrice c'est un tableau de nombres à deux dimensions. Mais c'est courant d'appeler aussi "matrices" (parfois en mettant un épithète genre "matrices cubiques" pour 3 dimensions) les tableaux à davantage de dimensions, et personne ne s'en offusque. Personne n'a jamais défini une matrice comme étant "ce qui représente une application linéaire", tout simplement parce que ça ne fait aucun sens en tant que définition (la définition d'une matrice en tant que tableau de nombres date au moins de 1860). Les termes n'ont pas changé dans ce domaine, et on utilise aussi les matrices pour représenter des objets qui n'ont rien à voir avec l'algèbre linéaire (graphes, permutations, ...).

Un hypercube c'est un objet géométrique, mais ça ne me choquerait pas de voir quelqu'un appeler un tableau de nombres à 4 dimensions "matrice 4-hypercubique". Ce nom est moche mais on comprend bien ce qu'il veut dire.

[Luc]

Pour moi un tenseur ça désigne plutôt une application multilinéaire, qu'on peut représenter par un tableau à n dimensions. Plusieurs matrices peuvent représenter la même application linéaire selon les bases qu'on se donne, et plusieurs tableaux à n dimensions peuvent représenter le même tenseur selon les bases qu'on se donne.

Tout à fait. C'est ce que je voulais dire mais je n'arrivais pas à l'exprimer. Il y a donc entre tenseur et n-tableau la même différence de type qu'entre application linéaire et matrice.

[Dlzlogic]

Tiens Skullkid est revenu.
L'humour c'est bien en mathématiques, la moquerie c'est mal dans un forum.
Mais j'ai déjà dit que j'étais d'accord pour tout .. bizarre le post a disparu !
Salut les gens, moi, je vais essayer de rester positif.
Au passage, FE, tu me déçois un peu.
Y'en a tout de même un qui se débat avec ces notions et qui n'a pas de réponse ...

[fatal_error]

Je dirais plutôt que ça se rapproche des tenseurs.

pe bien, moi aussi, jpréfère tenseur, mais j'ai jamais entendu le terme de tenseur (sauf en meca, ce qui n'a rien à voir...ou une fois par qq1 qui faisait un truc compliqué)

matrice 3D ouais, sinon hypercube (en analyse de données).

Mais bon, si les gens disent tenseurs pourquoi pas, j'aurai l'air cool à dire tenseur. :lol3:

[Sylviel]

Bon je vais reprendre mon argumentation calmement.

Ecrire
a11 x1 + a12 x2 = b1
a21 x1 + a22 x2 = b2

Où
Ax= b
Avec A matrice 2x2, x et b deux vecteurs colonnes c'est exactement la même chose. C'est une notation plus synthétique dirons nous.

L'avantage de regarder cette forme c'est que de nombreuses propriétés du système linéaire ne dépendent que de la matrice A. Ainsi le travail fait sur la matrice (montrer qu'elle est inversible par exemple) est valable pour n'importe quelle valeur de b1 et b2. Alors que si on traite le système linéaire directement... on n'a traité qu'un cas particulier.

Sur l'inversion des lignes du systèmes certes cela ne change pas les solutions qu'on obtiendrais. Du point de vue matricielle cela ne change que le nom que l'on donne à chaque inconnu (en clair x2 pourrait s'appeler x3 après permutation de lignes...) donc pas beaucoup d'intérêt.

Comme dit à bien des reprises une matrice est un tableau de nombre (plus précisément une application de {1,..,n}x{1,..n} dans R, mais bref). Si on fixe des bases une matrice représente une application linéaire. Ainsi une matrice représente différentes applications linéaires (suivant les bases considérées), et une application linéaires peut-être représentée par différentes matrices. Ainsi "faire certaines manipulations" sur les matrices... changent la matrice.

Donc je ne mélange rien du tout en associant Système linéaire et matrice. Et tous les mathématiciens font de même. En revanche tu fais un mélange entre matrices et application linéaire... c'est lié mais ce n'est pas la même chose. Sinon ces notions sont au moins figées depuis Bourbaki (et je pense que cela date d'il y a plus longtemps). Donc je doute que "les termes ait changés".

Et finalement tu continues de dire et répéter qu'un système linéaire à pour but d'obtenir
y1= ... y2=... et je continue de te dire que c'est faux. On peut vouloir déterminer une surface, un sous espace etc... typiquement en diagonalisation. Un système linéaire a pour solution un sous-espace affine (éventuellement vide). S'il est réduit à un point c'est que le système n'admet qu'une seule solution, sinon l'ensemble des solutions peuvent être intéressante.

