Questions de cours sur les lois internes, groupes, anneaux e

[Timothé Lefebvre]

Re, j'ai à nouveau une question, cette fois au paragraphe sur les morphismes d'anneaux.

Soient les deux anneaux (A, +, x) et (B,,).
On me dit qu'un morphisme d'anneaux f de A dans B est un morphisme de groupes pour l'addition.
Je vérifie les conditions pour avoir un morphisme de groupes et tout colle.

Ensuite je me demande pourquoi on ne peut pas dire pareil pour la multiplication. Là je cherche plus loin. Je me demande si un morphisme de groupes sans noyau est un morphisme de groupes ? Je pense que non. Et si c'est non alors ça m'arrange parce que si j'étudie le noyau de f j'ai :
Ker f = { a dans A / f(a)=0b}
Et comme là c'est 0b et pas 1b, comme c'est le neutre de l'addition et non pas de multiplication alors je pourrais dire que l'application f de A dans B n'est pas un morphisme de groupes pour la multiplication.

Est-ce que mon raisonnement est bon ?

Merci à vous !

[Skullkid]

Je dois être fatigué, j'ai pas bien compris ta question.

Bon déjà "un morphisme de groupes sans noyau" ça veut rien dire : un morphisme de groupes a toujours un noyau (et non vide, en plus). Ensuite tu parles de morphisme de groupe pour la loi multiplicative, si j'ai bien compris, sauf que rien ne dit que tes lois multiplicatives font de (A,x) et (B,x) des groupes...

[Timothé Lefebvre]

Si je décide que (A,x) et (B,x) sont munis de lci associatives, d'un élément neutre chacun et que tous leurs éléments sont inversibles ?

Mon cours évoque les morphismes de groupes pour la multiplication. Je voulais vérifier ce qu'il en était pour la multiplication et je constate qu'effectivement ça ne marche pas puisque le noyau de l'application n'est pas correctement défini.

[Skullkid]

Reprenons du début, tu pars de deux anneaux (A,+,x) et (B,+,x), et d'un morphisme d'anneaux f de A vers B. Ta question c'est : "est-ce que f est un morphisme de groupes de (A,x) vers (B,x) ?" ?

Si oui, déjà faut supposer que (A,x) et (B,x) sont des groupes, et en général ce n'est pas le cas. A vrai dire, je pense pas que ça existe des bêtes comme ça... parce que 0 x a = 0 pour tout a, donc ça me semble difficile de trouver un inverse à 0.

[Timothé Lefebvre]

Je me suis mal exprimé, désolé.

Je note que le morphisme d'anneaux f de A dans B est un morphisme de groupes pour l'addition.
Je me demandais si le morphisme d'anneaux f de A dans B était un morphisme de groupes pour la multiplication.

Au final je réponds non, et ce pour la simple raison que mes conditions pour que (A,x) et (B,x) soient des groupes ne sont pas remplies. Je viens de bien comprendre pourquoi. Lorsqu'on a une lci que j'appelle "multiplicative" le problème est que si j'ai un 0 dans mon ensemble alors tous ses éléments ne sont plus inversibles, donc ce ne sont pas des groupes.

Si j'essaye de noter A privé de 0 et B privé de 0, là le problème viendrait d'où ? Il me semble bien que de tels groupes existent, (R*, x) ou (C*, x) ...

Je réfléchis dessus ce soir.

PS : Domi a mit un pare-feu qui coupe le routeur à 11h donc je ne pourrais surement pas te répondre ce soir ... Si je trouve quelque chose je le donnerais demain matin.

Merci et bonne soirée.

[Skullkid]

Le problème c'est qu'alors (A*,+,x) et (B*,+,x) sont plus des anneaux, donc t'as plus de morphisme d'anneaux :p

Mais heureusement, après les anneaux, on a inventé les corps, qui sont justement les anneaux (K,+,x) tels que (K*,x) est un groupe. Et il existe bien sûr des morphismes de corps.

[Timothé Lefebvre]

Ah ben mon Net marche ce soir !

Oui, j'ai zyeuté en douce les corps (sans mauvais jeu de mots) et morphismes de corps car c'est juste au bas de ma feuille mais j'attends :P

La question par contre là est concernant les groupes (A*,x) et (B*,x). Je m'étais bien rendu compte qu'ils ne seraient pas des anneaux.
Si je sors du contexte, en oubliant (A,x,+) et (B,x,+x) et que je considère juste les groupes que j'ai montré ci-dessus : est-ce que je peux dire que l'appli f de A dans B est un morphisme de groupes ?
A mon avis non à cause du noyau de f :/

[Skullkid]

Ben, vu que c'est plus des anneaux, t'as plus de morphisme d'anneaux, t'as plus qu'un morphisme de groupes de A* dans B*, donc la définition du noyau spas la même. f a bien un noyau, qui est l'ensemble des antécédents du neutre (multiplicatif) de B.

On parle du noyau d'un morphisme, et la définition varie selon le type de morphisme.

N'oublie pas qu'une application c'est un triplet (A,B,G). Donc l'application (A*,B*,G) n'est pas la même que (A,B,G).

[Timothé Lefebvre]

Ah justement, voilà mon problème.

Pour mes deux groupes (A*,x) et (B*,x) est-ce que j'ai un morphisme de groupes f tel que f de A dans B ?

Ker f = {x dans A / f(x)=1b} avec 1b le neutre par multi du groupe B.
Ker f est bien un sous groupe de A !

Pour l'image pareil, j'applique la définition et Im f est bien un sous groupe de B !

Dans ces conditions j'ai bien f un morphisme de groupes ?

Question subsidiaire : je peux dire que 1a=1b ? Je me tâte en fait, je voudrais plutôt dire que f(1a)=1b si je suis en présence de f en morphisme de groupes.
Pour avoir une égalité entre les neutres telle que je l'annonce ci-dessus je devrais avoir A sous groupe de B ou inversement, c'est bien ça ? Je n'ai pas regardé si c'était le cas ici. Par contre je crois savoir qu'un groupe est sous groupe de lui-même, tout comme un anneau est sous anneau de lui-même ...

[Skullkid]

Oui f est bien un morphisme de groupe de (A*,x) dans (B*,x). Mais comme dit, si ce f est construit à partir d'un morphisme d'anneaux de (A,+,x) et (B,+,x), alors ils peuvent pas porter le même nom, car ce ne sont pas les mêmes applications, tout simplement. Donc si f c'est ton morphisme d'anneaux, alors le morphisme de groupes de (A*,x) dans (B*,x) tu dois l'appeler autrement, genre g...

Pour ce qui est de l'égalité des neutres, en effet y a aucune raison qu'ils puissent être égaux, tu ne sais rien sur le type des éléments de A et B. Dans A tu peux très bien avoir des réels, et dans B des matrices, par exemple.

Si f est un morphisme de groupes de (A*,x) dans (B*,x) tu as forcément f(1) = 1 (j'omets les indices, y a pas d'ambiguïté).

[Timothé Lefebvre]

D'accord, merci :)
Je pense que j'ai fini de t'embêter pour ce soir :P

Je suis en train d'essayer de montrer que la composée de deux morphismes d'anneaux est un morphisme d'anneaux, je vais le faire sur le modèle de la composée de deux morphismes de groupes car je pense que c'est similaire.

Bonne fin de journée !

[Skullkid]

De même, tu m'embêtes pas, je cherche des excuses pour pas réviser mes pâles de demain...

[Timothé Lefebvre]

Lol, ah je vois, et moi je fais des maths au lieu de ma compo de français à rendre demain à 14h (ça va, j'ai encore mes 2h de TPE demain matin plus ma pause de 2h le midi ...).

[kazeriahm]

Salut

pour que votre discussion sur les morphismes d'anneaux/groupes marche, il faut que Ker f={x ¢ E / f(x)=0}={0}, autrement dit que f soit injective. En effet, vous avez f de A dans B, et vous regardez la restriction de f à A* et vous dites qu'elle va dans B*, ce qui n'est vrai que si Ker f ={0} !!

Une facon d'assurer ca est de demander à f d'être un morphisme de corps (on impose la condition f(1)=1). Tout morphisme de corps est injectif.

[alavacommejetepousse]

Salut

pour que votre discussion sur les morphismes d'anneaux/groupes marche, il faut que Ker f={x ¢ E / f(x)=0}={0}, autrement dit que f soit injective. En effet, vous avez f de A dans B, et vous regardez la restriction de f à A* et vous dites qu'elle va dans B*, ce qui n'est vrai que si Ker f ={0} !!

Une facon d'assurer ca est de demander à f d'être un morphisme de corps (on impose la condition f(1)=1). Tout morphisme de corps est injectif.

bonjour

depuis plusieurs décennnies on impose aux anneaux d'avoir une unité et on impose dans la définition d un morphisme d'anneaux la condition f(1) = 1

[kazeriahm]

bonjour

depuis plusieurs décennnies on impose aux anneaux d'avoir une unité et on impose dans la définition d un morphisme d'anneaux la condition f(1) = 1

Bah ca depend des definitions http://fr.wikipedia.org/wiki/Morphisme#Cas_des_anneaux (bon ok wiki n'est pas la source la plus fiable au monde) toute facon ca n'a pas grande importance

[Timothé Lefebvre]

Salut tout le monde,

je plussoie, dans ma définition de morphismes d'anneaux je dois bien avoir .
J'ai aussi d'ailleurs si je ne me trompe pas, et ceci en raison justement du fait que l'application f soit un morphisme de groupe pour l'addition.

J'ai tout de même une interrogation quand je lis alavacommejetepousse : qu'est-ce que ça signifie de dire qu'un anneaux a une unité ? Qu'appelles-tu unité ?

[Nightmare]

Salut,

on appelle unité le neutre pour la multiplication (souvent noté 1, d'où le nom)

[Timothé Lefebvre]

Ah oui d'accord, merci bien (j'aurais pu m'en douter :marteau:)

[Timothé Lefebvre]

Soit le corps K. On note K* l'ensemble K\{}.
Je dois montrer que K* est un groupe commutatif pour la multiplication de K.

Alors, je dis que si K est un corps alors il est anneau commutatif.
Je pose l'anneau (K,+,x) commutatif, donc (K,x) est un magma associatif (désolé pour le magma). Or, pour que le groupe (K,x) soit commutatif je dois virer le 0 de K.

Au final, j'ai bien (K*,x) groupe commutatif pour la multiplication.