Questions de cours sur les lois internes, groupes, anneaux e

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 06 Nov 2009, 07:08

Re :)

Je suis passé à la suite du cours.
Cette fois-ci j'ai quelques difficultés à voir la différence entre endomorphisme et automorphisme.

Un endomorphisme de G est simplement un morphisme de G dans G.
Un automorphisme de G est un isomorphisme de G sur G.

D'après ce que j'ai compris : (on considère les groupes (G,*) et (T,.))

1) Un endomorphisme de G dans G correspond à un morphisme de G dans G, c'est à dire qu'une application f de G dans G est donc définie telle que :
f(x)*f(y) = f(x*y) ou bien f(xy) = f(x) f(y).
Ici l'endomorphisme de groupe est l'application f qui se contente de transformer les produits de G en produits de G.

2) Un isomorphisme de G sur G est un automorphisme de G.
Techniquement, si je pose f une application isomorphe de G dans T alors, comme f est bijective, les éléments de G correspondent parfaitement à ceux de T. Et comme f est un morphisme, elle transforme les produits de G en produits de T.
Je considère donc que par f, les deux groupes sont identiques au niveau de leur structure. Seul les appellations sont là pour marquer la différence.

Ma question est alors : dans les deux cas on a la même conclusion, qu'est-ce qui nous permet de différencier les deux ?
Je penche pour le caractère bijectif de f mais je ne suis pas sûr ...

Merci à vous tous pour vos réponses ;)



alavacommejetepousse
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par alavacommejetepousse » 06 Nov 2009, 07:22

bonjour

tu fais les questions et les réponses

l isomorphisme (de n importe quelle structure) "transporte bijectivement" la structure

et permet d identifier les deux ensembles ( et leur structure)

le morphisme conserve simplement la structure

le caractère endo n 'est pas pertinent ici

le morphisme nul (qui existe tjrs) ne "sert" à rien mais l isomorhisme ln

permet d identifier (R+*,x) et (R,+)

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 06 Nov 2009, 07:33

Donc en conclusion mon isomorphisme et mon endomorphisme se différencient juste par le fait que l'application isomorphe soit bijective alors que celle de l'endomorphisme ne l'est pas.

Ça te semble être une bonne conclusion ?

alavacommejetepousse
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par alavacommejetepousse » 06 Nov 2009, 07:47

oui mais "juste" me sembe faible


grâce à un isomorphisme tu verras des résultats du genre

"il y a unicité de la solution à un isomorphisme près"

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 06 Nov 2009, 07:53

Oui, j'ai vu que les isomorphismes étaient très intéressants.
Dans mon cours j'ai un exemple d'isomorphisme de (, +) sur ({-1,1}, x).

Je te remercie pour tes explications !

Au passage, pourrais-tu juste rapidement vérifier mes conclusions de la veille dans mon dernier message ? Merci beaucoup :)

alavacommejetepousse
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par alavacommejetepousse » 06 Nov 2009, 07:59

sur le fait de pouvoir supprimer les lois dans les notations?

oui c'est correct car il n y a qu une loi par ensemble; tu dois en maths toujours définir les objets; donc si tu prends x tu dois dire si x est dans G où G' ; à partir de là la loi est imposée

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 06 Nov 2009, 08:00

D'accord, merci beaucoup !

Je reviendrai sur ce topic en cas d'autres questions (je pense qu'il y en aura !)

Bonne journée

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 06 Nov 2009, 12:33

Une autre question :D

Dans le paragraphe concernant les définitions du noyau et de l'image d'un morphismes de groupes j'ai pris quelques notes, et je voulais m'assurer de leur véracité.

Soient G et T deux groupes, et soit f de G dans T un morphisme de groupes.
J'ai essayé de résumer les notions de noyau et d'image par ces deux phrases :

1) Le noyau f désigne les éléments de G qui, associés à f, donnent l'élément neutre de T.

2) L'image de f désigne les éléments de T qui sont les images d'un ou plusieurs éléments de G par le morphisme f.


J'ai, juste avant dans le cours, la composition des morphismes de groupes.
En prenant G, G' et G'' trois groupes, puis en considérant les applications f de G dans G' et g de G' dans G'' alors gof est un morphisme de groupes de G dans G''. Ici, pas de problème.
Je me demandais comment montrer qu'une application est un morphisme de groupes. Suffit-il de montrer que cette application respecte la condition suivante : pour tout (x,y) dans G² on a f(x*y) = f(x).f(y)
Pour démontrer ce qu'on cherche il suffit de prendre deux éléments de G et de vérifier qu'ils "fonctionnent" de la sorte ? Bien entendu on doit aussi vérifier les conditions sur les groupes.

Merci à tous

alavacommejetepousse
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par alavacommejetepousse » 06 Nov 2009, 12:37

tout correct si ce n est que l image de f est un ENSEMBLE tout simplement l ensemble des images des éléments de G

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 06 Nov 2009, 12:38

Super merci, je corrige ça de suite !