Prenons un exemple qui devrait te parler (non linéaire). Si h est la fonction qui a des coordonées (longitude latitude) donne l'altitude. L'équation h(x,y)=b est semblable à une équation linéaire, et ce n'est pas 1 point particulier qui t'intéresse, c'est toute la ligne de niveau...

P.S : tu as l'air de vouloir encore te braquer sur tes positions en étant certains d'avoir raison bien que l'ensemble des intervenants soit d'accord pour te montrer tes erreurs et incompréhension. Précisons tout de même qu'il s'agit de notion vue en sup, classe dans laquelle j'ai collé, donc je pense avoir compris les subtilités entre matrice, système linéaire, application linéaire etc... d'autant plus que tous les autres sont d'accord avec moi.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Le sujet a drôlement dérapé. Il portait sur le mot "indéterminé". Nightmare m'a répondu clairement, je n'ai pas compris pourquoi ça a continué, mais bref, tant pis.
Il y a longtemps que je sais qu'il y a une utilisation du terme générique "matrice", et qu'il fallait "voir le contexte" pour savoir ce dont on parlait. Donc, je me garde bien d'évoquer le sujet, je sais qu'il provoque une levée de boucliers.
Donc tout ceci étant dit j'accepte tout ce que vous voulez, tu penses bien que ça m'est complètement égal.

Pour répondre à Sylviel sur son exemple : h(x,y)=b que je préfère écrire sous la forme z=f(x,y). C'est la définition d'une surface (sujet déjà débattu à propos de définition de "surface"). Une courbe de niveau est une ligne (succession d'arcs). Comme en la matière on travaille en 2D, c'est une ligne qui aura une caractéristique : une altitude donnée, si on veut travailler en 3D (déconseillé mais courant) alors, tous les points de cette ligne auront le même Z.
Donc h(x,y)=b n'est pas une équation. Si la fonction h est connue alors c'est une formule, ou une relation que l'on écrira Z=f(x,y). Je ne vois pas la ressemblance avec une équation linéaire.
Géométriquement, c'est l'intersection d'un plan horizontal avec une surface z=f(x,y).
Sur ce point, je discuterai volontiers avec un topographe, mais même si tu n'es pas d'accord avec moi, j'ai raison.

J'ai lancé ma question sur l'indétermination, à propos de cet exo, posé dernièrement
Le question devait commencer par "résoudre suivant les valeurs "

du paramètre b.
2x+y -z +t=2
x+2y+z -t=0
x-y-2z+2t=2
2x+4y+2z-2t=b

Quelle pourrait être la correction ?

[Sylviel]

Exemple :
h(x,y)=x*y

x*y=3 est une équation à deux inconnues x et y, qui a pour solution l'hyperbole d'équation cartésienne
y = 3/x, ou d'équation paramétrique (t,3/t ; t \in R*).

Si tu cherches l'ensemble des points d'altitude donnée (0m par exemple, pour avoir la limite des océans) pour une fonction donnée tu as bien une équation non-linéaire.

Certes c'est l'intersection d'une surface avec un plan, et justement trouver les points de l'intersection c'est résoudre une équation...

[Dlzlogic]

Exemple :
h(x,y)=x*y

x*y=3 est une équation à deux inconnues x et y, qui a pour solution l'hyperbole d'équation cartésienne
y = 3/x, ou d'équation paramétrique (t,3/t ; t \in R*).

Si tu cherches l'ensemble des points d'altitude donnée (0m par exemple, pour avoir la limite des océans) pour une fonction donnée tu as bien une équation non-linéaire.

Certes c'est l'intersection d'une surface avec un plan, et justement trouver les points de l'intersection c'est résoudre une équation...

Bonjour Sylviel,
Ce n'est parce que une surface est écrite sous la forme z=f(x,y) que c'est ou que ce n'est pas une fonction linéaire.

J'avoue mal comprendre "chercher l'ensemble des points d'altitude donnée ...". C'est une opération qui ne se fait pas, en aucun cas, il n'y a pas "résoudre une équation", d'ailleurs il n'y a pas d'équation.
Manifestement tu souhaites savoir comment on trace des courbes de niveau dans le cas de terrain naturel.
D'abord, il faut faire un nivellement. Ce nivellement a une altitude de référence, Quelle que soit la méthode, cela revient à déterminer, pour quelque point que l'on veut, son altitude. On peut tout de même faire la distinction entre la méthode dite traditionnelle où on calcule pour un certain nombre de points, et en particulier les points caractéristiques, l'altitude, on aura un semi de points. La méthode plus moderne mais qui ne remplace la méthode traditionnelle que pour des levés par photo aérienne, lasergramétrie etc, consiste à créer un maillage carré régulier, chaque point aura une altitude.
L'opération "dessin des courbes de niveau" consiste à tracer la ligne qui, à l'estimation, joint les points à même altitude.

