Questions de cours sur les lois internes, groupes, anneaux e

[Timothé Lefebvre]

Salut tout le monde

Ah, c'est très rare que je pose une question de cours (ça doit être ma première !) mais là je dois avouer que je ne comprends pas bien !

Je suis sur le cours des groupes, anneaux, corps ...
Je commence par les lci. J'ai la définition de magma, pas de problème. L'associativité et la commutativité vont très bien aussi.
J'en arrive à l'élément neutre. La définition passe tranquillement.
Une des remarques me choque :

- Le magma n'a aucun élément neutre.

Je précise que le x qui apparaît en exposant sur ma feuille ressemble à la notation de la lci multiplicative ...
est donc un magma, avec pour ensemble et pour loi interne la multiplication.

Je n'arrive pas à visualiser à quoi correspond ce x en exposant.
D'un côté ma lci est additive et de l'autre j'ai ce x. Je pensais à une référence à une application de N² dans N, mais ça me semble bizarre ...

D'après moi l'élément neutre du magma est bien 0, pas de doute là-dessus.

Auriez-vous une idée ?

Merci bien !

Tim

EDIT : je modifie le titre pour qu'il couvre mieux le sujet traité.

[legeniedesalpages]

Bonsoir,

N*=N\{0}

on a enlevé le seul élément neutre possible pour la loi + de N.

[Timothé Lefebvre]

PS : apparemment le mot "magma" n'est pas très usité.
D'après mon cours un magma est simplement un ensemble muni d'une loi de composition interne.

Exemple : (E, x) et (E, +) sont des magmas si E est l'un des ensembles N, Z, Q, R, C.

La lci peut être multiplicative ou additive, par exemple, il me semble qu'il en existe d'autres comme celle notée "o" pour la composition de fonctions.

[Timothé Lefebvre]

Oui, c'est exactement ce que j'ai pensé mais l'exposant en question n'est vraiment pas une étoile comme j'ai l'habitude d'en voir ...

Celui-ci correspond très clairement à "x" que l'on utilise pour noter la lci multiplicative.

[legeniedesalpages]

ah ok. ça ne change pas grand chose.
En algèbre la notation A* est parfois réservée pour désigner seulement l'ensemble des éléments inverses de A.
On désigne l'ensemble des éléments non nuls de A par .

par exemple (Z*,.)={-1,1}, .

[Timothé Lefebvre]

D'accord, donc je considère que c'est N privé de 0 !

Donc dans n privé de 0 le magma en question n'a pas d'élément neutre.
Ok merci :)

[benekire2]

Et dire que ce fut un cours de quatrième il y a trente ans ...

[Timothé Lefebvre]

@ Micka : le monde change !

Je conclue :

Mon magma (N,+) est associatif et commutatif, on est d'accord ? Il admet un élément neutre 0.
Par contre, étant donné qu'un seul de ses éléments est inversible, 0, il ne peut être considéré comme un groupe.

[legeniedesalpages]

c'est ok. :)

[Timothé Lefebvre]

D'ac merci bien ;)

[alavacommejetepousse]

Et dire que ce fut un cours de quatrième il y a trente ans ...

bonsoir j ai un doute
on parlait de magma?

on parlait en revanche de groupe via le groupe des translations

[Timothé Lefebvre]

Autre question : je dois démontrer que le magma (\{0}, x) n'est pas un groupe.
Je me rapporte à lé définition d'un groupe : c'est un magma asso qui possède un élément neutre et dont tous les éléments sont inversibles.

Donc, dans mon cas j'ai un élément neutre (1) j'en déduis que je dois montrer que tout élément de ce magma n'est pas inversible.
Si je considère simplement l'exemple de 2, puis-je dire qu'il est inversible par la multiplication ? Si je prends x=2 et x' l'inverse (je me permets de l'appeler ainsi puisque ma lci est multiplicative) de x tel que x'=1/2 alors j'ai bien xx'=x'x=e avec e=1 ...
Il va de même pour tout élément !

Où est le problème ?

PS M. : je te réponds quand j'ai fini de bosser sur ça :lol2:

[legeniedesalpages]

1/2 n'est pas un entier.

[Timothé Lefebvre]

Le con ... J'ai pas tilté que x' devait appartenir au même ensemble :marteau:
Bon, j'arrête avec mes questions bêtes.

