Explication sur les groupes et les groupes quotients

[moh69]

Bonjour,
Je suis en L2 parcours CNED et j'ai du mal a assimilé le cours d'arithmétique. En effet, je n'arrive pas à résoudre des exercices du style qu'elles sont les sous groupes de Z/9Z.

Montrer qu'il n'existe aucun élément d'ordre 3 dans le groupe Z/2Z* Z/4Z. En déduire les morphismes de groupes de Z/3Z dans Z/2Z*Z/4Z

Je ne sais pas résoudre les exos du style:
Soit le groupe G = Z/12Z.
1. Déterminer le sous-groupe H de G engendré par 6(avec une barre sur le 6) et 8 (avec une barre sur le 8)et déterminer son ordre.
2. Caractériser les générateurs de G:
3. Quel est l'ordre de l'élément 9 (avec une barre sur le 9)?

Ce que je souhaiterais c'est qu'une personne m'aide à comprendre en me détaillant la logique de résolution de ces exos.

[Sylviel]

Que sais tu sur le lien entre l'ordre d'un groupe et l'ordre d'un de ses sous groupes ?

Pour déterminer le groupe engendré par 1 élément il faut calculer g^n jusqu'à tomber sur le neutre (ce qui fournit aussi l'ordre)

[moh69]

je sais que l ordre un sous groupe divise l ordre du groupe.
Mais c'est la notion g^n=1 du cours qui ne me parle pas.

[Sylviel]

Bon déjà tu peux répondre à ton second exercice, et tu as bien détaillé le premier.

Pour g^n, pense aux racines de l'unité par exemple. Ou alors, en notation additive g^n c'est ng= g+...+g.

[moh69]

le problème c'est que je ne comprends pas ce que tu veux dire je fais un blocage.

[arnaud32]

deja qu'est ce qu'un sous groupe?

[Sylviel]

si on a un groupe noté multiplicativement alors
g²=g.g
g^3 = g.g.g
g^n = g.g...g, n fois.

Additivement cela donne :
"g²"= g+g
"g^3" = g+g+g
"g^n" = g+g+...+g, n fois.
= n g.

Maintenant prends g = i (le nombre imaginaire pur), dans le groupe des racines de 4ème de l'unité, donc avec la multiplication des complexes.
alors
g² =
g^3 =
g^4 =

Donc g est d'ordre ...

[Doraki]

Z/9Z c'est pas un groupe.
(Z/9Z,+), c'est un groupe.

Quand tu lis "x^n = 1" dans ton cours, ça veut pas dire "x à la puissance n vaut le nombre 1", ça veut dire "l'élément x composé avec lui-même n fois (en utilisant la loi du groupe étudié) vaut l'élément neutre du groupe étudié".

Par exemple, si x=6, dans (Z/9Z,+) "x^2" = 6+6 = 12 = 3 ; et "x^3" = 6+6+6 = 3+6 = 9 = 0.
L'élément neutre de (Z/9Z,+) c'est 0, donc l'ordre de 6 dans le groupe (Z/9Z,+) est 3.
(6 composé avec lui même 3 fois, c'est-à-dire 6+6+6, vaut l'élément neutre, c'est-à-dire 0)

[moh69]

L explication est plus claire.
Donc dans (Z/9Z,+) les diviseurs de 9 sont 1,3 et 9. Or 1 et 9 sont les deux groupes triviaux qui engendrent Z/9Z. Donc chercher les sous groupes de (Z/9Z,+) c'est chercher tous les éléments x de {0,1,...,8}tels que x pris dans {0,1,...,8} on x^d=0 (avec d=3).
donc on obtient ici {0,3,6}.
Est il bon mon raisonnement?

Par contre si je peux avoir le même genre d'explications pour résoudre
Montrer qu'il n'existe aucun élément d'ordre 3 dans le groupe Z/2Z* Z/4Z.
Ça serait cool

[Doraki]

Donc dans (Z/9Z,+) les diviseurs de 9 sont 1,3 et 9.

Tu veux dire "Dans N, les diviseurs de 9 sont 1,3 et 9." j'espère.
Parceque parler de 9 comme autre chose que le cardinal de Z/9Z, c'est forcément n'importe quoi.

Or 1 et 9 sont les deux groupes triviaux qui engendrent Z/9Z.

.
J'ai arrêté de lire quand t'as dit que le nombre 9 était un groupe.

Par contre tu pourrais parler des sous-groupes de Z/9Z de cardinal 1 ou 9, je comprendrais ptetre.

[moh69]

Oui tout a fait je parlais du cardinal du groupe (Z/9Z,+) qui est divisible par {1,3,9}.
Je sais que ma syntaxe n'est pas bonne et j'en suis désolé ce n'est pas évident pour moi et si tu veux me corriger y a pas de problème je ne suis pas susceptible du tout surtout quand il s'agit d'apprendre car c'est plutôt constructif.

[Doraki]

Bon pour la suite, chercher les sous-groupe d'un groupe, c'est chercher les sous-ensemble de l'ensemble correspondant au groupe, qui reste un groupe quand on garde la même loi de composition.
On cherche donc les sous-ensembles de {0,1,2...,8} qui sont stables par "+" (et par passage à l'opposé , c'est important si le groupe de départ est infini).

Y'en a un de taille 1, {0}
Y'en a un de taille 9, {0,1,2,...,8}

Ensuite j'ai pas complètement compris ce que t'as fait.
En général, un groupe de cardinal n, ce n'est pas forcément engendré par un élément d'ordre n.
Les éléments x qui sont d'ordre 1 ou 3 (tels que x+x+x = 0) dont en effet 0,3, et 6, mais ça veut dire quoi au sujet des sous-groupes que tu cherches ?

[moh69]

Je devais déterminer tous les sous-groupes du groupe(Z/9Z,+).

[sniperamine]

Par contre si je peux avoir le même genre d'explications pour résoudre
Montrer qu'il n'existe aucun élément d'ordre 3 dans le groupe Z/2Z* Z/4Z.
Ça serait cool

Bonsoir ; Tu peux utiliser le fait que l'ordre d'un sous groupe celui du groupe

[Doraki]

Et t'as trouvé quoi au final comme sous-groupes ?

[moh69]

j'ai un sous groupe d ordre 3 composé de {0,3,6}

[Doraki]

ok c'est bon alors.

[moh69]

Doraki, c'est possible que tu me donnes un cours sur les groupes et les anneaux si tu as quelques heures à perdre?

[sniperamine]

Doraki, c'est possible que tu me donnes un cours sur les groupes et les anneaux si tu as quelques heures à perdre?

Essaie de jeter un coup d'oeil sur ce lien ça pourrait t'intéresser http://www.fsr.ac.ma/cours/maths/cherrabi/Alg4Cours.pdf
http://www.fsr.ac.ma/cours/maths/cherrabi/Alg4Exo.pdf