Il n'y a aucune équation dans cette opération.
Sur le plan mathématique, il y a tout de même 2 opérations qu'il faut être capable de réaliser
1- l'interpolation dans un triangle. Soit trois points connus en altitude, on admet qu'un point intérieur au triangle a une altitude telle que dans un espace 3D (en fait 2.5D en géométrie cotée) les 4 points soient coplanaires.
2- l'interpolation bilinéaire dans un quadrilatère. Cette question a été posée sur ce forum dernièrement, elle n'a pas eu, à mon avis, le succès qu'on pouvait en attendre.

Mais si ce problème t'intéresse je peux détailler las méthodes. Par exemple, on dit qu'un point a probablement l'altitude telle que les 4 points soient coplanaires. C'est une hypothèse tout à fait gratuite, il y a d'autre hypothèses qui peuvent être envisagées. Je peux aussi détailler la triangulation de Delaunay etc. Mais là, on est franchement hors sujet, il n'y a rien à voir avec l'indétermination, les équations.

Pour le niveau 0, on utilise les marégraphes. Il y en a 2 en France, un à Brest et un à Marseille. C'est effectivement cela qui donnait la référence zéro. Maintenant, c'est la gravimétrie.

Quand je parlais d'intersection d'une surface et d'un plan, il s'agissait de définition sur le point de vue géométrique. Il n'y a aucune équation dans cette opération.

Petite information complémentaire.
On détermine un certain nombre de points à l'altitude de la courbe que l'on veut dessiner, par interpolation. Là il y a effectivement une équation à résoudre, c'est une équation du 1er qui n'a jamais traumatisé personne. Là où le problème se complique : comment joindre ces points ? Certains éditeurs de logiciels ont utilisé des méthodes compliquées, courbes de Béziers de 3è ou 4è ordre. Cela conduit dans certains cas à des résultats assez surprenants. La méthode qui (me) semble la meilleurs est l'utilisation d'arcs de parabole.

[Sylviel]

Visiblement tu ne comprends pas ce que je veux dire. Je ne veux pas parler des méthodes pratique de calcul de courbe de niveau géographique. Je pars ici du principe que l'on connait la fonction f. Et j'essaie juste de te montrer que f(x)=3 est une équation, quelque soit f.

Exemples :
- si f(x,y)=x*y alors f(x,y)=3 a pour solution l'hyperbole donnée plus haut
- si f(x,y)=x+y alors f(x,y)=3 a pour solution la droite d'équation y = -x+3
- si f(x,y)=x²+y²+3 alors f(x,y)=3 a pour solution le point (x,y)=(0,0)

Que la fonction soit linéaire ou non trouver les points tel que f(x) ait une valeur donnée c'est chercher l'ensemble de niveau correspondant, et donc résoudre une équation. Que la solution soit unique ou non ne change pas le problème... Et il y a des cas pratique où on cherche bien à avoir un ensemble de solution, par exemple lorsque l'on veut les équipotentielle électrique pour déterminer les lignes de champs.

Ainsi dans le cadre d'un système linéaire il peut y avoir :
- aucune solution
- une solution unique
- un sous espace affine de solution

les trois cas peuvent présenter de l'intérêt. Et ce n'est pas parce qu'il y a une infinité de solution que pouvoir les caractériser est inutile, ou par extension que le système est inutile.

[Dlzlogic]