[Timothé Lefebvre]

Autre question quant à la suite du cours : les morphismes de groupes.

Je pose deux groupes tq (G,*) et (T,.)

L'appellation morphisme de G dans T désigne toutes les applications f qui envoient les éléments de G dans T tq : pour tout (x,y) dans G² j'ai f(x*y) = f(x).f(y)

Là, pas de problème. Ensuite on met dit qu'on peut se permettre d'enlever les notations de loi des groupes pour donner : pour tout (x,y) dans G² on a f(xy)=f(x)f(y)

Ça me choque un peut. Je vois plusieurs cas de figure.

1) La lci est la même pour les deux groupes :
a) elle est multiplicative : ok pas de soucis.
b) elle est additive : euh là ça me choque un peu mais soit, si on considère que de toute façon on a qu'un choix possible et c'est l'addition.

2) La lci n'est pas la même pour les deux groupes :
multi et addi, ou autres choses, là je ne vois pas ce qui nous permet de supprimer les notations des lois de groupes ...

Bonne soirée

Indic perso : page 6.

[barbu23]

Salut :
Quant il s'agit d'un groupe et non d'un anneau, on a une seule loi associée au groupe , tu peux la noter comme tu veux ou bien ou bien ou bien comme tu veux ! Une exception : Quant est abelien , on a l'habitude de considerer la notation additive : !

[Timothé Lefebvre]

Merci pour ta réponse :)

Alors, dans mon cours il n'est pas précisé que G est abélien :/

Mais le fait que je la note + ou x influe sur le fait qu'elle soit additive ou multiplicative, non ?

La notation "standardisées" (qui veut tout dire en fait), notée sur dans mon cours, est une petite étoile dans le cas du groupe G et un point dans les cas de T.
Ça veut dire que ces lci peuvent être n'importe quoi, n'est-ce pas ?

Est-ce qu'il est correct de dire que l'on peut se passer de noter cette lci dans la relation qui définit un morphisme de groupes ?
Et si oui je ne comprends pas trop pourquoi, étant donné qu'on ignore la nature de cette lci pour la bonne et simple raison qu'elle peut être ce qu'on veut !

[Timothé Lefebvre]

L'appellation morphisme de G dans T désigne toutes les applications f qui envoient les éléments de G dans T tq : pour tout (x,y) dans G² j'ai f(x*y) = f(x).f(y)

Voilà exactement ce qui me gène : on supprime la notation qui nous permet de faire la différence entre les deux lci. Or, si ces deux lois sont différentes (exemple : une multi et une addi) eh bien, ça me paraît louche !

[Doraki]

Bien sûr que ce sont deux lois différentes, y'en a une qui est celle du groupe de départ et l'autre qui est celle du groupe d'arrivée.
Le groupe de départ et le groupe d'arrivée n'ont aucune raison d'être les mêmes, donc la loi au départ et la loi à l'arrivée n'ont aucune raison d'être les mêmes.

Mais comme on sait qu'on parle de groupes et qu'on ne connaît a priori qu'une loi de composition sur ces ensembles, qui sont les lois de composition des groupes en question, on sait qu'on parle des lois de groupes et pas d'autre chose.

Si le contexte ne donne qu'une seule interprétation pour une loi de composition interne, on a pas d'ambiguité à l'écrire comme on veut, que ce soit xy ou x+y. Bien sûr, si la loi a un vrai nom, il sera toujours plus clair de l'utiliser.
Si on est dans un ensemble avec plusieurs lois, c'est là qu'il faut faire attention à les différencier.

Ensuite il y a un usage tacite qui dit que si on écrit "x+y" ça sous-entend qu'on sait ou qu'on suppose que la loi qu'on désigne par "+" est commutative.
Ceci dit j'ai vraiment aucune idée de ce que tu veux dire par "loi additive" ou "loi multiplicative"

[Timothé Lefebvre]

Ah, c'est bon j'ai compris !

Par "loi additive" et "loi multiplicative" j'entends la loi notée "+" d'addition et la loi notée "x" de multiplication. Il faudrait que j'arrête avec cet abus de langage ?

En conclusion, le fait de supprimer les indications comme on le fait est possible puisque nos groupes n'ont qu'une lci chacun et que le contexte nous indique comment interpréter la relation ?