Timothé Lefebvre a écrit:Salut,
Salut :lol3:
Puis-je résumer ainsi la définition d'un anneau.
L'anneau (A, +, x) est l'ensemble des triplets constitués d'un ensemble A et de deux lci pour A telles que + est la loi d'addition et x est la loi de multiplication.
Ces deux lci sont définies telles que :
Ensemble de triplets? Non pas vraiment. Un anneau éventuellement est un triplet, enfin dans certains ouvrages on définie un anneau par un quintuplet en rajoutant les neutres pour les deux lois. Bref, en fait il est d'usage de dire que l'anneau est A, en précisant de quelles lois on le munit (ou pas si elles sont intuitives, aussi on parlera généralement de l'anneau Z/nZ sans ambigüité puisqu'on sait par habitude qu'on munit cet ensemble des lois + et x définies sur les classes d'équivalences nZ qui lui confèrent une structure naturelle d'anneau)
(A,+) est un groupe commutatif. Tous ses éléments sont inversibles et son élément neutre est noté 0.
(A, x) est un magma associatif. Il possède l'élément neutre noté 1.
La multiplication est distributive sur l'addition.
Oui, c'est la définition d'un anneau (tu peux abandonner le mot "magma" de ton vocabulaire :lol3: )
La différence entre (A, +) et (A, x), en dehors de leurs lci, est le fait que (A, +) ait tous ses éléments inversibles (ce qui en fait un groupe) alors que ce n'est pas le cas de (A, x).
Comme un groupe est forcément "fait à partir d'un magma associatif" on a pas besoin de parler d'asso dans la définition.
Ok
Intuitivement je dirais qu'il est nettement plus facile de respecter l'inversibilité pour une lci additive que multiplicative. Par exemple, pour être un groupe il faut que tous les éléments soient inversibles, ce qui est le cas pour (Z, +) (Q, +) (R, +) (C, +) mais pas pour (Q, x) (R, x) etc à qui on est obligé d'enlever le 0 si on veut les faire rentrer dans la définition.
Il n'y a aucune différence entre une lci additive et multiplicative à part le symbole qu'on leur donnent (d'ailleurs c'est plutôt à cause du symbole qu'on leur donne ce nom). En fait "additive" et "multiplicative" n'ont aucun sens, ils sont juste là pour dissocier les deux lois dans un anneau ou un corps.
Si je prends (N, +, x) par exemple. Pourquoi n'est-il pas un anneau ? Parce que tout simplement (N, +) n'est pas un groupe (commutatif) car dans ces conditions seul 0 a un inverse.
En revanche, lorsqu'on symbolise une loi par la notation additive, on prendra l'habitude de parler d'opposé plutôt que d'inverse (tout comme dans R). [/quote]
Je note que si le magma (A, x) est commutatif alors l'anneau est aussi dit commutatif.
En gros les anneaux suivants sont commutatifs : (Z, +, x) (Q, +, x) (R, +, x) et (C, +, x).
Qu'est-ce qu'il y a comme exemples d'anneaux non commutatifs ?
En supposant que les lois que tu emploies sont les lois usuelles alors oui les ensembles cités sont bien des anneaux.
Un exemple d'anneau non commutatif est par exemple l'ensemble des fonctions continues sur un compact. (La composée de deux fonctions n'est pas commutative)
Concernant la notion d'intégrité d'un anneau.
J'ai tendance à vouloir dire que, très simplement, un anneau est intègre s'il respecte le fameux produits de facteurs nul que l'on voit en Troisième.
On a donc nos anneaux principaux qui sont intègres.
Oui c'est ce exactement la définition d'un anneau intègre, c'est un anneau où un produit n'est nul que si l'un des facteurs l'est.
Mes remarques vous semblent-elles bonnes ?
Oui :lol3:
