Groupes - anneaux

[Dinozzo13]

Bonjour, j'ai un petit problème sur ces exos concernant les groupes et les anneaux.

I : Soit un groupe et deux sous-groupes de G.

1°) Si est un sous-groupe de G alors montrer que ou .
2°) Montrer est un sous-groupe de G. Si les nombres d'éléments de et de sont premiers entre eux, que dire de .
3°) On se place dans le cas où et où est la multiplication des nombres complexes. Dresser la table de G. Donner trois sous-groupes distincts de G dont la réunion vaut G.

A part la table de composition de , je ne suis pas parvenu à faire quelque chose d'intéressant

II : Démontrer que l'identité est l'unique morphisme d'anneaux où est munit de l'addition et de la multiplication.

Ici, je pense qu'il faut déterminer telle que et . Mais je n'arrive pas à montrer que .

Voilà, merci d'avance pour votre aide :+++:

[Nightmare]

Salut,

I]1) Essaye par contraposée

2) Connais-tu le théorème de Lagrange?

3) Quels sont les sous-groupes de G déjà?

II] En partant de f(x+y)=f(x)+f(y), que peux-tu dire de f déjà? Ensuite essaye d'utiliser la contrainte f(xy)=f(x)f(y) pour montrer que f est croissante.

[Dinozzo13]

Salut,

I]1) Essaye par contraposée

2) Connais-tu le théorème de Lagrange?

3) Quels sont les sous-groupes de G déjà?

II] En partant de f(x+y)=f(x)+f(y), que peux-tu dire de f déjà? Ensuite essaye d'utiliser la contrainte f(xy)=f(x)f(y) pour montrer que f est croissante.

Salut Nigntmare !
1°) J'essaye et je te tiens au courant.

2°) Oui, si G est un groupe de n éléments et H un sous groupe de G alors le cardinal de H divise celui de G.

3°) Je met la table de composition de G pour :

* 1 i -1 -i
1 1 i -1 -i
i i -1 -i 1
-1 -1 -i 1 i
-i -i 1 i -1

Tout d'un coup j'ai un doute.
Les sous-groupes doivent-ils tous contenir l'élément neutre du groupe : 1 ?

Je vais essayer ce que tu m'as dit pour le II.

[Nightmare]

2) Or H inter G est un sous-groupe de H et de G en même temps, donc...

3) Quelle est la définition d'un sous-groupe?

[Dinozzo13]

2) Or H inter G est un sous-groupe de H et de G en même temps, donc...

3) Quelle est la définition d'un sous-groupe?

2°) Donc card(H inter G)=1

3°) Le problème c'est que j'ai vu plusieurs définition diférentes (en particulier quand G est de cardinal fini ou infini) et je ne sais pas laquelle choisir

[Nightmare]

2) Yes, donc H inter G = ...

3) Théoriquement, plusieurs définitions d'un même objet doivent être équivalentes, donc a priori, peu importe celle que tu utilises.

Quoi qu'il en soit, cite m'en une des définitions.

[Dinozzo13]

II] En partant de f(x+y)=f(x)+f(y), que peux-tu dire de f déjà? Ensuite essaye d'utiliser la contrainte f(xy)=f(x)f(y) pour montrer que f est croissante.

Oui, j'ai oublié de te dire que j'avais établit que , et que .
Par contre, je dois utiliser f(xy)=f(x)f(y) dans f(x+y)=f(x)+f(y) pour montrer que f est croissante ou l'inverse ?

[Nightmare]

Déjà, avant de parler de croissance, tu peux essayer de mieux exploiter f(x+y)=f(x)+f(y).

Cette équation seule implique que pour tout x rationnel, f(x)=xf(1). Pour le comprendre, vois-tu déjà pourquoi ceci est vrai lorsque x est entier?

[Dinozzo13]

2) Yes, donc H inter G = ...

3) Théoriquement, plusieurs définitions d'un même objet doivent être équivalentes, donc a priori, peu importe celle que tu utilises.

Quoi qu'il en soit, cite m'en une des définitions.

Je dirai que H inter G = {1}

H est un sous-groupe de G si et seulement si H non vide et quels que soient a,b de G, .

Quelle est, à ta connaissance, la meilleure définition ou la plus utile en exercice ?

[Nightmare]

Il y a erreur dans ta définition, a et b doivent parcourir H, pas G.

Peux-tu expliquer alors pourquoi le neutre d'un sous-groupe ne peut pas être différent de celui du groupe ambiant?

[Dinozzo13]

Déjà, avant de parler de croissance, tu peux essayer de mieux exploiter f(x+y)=f(x)+f(y).

Cette équation seule implique que pour tout x rationnel, f(x)=xf(1). Pour le comprendre, vois-tu déjà pourquoi ceci est vrai lorsque x est entier?

Non, je ne vois pas du tout comment tu arrives à ce résultat.

Il y a erreur dans ta définition, a et b doivent parcourir H, pas G.

Peux-tu expliquer alors pourquoi le neutre d'un sous-groupe ne peut pas être différent de celui du groupe ambiant?

Je ne sais pas, j'ai proposé 1 parce que c'est celui qui me parait le plus plausible

[Nightmare]

Qu'on s'entende bien déjà, c'est quoi que tu appelles "1" toi déjà?

Concernant f(x+y)=f(x)+f(y), que donne cette égalité quand tu prends y=x? Puis y=2x? etc...

[Dinozzo13]

Qu'on s'entende bien déjà, c'est quoi que tu appelles "1" toi déjà?

Concernant f(x+y)=f(x)+f(y), que donne cette égalité quand tu prends y=x? Puis y=2x? etc...

Selon moi, 1 représente l'élément neutre de G.

Oui, j'avais exploité cette piste mais sans succès :

f(2x)=2f(x) , f(3x)=3f(x) , f(4x)=4x et ainsi, f(nx)=nf(x), n entier naturel

[Nightmare]

Selon moi, 1 représente l'élément neutre de G.

je ne comprends pas ton "selon moi". A priori, c'est toi qui a noté 1 un certain élément de ton groupe, tu dis "selon moi" comme si tu cherchais qui était ce 1 alors que c'est toi qui l'a appelé comme ça.

Bref, tout ceci n'a pas trop de rapport avec ce que je voulais te faire montrer : Si G est un groupe et H un sous-groupe, peux-tu démontrer en utilisant la définition que tu m'as donné que d'une part H est bien un groupe et que son neutre est celui de G?

Oui, j'avais exploité cette piste mais sans succès :

f(2x)=2f(x) , f(3x)=3f(x) , f(4x)=4x et ainsi, f(nx)=nf(x), n entier naturel

Ok, donc en particulier, pour x=1, on obtient que f(n)=nf(1).

Essaye d'étendre ceci à f(x)=xf(1) lorsque x est rationnel. (x=p/q donc...)

[Dinozzo13]

je ne comprends pas ton "selon moi". A priori, c'est toi qui a noté 1 un certain élément de ton groupe, tu dis "selon moi" comme si tu cherchais qui était ce 1 alors que c'est toi qui l'a appelé comme ça.

Bref, tout ceci n'a pas trop de rapport avec ce que je voulais te faire montrer : Si G est un groupe et H un sous-groupe, peux-tu démontrer en utilisant la définition que tu m'as donné que d'une part H est bien un groupe et que son neutre est celui de G?



Ok, donc en particulier, pour x=1, on obtient que f(n)=nf(1).

Essaye d'étendre ceci à f(x)=xf(1) lorsque x est rationnel. (x=p/q donc...)

Je vais essayer.

Pour le II, comment veux-tu que je l'étende à x rationnel ?

[Nightmare]

On veut montrer que f(p/q)=p/q f(1), c'est à dire que qf(p/q)=pf(1) et on sait déjà que pour n entier f(nx)=nf(x) donc...

[Dinozzo13]

f(nx)=nf(x) donc si n=p/q alors f( p/q x)= p/q f(x) et par conséquent qf( p/q x)= pf(x).
Or si x=1 alors qf(p/q)=pf(1)

[Nightmare]

Je ne te suis pas dès la deuxième égalité. f(nx)=nf(x) pour n entier, mais si tu poses n=p/q, n'est pas entier...

[Dinozzo13]

nam, c'est plutôt moi qui ne te suis pas :cry:

[Nightmare]

Il faut que tu essayes. Relis mon message de 22h24.

On veut montrer que qf(p/q)=pf(1) avec p et q des entiers.

On sait que pour tout n entier et x réel, f(nx)=nf(x). Que vaut donc qf(p/q)? Que vaut pf(1)? Conclusion?