Timothé Lefebvre a écrit:Salut,
Puis-je résumer ainsi la définition d'un anneau.
L'anneau (A, +, x) est l'ensemble des triplets constitués d'un ensemble A et de deux lci pour A telles que + est la loi d'addition et x est la loi de multiplication.
Ces deux lci sont définies telles que :
(A,+) est un groupe commutatif. Tous ses éléments sont inversibles et son élément neutre est noté 0.
(A, x) est un magma associatif. Il possède l'élément neutre noté 1.
La multiplication est distributive sur l'addition.
La différence entre (A, +) et (A, x), en dehors de leurs lci, est le fait que (A, +) ait tous ses éléments inversibles (ce qui en fait un groupe) alors que ce n'est pas le cas de (A, x).
Comme un groupe est forcément "fait à partir d'un magma associatif" on a pas besoin de parler d'asso dans la définition.
Intuitivement je dirais qu'il est nettement plus facile de respecter l'inversibilité pour une lci additive que multiplicative. Par exemple, pour être un groupe il faut que tous les éléments soient inversibles, ce qui est le cas pour (Z, +) (Q, +) (R, +) (C, +) mais pas pour (Q, x) (R, x) etc à qui on est obligé d'enlever le 0 si on veut les faire rentrer dans la définition.
Si je prends (N, +, x) par exemple. Pourquoi n'est-il pas un anneau ? Parce que tout simplement (N, +) n'est pas un groupe (commutatif) car dans ces conditions seul 0 a un inverse.
Je note que si le magma (A, x) est commutatif alors l'anneau est aussi dit commutatif.
En gros les anneaux suivants sont commutatifs : (Z, +, x) (Q, +, x) (R, +, x) et (C, +, x).
Qu'est-ce qu'il y a comme exemples d'anneaux non commutatifs ?
Concernant la notion d'intégrité d'un anneau.
J'ai tendance à vouloir dire que, très simplement, un anneau est intègre s'il respecte le fameux produits de facteurs nul que l'on voit en Troisième.
On a donc nos anneaux principaux qui sont intègres.
Mes remarques vous semblent-elles bonnes ?
Nightmare a écrit:Un exemple d'anneau non commutatif est par exemple l'ensemble des fonctions continues sur un compact. (La composée de deux fonctions n'est pas commutative)
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