Skullkid
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par Skullkid » 06 Nov 2009, 13:44

Pour montrer que f est un morphisme, tu dois en effet, après avoir montré que les ensembles de départ et d'arrivée sont des groupes, montrer que toute paire d'éléments de G (départ) vérifient la relation.

Une propriété qui peut parfois raccourcir un peu les démonstrations : si tu as G un groupe, H un magma admettant un neutre, et f une application surjective de G sur H qui vérifie la propriété f(xy) = f(x)f(y), alors tu as directement que H est un groupe, et du coup f est un morphisme. Ça peut servir quand montrer que H est un groupe est un peu fastidieux, et que la surjectivité de f est relativement triviale.

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 06 Nov 2009, 15:03

Ok, je comprends bien.

Comment montrer, techniquement, qu'une application est surjective ?

Nightmare
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par Nightmare » 06 Nov 2009, 16:15

Généralement en utilisant la définition, après ça dépend des cas.

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 06 Nov 2009, 16:21

D'accord, merci.

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 07 Nov 2009, 17:08

Salut,

nouvelle question.
Structure d'anneau.

Puis-je résumer ainsi la définition d'un anneau.

L'anneau (A, +, x) est l'ensemble des triplets constitués d'un ensemble A et de deux lci pour A telles que + est la loi d'addition et x est la loi de multiplication.
Ces deux lci sont définies telles que :

(A,+) est un groupe commutatif. Tous ses éléments sont inversibles et son élément neutre est noté 0.
(A, x) est un magma associatif. Il possède l'élément neutre noté 1.
La multiplication est distributive sur l'addition.

La différence entre (A, +) et (A, x), en dehors de leurs lci, est le fait que (A, +) ait tous ses éléments inversibles (ce qui en fait un groupe) alors que ce n'est pas le cas de (A, x).
Comme un groupe est forcément "fait à partir d'un magma associatif" on a pas besoin de parler d'asso dans la définition.

Intuitivement je dirais qu'il est nettement plus facile de respecter l'inversibilité pour une lci additive que multiplicative. Par exemple, pour être un groupe il faut que tous les éléments soient inversibles, ce qui est le cas pour (Z, +) (Q, +) (R, +) (C, +) mais pas pour (Q, x) (R, x) etc à qui on est obligé d'enlever le 0 si on veut les faire rentrer dans la définition.

Si je prends (N, +, x) par exemple. Pourquoi n'est-il pas un anneau ? Parce que tout simplement (N, +) n'est pas un groupe (commutatif) car dans ces conditions seul 0 a un inverse.

Je note que si le magma (A, x) est commutatif alors l'anneau est aussi dit commutatif.
En gros les anneaux suivants sont commutatifs : (Z, +, x) (Q, +, x) (R, +, x) et (C, +, x).
Qu'est-ce qu'il y a comme exemples d'anneaux non commutatifs ?

Concernant la notion d'intégrité d'un anneau.
J'ai tendance à vouloir dire que, très simplement, un anneau est intègre s'il respecte le fameux produits de facteurs nul que l'on voit en Troisième.
On a donc nos anneaux principaux qui sont intègres.

Mes remarques vous semblent-elles bonnes ?

Merci à vous de m'avoir lu.

Nightmare
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par Nightmare » 07 Nov 2009, 17:22

Timothé Lefebvre a écrit:Salut,


Salut :lol3:


Puis-je résumer ainsi la définition d'un anneau.

L'anneau (A, +, x) est l'ensemble des triplets constitués d'un ensemble A et de deux lci pour A telles que + est la loi d'addition et x est la loi de multiplication.
Ces deux lci sont définies telles que :



Ensemble de triplets? Non pas vraiment. Un anneau éventuellement est un triplet, enfin dans certains ouvrages on définie un anneau par un quintuplet en rajoutant les neutres pour les deux lois. Bref, en fait il est d'usage de dire que l'anneau est A, en précisant de quelles lois on le munit (ou pas si elles sont intuitives, aussi on parlera généralement de l'anneau Z/nZ sans ambigüité puisqu'on sait par habitude qu'on munit cet ensemble des lois + et x définies sur les classes d'équivalences nZ qui lui confèrent une structure naturelle d'anneau)


(A,+) est un groupe commutatif. Tous ses éléments sont inversibles et son élément neutre est noté 0.
(A, x) est un magma associatif. Il possède l'élément neutre noté 1.
La multiplication est distributive sur l'addition.


Oui, c'est la définition d'un anneau (tu peux abandonner le mot "magma" de ton vocabulaire :lol3: )

La différence entre (A, +) et (A, x), en dehors de leurs lci, est le fait que (A, +) ait tous ses éléments inversibles (ce qui en fait un groupe) alors que ce n'est pas le cas de (A, x).
Comme un groupe est forcément "fait à partir d'un magma associatif" on a pas besoin de parler d'asso dans la définition.


Ok


Intuitivement je dirais qu'il est nettement plus facile de respecter l'inversibilité pour une lci additive que multiplicative. Par exemple, pour être un groupe il faut que tous les éléments soient inversibles, ce qui est le cas pour (Z, +) (Q, +) (R, +) (C, +) mais pas pour (Q, x) (R, x) etc à qui on est obligé d'enlever le 0 si on veut les faire rentrer dans la définition.


Il n'y a aucune différence entre une lci additive et multiplicative à part le symbole qu'on leur donnent (d'ailleurs c'est plutôt à cause du symbole qu'on leur donne ce nom). En fait "additive" et "multiplicative" n'ont aucun sens, ils sont juste là pour dissocier les deux lois dans un anneau ou un corps.

Si je prends (N, +, x) par exemple. Pourquoi n'est-il pas un anneau ? Parce que tout simplement (N, +) n'est pas un groupe (commutatif) car dans ces conditions seul 0 a un inverse.


En revanche, lorsqu'on symbolise une loi par la notation additive, on prendra l'habitude de parler d'opposé plutôt que d'inverse (tout comme dans R). [/quote]


Je note que si le magma (A, x) est commutatif alors l'anneau est aussi dit commutatif.
En gros les anneaux suivants sont commutatifs : (Z, +, x) (Q, +, x) (R, +, x) et (C, +, x).
Qu'est-ce qu'il y a comme exemples d'anneaux non commutatifs ?


En supposant que les lois que tu emploies sont les lois usuelles alors oui les ensembles cités sont bien des anneaux.

Un exemple d'anneau non commutatif est par exemple l'ensemble des fonctions continues sur un compact. (La composée de deux fonctions n'est pas commutative)

Concernant la notion d'intégrité d'un anneau.
J'ai tendance à vouloir dire que, très simplement, un anneau est intègre s'il respecte le fameux produits de facteurs nul que l'on voit en Troisième.
On a donc nos anneaux principaux qui sont intègres.


Oui c'est ce exactement la définition d'un anneau intègre, c'est un anneau où un produit n'est nul que si l'un des facteurs l'est.

Mes remarques vous semblent-elles bonnes ?


Oui :lol3:

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 07 Nov 2009, 17:31

Super, merci beaucoup de ta réponse ;)

Par rapport au mot magma (il me semblait bien qu'on ne l'utilisait que très peu !), par quoi puis-je le remplacer ? Comment appelles-tu un ensemble muni d'une lci ? Un ensemble ?!

Concernant ta remarque sur les inverses et opposés, oui, ça m'était sorti de la tête !

Autre chose : les règles de calcul dans un anneau sont les mêmes que celles que l'on connait depuis le collège pour R ?
Par exemple, si je multiplie un élément de l'anneau par l'élément neutre 0 alors je retombe sur celui-ci ; la multiplication est associative ; ...
Une question qui me vient à l'esprit : dans un anneau la multiplication n'est pas nécessairement commutative ? Ce n'est que dans le cas d'un anneau commutatif, c'est bien ça ?

Nightmare
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par Nightmare » 07 Nov 2009, 17:35

Pour un ensemble muni d'une lci on parle juste d'un ensemble munit d'une lci. Déjà lorsqu'on est amené à introduire une loi on doit la détailler, donc on aura des énoncés du type "montrer que la la loi machin définie par truc munit l'ensemble bidule d'une structure de turlipimpom"

Oui pour le reste (bien que ta dernière question contienne déjà sa réponse)

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 07 Nov 2009, 17:36

Ok, je te remercie, je prends tout ça en notes ;)

A +

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 07 Nov 2009, 17:56

Nightmare a écrit:Un exemple d'anneau non commutatif est par exemple l'ensemble des fonctions continues sur un compact. (La composée de deux fonctions n'est pas commutative)

Je reviens là-dessus.
Effectivement la composée de deux fonctions n'est pas commutative parce que fog n'est pas forcément égal à gof (très rarement même).
Comment dois-je faire le lien avec les anneaux ?

Quand je parle de composition de deux fonctions je dois préciser là où mes fonctions prennent leurs valeurs et là où elles les injectent.
Je sais maintenant que je peux ainsi définir ces "endroits" comme des groupes et dire que la composition est un morphisme de groupes, mais le lien à faire entre ça et les anneaux m'échappe.

Allez, j'essaye de deviner. Mes groupes sont déjà munis d'une loi interne. Pour en faire des anneaux il m'en faut une deuxième. Il faut aussi que je vérifie que les conditions soient bien respectées. L'un de mes groupes, au moins, doit être commutatif et le second peut se contenter de rester groupe.

C'est pas très clair je sais, désolé !

 

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