Oh, si je comprend très bien ce que tu veux dire. Tu as ramené le problème au courbes de niveau, j'ai répondu sur ce point.
Tu veux tout ramener à une notion unique qui tendrait à mettre sous un même vocable, plus ou moins directement fonction, équation, espace vectoriel, sous prétexte que si on ne garde que les paramètres et le signe égal, tout ressemble à la même chose. (c'est toi qui a employé le terme ressembler).
Etant donné des valeurs appelées "variables" on appelle fonction l'expression qu permet d'obtenir une valeur par une succession d'opérations faites en combinant variables et paramètres.
Une équation ou un système d'équation est un ensemble de relations qui permet de calculer la ou les inconnues. Il ne s'agit pas de variables mais d'inconnues que l'on cherche à calculer. Rien ne dit qu'il s'agit d'équations du premier degré, donc d'aspect linéaire (j'ai appris dernièrement qu'on appelait ça affine) est complètement indépendant. En général, on peut espérer qu'il y a une solution, ou un nombre limité dans le cas d'équation du type polynôme par exemple. Un tel système conduit, si tout se passe bien, à un système qui s'écria x=A; y=B; z=C; etc. puisque le but recherché c'est "résoudre une équation". Si ça ne se passe pas bien, soit le système est impossible : il n'y a pas de solution, soit le système est indéterminé, on ne peut donc par trouver la solution.
Un exemple simple est le système permettant de trouver les coordonnées du point d'intersection de 2 droites. Dans le cas général il y une solution, si les droites sont parallèles il n'y a pas de solution, on dit que le système est impossible, si les droites sont confondues, on dit (ou plutôt on disait) que le système est indéterminé.
Il est bien évident que la solution du système peut être l'ensemble des paramètres d'une fonction. Un exemple très classique est la résolution du système qui permet de définir une régression. Ca n'a strictement rien à voir avec le cas d'indétermination.
Naturellement la disposition des termes, chiffres et nombres ressemble à une matrice d'application linéaire, mais ça n'a aucun rapport.

[Dlzlogic]

La question reste posée :

J'ai lancé ma question sur l'indétermination, à propos de cet exo, posé dernièrement
Le question devait commencer par "résoudre suivant les valeurs "
Citation:
du paramètre b.
2x+y -z +t=2
x+2y+z -t=0
x-y-2z+2t=2
2x+4y+2z-2t=b

Quelle pourrait être la correction ?

[Sylviel]

Oh, si je comprend très bien ce que tu veux dire. Tu as ramené le problème au courbes de niveau, j'ai répondu sur ce point.

Non tu as répondu sur la manière pratique de calculer la hauteur d'un point. Moi je te parle de courbe de niveau au sens mathématiques.
Exemple :
soit la fonction f(x,y,z) = x²-y²+2z trouver l'ensemble des points de l'espace vérifiant
f(x,y,z)= 10.

Tu veux tout ramener à une notion unique qui tendrait à mettre sous un même vocable, plus ou moins directement fonction, équation, espace vectoriel, sous prétexte que si on ne garde que les paramètres et le signe égal, tout ressemble à la même chose. (c'est toi qui a employé le terme ressembler).

La seule fois où j'ai utiliser ressembler (si je ne m'abuse) c'est pour passer du linéaire au non-linéaire.
Et il est certains que toute équation peut se ramener à
" trouver x dans X tel que f(x)=0", il suffit de définir X et f de manière adéquate.

Etant donné des valeurs appelées "variables" on appelle fonction l'expression qu permet d'obtenir une valeur par une succession d'opérations faites en combinant variables et paramètres.
Une équation ou un système d'équation est un ensemble de relations qui permet de calculer la ou les inconnues. Il ne s'agit pas de variables mais d'inconnues que l'on cherche à calculer. Rien ne dit qu'il s'agit d'équations du premier degré, donc d'aspect linéaire (j'ai appris dernièrement qu'on appelait ça affine) est complètement indépendant.

La différences entre variables et inconnue n'est qu'une question de point de vue. Ou plus précisément on utilise variable lorsque la relation écrite est vraie "tout le temps" (sur l'ensemble de définition de la fonction) :
f(x)=x²+x+1
et inconnue lorsque l'on souhaite déterminer l'ensemble des points où la relation (l'équation) est vérifiée :
f(x)=0

En général, on peut espérer qu'il y a une solution, ou un nombre limité dans le cas d'équation du type polynôme par exemple. Un tel système conduit, si tout se passe bien, à un système qui s'écria x=A; y=B; z=C; etc. puisque le but recherché c'est "résoudre une équation".

Et là on fait le grand plongeon...
pourquoi vouloir "un nombre limité" de solution ? Est ce que tu penses que sin(x)=0 n'est pas une équation ? ou si tu veux un système {x| sin(x)=0 et cos(x)=0} ?
Résoudre une équation (ou un système d'équation, c'est exactement pareil) c'est trouver l'ensemble des x tel que l'équation est vérifiée. Cet ensemble peut être aussi "gros" que nécessaire.

Si ça ne se passe pas bien, soit le système est impossible : il n'y a pas de solution, soit le système est indéterminé, on ne peut donc par trouver la solution.

