Questions de cours sur les lois internes, groupes, anneaux e

[Nightmare]

La composition n'est pas un morphisme de groupe ! C'est une opération.

Je parlais de l'anneau des fonctions continues d'un compact dans lui même (par exemple [0,1]) qu'on munit des lois usuelles + et o.

C'est un anneau (qui n'est pas un corps) non commutatif.

[Timothé Lefebvre]

Ah mince, j'ai du mal comprendre.
Mon cours dit que :

"[Composition des morphismes de groupes] Soient G, G' et G'' trois groupes tels que : f : G -> G' et g : G' -> G'' deux morphismes de groupes. Alors, gof est un morphisme de groupes de G dans G''."

Je me suis laissé entendre aussi qu'on pouvait utiliser la composition comme loi interne, notée "o" ?

[Timothé Lefebvre]

Question annexe : un anneau peut-il avoir d'autres lois internes que "+" et "x" ? Je dirais non, d'après la définition ...

[Nightmare]

Oui la composée de deux morphismes est un morphisme, mais l'application composition (c'est à dire l'application qui à (f,g) associe fog) n'est pas un morphisme. De toute façon on ne parle pas de morphisme ici.

Ma loi o est la loi que tu connais depuis la 1ère, à (f,g) elle associe l'application x->f(g(x)) (ici pas de problème de définition, nos fonctions sont définies et à valeur sur le même espace).

La loi + que j'ai utilisé est quant à elle l'application qui à (f,g) associe la fonction x->f(x)+g(x), loi usuelle aussi.

J'ai alors prétendu que l'ensemble des fonctions continues sur [0,1] munit de ces deux lois est un anneau.

[Timothé Lefebvre]

Ah d'accord, la confusion est levée alors !

Merci.

[Nightmare]

Question annexe : un anneau peut-il avoir d'autres lois internes que "+" et "x" ? Je dirais non, d'après la définition ...

La question n'a pas de sens. C'est comme si tu demandais si un triangle pouvait avoir 4 côtés ...

[Timothé Lefebvre]

Une autre info technique : qu'est-ce qu'un compact ?
D'après ton exemple, [0,1] est un compact. Un compact est-il un intervalle fermé ? Techniquement, un intervalle fermé de ce style contient une infinité d'éléments.

[Timothé Lefebvre]

La question n'a pas de sens. C'est comme si tu demandais si un triangle pouvait avoir 4 côtés ...

Oui, je m'en rends compte en me relisant

[Nightmare]

disons plutôt intervalle fermé pour ne pas apporter plus de confusion. Ce n'est pas très important, la seule chose qui était importante et qu'on avait une loi non commutative sur un anneau, donc qu'on a des anneau non commutatifs.

Je n'ai par contre pas compris ta dernière phrase :s (était-ce une question?)

[Timothé Lefebvre]

Je n'ai par contre pas compris ta dernière phrase :s (était-ce une question?)

Non, c'était une remarque pour moi-même en fait !
On peut trouver une infinité de valeurs entre 0 et 1, enfin ça me paraît être logique dans ce sens !

[Nightmare]

Oui mais je ne comprends pas le rapport.

Bref, un autre exemple est l'anneau des suites qui convergent vers 0 (qui encore une fois n'est pas un corps). Tiens d'ailleurs, pourquoi pas les suites qui convergent vers 1 ?

[Nightmare]

Je te laisse cogiter je suis de soirée je verrai tes éventuelles réponses à mon retour.

Bonne soirée.

[Timothé Lefebvre]

Intéressant ! En premier lieu j'aurais tendance à rapprocher cette question de la définition d'un polynôme.
Un polynôme de la forme défini dans un anneau K[X] est bien une suite qui converge vers 0, non ... ?
Pour moi ce serait la première raison, et à vrai dire je n'en vois pas d'autre pour le moment.

Je continue à chercher.

[Doraki]

J'ai alors prétendu que l'ensemble des fonctions continues sur [0,1] munit de ces deux lois est un anneau.

C'est dangereusement prétentieux de prétendre que f o (g + h) = f o g + f o h et de dire que les fonctions continues sur [0;1] à valeur dans R sont à valeurs dans [0;1]

Un exemple simple d'anneau non commutatif, c'est les applications linéaires de R² dans R² (l'ensemble des fonctions f telles qu'il existe a,b,c, et d tq f(x,y) = (ax+by,cx+dy)), muni de l'addition de fonctions ( (f+g)(x,y) = f(x,y) + g(x,y)) et de la composition de fonctions ( (fog)(x,y) = f(g(x,y)))

Si tu connais les matrices, bah voilà.

[Timothé Lefebvre]

J'imagine qu'il s'agit des matrices carrées.
J'ai quelques notions qui s'apparentent plus à l'éveil qu'à un vrai cours, aussi si tu avais le temps de détailler un peu je pense que ça ne me ferait pas de mal :)

Mais si tu n'as pas le temps c'est pas grave, j'attendrais de voir ça dans le cours.

[abcd22]

Bonsoir,

On désigne l'ensemble des éléments non nuls de A par .

C'est (\times, pas X).

[Timothé Lefebvre]

Salut,

donc c'est bien ce que je pensais (ce que j'avais vu sur mon cours en fait) l'exposant correspond à la notation de la lci de multiplication ?

[abcd22]

Et dire que ce fut un cours de quatrième il y a trente ans ...

Il y a trente ans (ou peut-être un peu plus), il y avait des groupes en seconde (et ça posait beaucoup de problèmes aux élèves d'après ma maman qui a enseigné ça), vus principalement dans des cas particuliers (Z, R...) et pas dans toute leur généralité, et on ne parlait certainement pas de magma (notion pas très utile de toute façon).

[Timothé Lefebvre]

Dominique m'a effectivement dit qu'il n'avait jamais entendu parler de magma !

[Nightmare]

C'est dangereusement prétentieux de prétendre que f o (g + h) = f o g + f o h et de dire que les fonctions continues sur [0;1] à valeur dans R sont à valeurs dans [0;1]

Prétentieux et honteux, je le concède ! Mea culpa, j'avais en tête des applications linéaires mais je me suis obstiné à parler de fonctions continues. Errare humanum est, sed perseverare diabolicum