Une fois encore : qu'est-ce que LA solution? On cherche un ensemble de solution, éventuellement réduit à un point. Mais ce n'est pas forcément le cas (cf exemples d'isopotentielle, de courbe de niveau, ou l'intersection de deux plans non coplanaire...).

en prenant ta définition, quel serait LA solution de de
x²=1
y²=1
?

Un exemple simple est le système permettant de trouver les coordonnées du point d'intersection de 2 droites. Dans le cas général il y une solution, si les droites sont parallèles il n'y a pas de solution, on dit que le système est impossible, si les droites sont confondues, on dit (ou plutôt on disait) que le système est indéterminé.

Mais dis que le système est indéterminé si ça te chante (c'est bien possible que ce mot soit utilisé), par contre ne dit pas qu'il n'y a pas de solution. L'ensemble des solution c'est la droite tout entière. point.

Le point qu'on a essayé de t'ajouter c'est la dimension de la solution (droite, plan, l'espace tout entier...)

Il est bien évident que la solution du système peut être l'ensemble des paramètres d'une fonction. Un exemple très classique est la résolution du système qui permet de définir une régression. Ca n'a strictement rien à voir avec le cas d'indétermination.

je n'ai pas parlé de cela.

Naturellement la disposition des termes, chiffres et nombres ressemble à une matrice d'application linéaire, mais ça n'a aucun rapport.

Bon et bien va l'expliquer,du haut de ton incommensurable expertise, à l'ensemble des profs de prépas de France et de Navarre alors (et d'école d'ingés, et les chercheurs etc)...
On t'a déjà expliqué les liens profonds et efficace à de nombreuses reprises entre matrice (une matrice est par définition un tableau de nombre) et système linéaire. D'ailleurs si tu veux un lien plus direct :
soit A la matrice associée à ton système linéaire, et b le vecteur des constantes. Soit u l'applicatio linéaire associée (dans les bases canoniques de Rn). Alors résoudre le système c'est trouver les x de Rn (donc n inconnue notées x1, x2, x3,...,xn) tel que u(X)=b. Qui s'écrit encore AX=b. (et quand on développe on retombe directement sur les système). Changer les lignes de places revient juste à permuter l'ordre dans lequel on numérote les vecteurs de la base canonique.

Quant à ton système il est impossible pour b différent de 0, pour b=0 c'est un espace affine de dimension 2 obtenu comme l'intersection de
x+y=2/3
et
t=x+2y+z

ou encore sous forme paramétrique :

(x,y,z,t)=(2/3,0,0,2/3)+ lambda (1,-1,0,-2) + mu (0,0,1,1)
(lambda et mu décrivant R).

Aux erreurs d'inatention près...

[Luc]

@Dlzlogic Tu sembles sourd aux différentes interventions qui cherchaient à expliquer le pourquoi du comment, à bien définir les choses, à poser les problèmes de façon rigoureuse, etc. En maths, on a le droit de se tromper mais il faut savoir le reconnaître (c'est une des seules sciences où quelque chose de démontré est incontestable). Tu peux trouver toutes les réponses et précisions nécessaires sur le sujet "systèmes d'équations linéaires" dans les posts précédents, et au vu de tes dernières réponses qui font fi de qui y figure, j'ai la désagréable impression de ne pas avoir été lu.

L'exercice que tu cites est un exemple simple d'application : la matrice 4x4 en question, notons là A, est non inversible, de rang 2.

Considérons maintenant R^4, et l'application linéaire f dont la matrice représentative dans la base canonique de R^4 est A. f est de rang 2, donc son image est un sous-espace vectoriel de R^4 de dimension 2. Une base en est donnée par exemple par les deux premières colonnes de A. Il y a alors deux possibilités pour l'équation AX=B suivant les valeurs de B : soit B est dans l'image de f (ce qui après calcul est équivalent à b=0), auquel cas l'ensemble des solutions est un sous-espace affine de dimension 2, de direction le noyau de f; soit B n'est pas dans l'image de f, auquel cas l'ensemble des solutions est vide.

[Dlzlogic]

Bonjour,
J'ai un peu de mal à comprendre votre acharnement.
J'observe, et je regrette que cette notion d'indétermination ait disparue. On la remplace par "il existe un sous-ensemble ...". J'ai bien compris. Depuis le début.
Par contre, je me refuse de mettre sous le même vocable tout ce qui est une groupe de nombres. Et c'est vous qui me parlez de rigueur. :doh:
Donc, ne vous en déplaise, je continuerai à distinguer une fonction, d'une équation, d'un tableau, d'une matrice, et de distinguer une variable d'une inconnue.
Mais comme je sais que cela échauffe les esprits, je ne poserai pas de question à ce sujet, ce que je n'ai d'ailleurs jamais fait.

@luc, oh si j'ai bien lu. Il y a un de tes messages qui paraissait permettre de clore ces échanges stériles. J'ai confirmé, malheureusement ça n'a eu pour effet que de relancer le truc.

@Sylviel
Concernant la référence aux "professeurs", il se trouve que à l'époque où je me suis rend compte qu'il y avait une modification dans la définition de "vecteur", "vecteur colinéaire", "vecteur parallèle", j'ai croisé un ancien prof de mon fils et je lui ai raconté mon incompréhension. Il m'a rassuré en disant qu'il expliquait aux élèves de quoi il s'agissait, et qu'en fait ce n'était que modification de vocabulaire.

Exemple :
soit la fonction f(x,y,z) = x²-y²+2z trouver l'ensemble des points de l'espace vérifiant
f(x,y,z)= 10.

On est donc dans un espace à 4 dimensions ?
t=f(x,y,z)=x²-²+2z
Et on étudie le cas où t=10. Ok, je veux bien, mais je vois pas le rapport. Je vois pas non plus où il y a une équation à résoudre.
Est-ce que tu ne voulais pas plutôt écrire "... vérifiant f(x,y,10)", ie g(x,y)=10 ?

Donc en ce qui me concerne, le sujet est clos. Nightmare m'a répondu de façon précise, Je reconnais avoir eu tort d'avoir espéré plus de détails et donc avoir mis un complément de question.

[Deliantha]

Bonjour,
J'ai un peu de mal à comprendre votre acharnement.
J'observe, et je regrette que cette notion d'indétermination ait disparue. On la remplace par "il existe un sous-ensemble ...". J'ai bien compris. Depuis le début.
@Sylviel
Concernant la référence aux "professeurs", il se trouve que à l'époque où je me suis rend compte qu'il y avait une modification dans la définition de "vecteur", "vecteur colinéaire", "vecteur parallèle", j'ai croisé un ancien prof de mon fils et je lui ai raconté mon incompréhension. Il m'a rassuré en disant qu'il expliquait aux élèves de quoi il s'agissait, et qu'en fait ce n'était que modification de vocabulaire.

Si l'indétermination n'est pas directement abordée, elle a toujours un sens explicité par deux notions supplémentaires aujourd'hui : des systèmes linéaires sont sous-déterminés ou bien sur-déterminés (en résolution via les techniques classiques présentées dans ce cours de programmation numérique).

Si ce professeur a parlé de "vecteurs parallèles", il a tort car la terminologie n'a aucune signification. Certes, un vecteur est caractérisé par une direction mais aussi une norme et un sens : or, que veut dire : des normes ou des sens parallèles ? Les droites porteuses des vecteurs, elles, sont parallèles.
(De la même façon, des plans sont parallèles dans un espace 3D et des objets 3D dans l'espace 4D...)

Si les matrices sont utilisées comme des tableaux de nombres, la théorie des matrices appliquée leur fait interpréter en termes calculatoires opérationnels les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines, étudiant les phénomènes linéaires, en font usage.

Quant aux réactions épidermiques dont tu fais montre face aux arguments explicatifs, j'avoue que leur nature m'échappe un peu.

Je recommande accessoirement Wikipédia/Bibm@th pour les définitions des mots techniques employés.

[Dlzlogic]

Bien reçu, merci.
Mon module de résolution de système linéaire me donne toute satisfaction.

[Sylviel]

Bonjour,
J'ai un peu de mal à comprendre votre acharnement.

Et nous alors, on a du mal à comprendre pourquoi tu reste buté sur tes positions sans essayer de comprendre les erreurs comises.

J'observe, et je regrette que cette notion d'indétermination ait disparue. On la remplace par "il existe un sous-ensemble ...". J'ai bien compris. Depuis le début.

Le fait que l'on donne un nom au fait que la matrice associée au système linéaire ne soit pas inversible ne choque pas. Ce n'est pas une dénomination largement répandue, mais je n'y voie pas d'objection. Ce qui fait bondir c'est ce que tu en déduis à savoir que si un système linéaire est indéterminé alors il ne sert à rien.

Par contre, je me refuse de mettre sous le même vocable tout ce qui est une groupe de nombres. Et c'est vous qui me parlez de rigueur.
Donc, ne vous en déplaise, je continuerai à distinguer une fonction, d'une équation, d'un tableau, d'une matrice, et de distinguer une variable d'une inconnue.

Oui on parle de rigueur, et j'irais même jusqu'à dire qu'on est rigoureux. Il y a des choses différentes mais très liées. Une fonction et une équation sont deux choses différentes. Une fonction est définie par un triplet ensemble de départ, ensemble d'arrivée et graphe ayant une propriété d'unicité de l'image. Une équation est un problème pouvant s'écrire généralement :
trouver l'ensemble de x\in X tel que f(x)=0. Avec f une fonction bien choisie.
Un tableau et une matrice sont exactement la même chose (par définition des matrices, cf Bourbaki ou n'importe quel livre d'algèbre linéaire). On peut l'interpréter comme une représentation d'une application linéaire (si on se donne des bases) mais c'est une interprétation, ça ne change pas sa nature. La seule différence entre tableau et matrice est qu'il y a une définition de l'addition et de la multiplication des matrices.

Mais comme je sais que cela échauffe les esprits, je ne poserai pas de question à ce sujet, ce que je n'ai d'ailleurs jamais fait.

Ce qui chauffe les esprits c'est le fait que tu ne veuille absolument pas envisager autre chose que ce que tu crois savoir. Bien que nombre d'intervenant compétents en maths s'accorde pour te dire que tu fais des confusions.

@Sylviel
Concernant la référence aux "professeurs", il se trouve que à l'époque où je me suis rend compte qu'il y avait une modification dans la définition de "vecteur", "vecteur colinéaire", "vecteur parallèle", j'ai croisé un ancien prof de mon fils et je lui ai raconté mon incompréhension. Il m'a rassuré en disant qu'il expliquait aux élèves de quoi il s'agissait, et qu'en fait ce n'était que modification de vocabulaire.

le rapport ? Que le vocabulaire évolue je ne le remets pas en cause. Par contre dire "qu'il n'y a aucun rapport entre système linéaire et matrices" ou "qu'un système linéaire indéterminé est inutile" c'est faux. Purement et simplement faux. Et ça l'a toujours été. Pour la définition d'une matrice comme tableau de nombre je suis certain qu'elle date d'au moins 50 ans, et sans doute de largement plus. Que tu les confondes avec l'application linéaire associée montre plus une mauvaise maîtrise des liens forts entre les deux qu'une évolution du vocabulaire...

Par ailleurs ma remarque sur les profs suivait ton affirmation qu'il n'y avait aucun lien entre système linéaire et matrices. OU entre système linéaire et application linéaire d'ailleurs.

Citation:
Exemple :
soit la fonction f(x,y,z) = x²-y²+2z trouver l'ensemble des points de l'espace vérifiant
f(x,y,z)= 10.

On est donc dans un espace à 4 dimensions ?

Oui le graphe est dans un espace à 4 dimension, mais on s'en fout.

t=f(x,y,z)=x²-²+2z
Et on étudie le cas où t=10. Ok, je veux bien, mais je vois pas le rapport. Je vois pas non plus où il y a une équation à résoudre.

heu si je t'écris trouver l'ensemble des points (x,y,z) tel que x²-y²+2z = 10 tu ne voie pas d'équation :doh: ?

Est-ce que tu ne voulais pas plutôt écrire "... vérifiant f(x,y,10)", ie g(x,y)=10 ?

vérifiant f(x,y,10) ??? qu'est-ce que cela peut bien vouloir dire ? et après on parle de rigueur... :ptdr:

Donc en ce qui me concerne, le sujet est clos. Nightmare m'a répondu de façon précise, Je reconnais avoir eu tort d'avoir espéré plus de détails et donc avoir mis un complément de question.

Non tu as tort de rester borné sur ce que tu penses savoir et refuser que l'on t'explique ce qu'il en est en réalité. (Comme pour les probas en fait).

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je répondrai juste sur un point

Pour la définition d'une matrice comme tableau de nombre je suis certain qu'elle date d'au moins 50 ans, et sans doute de largement plus.

C'est strictement vrai. La notion d'espace vectoriel implique l'utilisation de matrice dont la définition est "un tableau à n lignes et p colonnes ...".
La réciproque n'est pas vraie.
De la même façon que "définition du cuivre : c'est un métal ...", mais que tout métal n'est pas forcément du cuivre. Employer "cuivre" pour tout ce qui ressemble de près ou de loin à du métal est un manque de rigueur.
Concernant les probas, puisque tu y reviens, j'ai proposé un test pour démontrer le systématisme de la répartition des écarts d'une expérience aléatoire. Personne n'a voulu jouer le jeu, je le rappelle pour mémoire. On fait une dizaine de jeux consistant à tirer avec un dé à 10 (par exemple) faces. L'utilisation de rand(10) convient parfaitement. Chaque jeu se fera avec une bonne centaine de jets, et on notera le nombre de sorties de chaque face.
On me transmettra les listes de nombre de sorties en ayant pris soin d'en "trafiquer" quelques-unes. Mon pari consiste à dire que je trouverai les listes qui ont été trafiquées.

heu si je t'écris trouver l'ensemble des points (x,y,z) tel que x²-y²+2z = 10 tu ne voie pas d'équation ?

Ben non, pas vraiment. Si on me dit "trouver les valeurs de x suivant les valeurs y et z pris comme paramètre", alors oui. Mais là, pour moi, c'est une relation entre 3 coordonnées dans un espace 3D, et non plus 4D comme à la ligne précédente.

vérifiant f(x,y,10) ??? qu'est-ce que cela peut bien vouloir dire ? et après on parle de rigueur...

J'aurais peut-être du dire "satisfaisant" ? Si c'est le cas, je te prie de m'excuser.
Mais, pour être franc, je ne sais toujours pas si tu voulais être en 4 dimensions, alors t=f(x,y,z)=10 ou au contraire en 3 dimensions ou on a une fonction f(x,y,z) qui peut éventuellement se mettre sous la forme x=f1(y,z) et/ou y=f2(x,z) et/ou z=f3(x,y).

Pour le reste, j'ai déjà dit que j'étais d'accord pour tout.

[Luc]

La notion d'espace vectoriel implique l'utilisation de matrice dont la définition est "un tableau à n lignes et p colonnes ...".

Non, il est tout à fait possible de faire de l'algèbre linéaire sans représentation matricielle, mais en raisonnant directement avec des applications linéaires. Donc la notion d'espace vectoriel n'implique pas l'utilisation de matrices. Il se trouve que la théorie des matrices s'applique bien à l'algèbre linéaire, mais les matrices ne sont pas nécessaires quand on manipule des espaces vectoriels.

Concernant les probas, puisque tu y reviens, j'ai proposé un test pour démontrer le systématisme de la répartition des écarts d'une expérience aléatoire. Personne n'a voulu jouer le jeu, je le rappelle pour mémoire. On fait une dizaine de jeux consistant à tirer avec un dé à 10 (par exemple) faces. L'utilisation de rand(10) convient parfaitement. Chaque jeu se fera avec une bonne centaine de jets, et on notera le nombre de sorties de chaque face.
On me transmettra les listes de nombre de sorties en ayant pris soin d'en "trafiquer" quelques-unes. Mon pari consiste à dire que je trouverai les listes qui ont été trafiquées.

Cette expérience ne montrerait le résultat que dans le cas d'une loi de probabilité uniforme : il faudrait le montrer pour toute loi de probabilité. De plus, tout ce qu'on peut faire quand on vérifie l'adéquation d'une série empirique avec une loi de probabilité donnée, c'est un test statistique qui permet de rejeter l'hypothèse "La liste de nombres n'est pas trafiquée" avec une probabilité de se tromper inférieure à un certain seuil, mais jamais avec une certitude absolue.

[Dlzlogic]

Cette expérience ne montrerait le résultat que dans le cas d'une loi de probabilité uniforme : il faudrait le montrer pour toute loi de probabilité. De plus, tout ce qu'on peut faire quand on vérifie l'adéquation d'une série empirique avec une loi de probabilité donnée, c'est un test statistique qui permet de rejeter l'hypothèse "La liste de nombres n'est pas trafiquée" avec une probabilité de se tromper inférieure à un certain seuil, mais jamais avec une certitude absolue.

Tu affirmes, mais tu ne veux pas jouer le jeu, que dire de plus ?
Il y en a tout de même eu un qui a accepté de faire une simulation. Mais bien sûr ça n'a pas été long de trouver un contradicteur. La discussion s'est terminée dans les choux.
Tel que je te vois venir, tu vas calculer la probabilité de la probabilité de se tromper.
Qui te parle de certitude absolue? Moi, je dis simplement que je peux trouver les listes truquées.
Un point de langage important, quand je parle de probabilité, il ne s'agit que d'expérience aléatoire, sans autre qualificatif, c'est à dire ne mettant en œuvre que le hasard.
[J'ai soigneusement relu cette phrase et elle reflète ce que je pense.]
Je rappelle que ce n'est pas moi qui ai évoqué les probabilités.