Incompréhension du cours (sur les anneaux)

[Hardtoexplain91]

Bonsoir, mes questions concerneront mon cours :s, j'ai des bouts comme ça et je ne sais pas à quoi ça correspond..

J'ai alpha = xy.(x+y) = xyx+xy²
= xxy+xy²
= x²y+xy²
= xy+yx
= 0

Pourquoi est-ce égal à 0 lorsqu'on a simplifié?
sinon, Quelque soit (x,y) appartient à A² (c'est la suite)
xy(x+y)=0 XY = 0
On dit que l'anneau n'est pas intègre...

Je n'ai pas compris :s?

merci d'avance pour vos explications

bonne soirée

[uztop]

tu es toujours dans le cas d'un anneau de Boole ?

[Joker62]

Aille

Tu penses pas qu'il manque un ptit détail sur l'anneau en question ?
J'suppose que c'est l'anneau de Boole comme dans l'autre post ?
Tout se joue sur la commutativité :^)

Sinon un anneau est intégre quand il n'a pas de diviseur de zéro
Autrement dit si pour tout x,y € A : xy = 0 => x = 0 ou y = 0

Goue d'baille

[Hardtoexplain91]

justement, j'en sais pas plus.. c'est effectivement à la suite de la démonstration de la commutativité de l'anneau de boole, mais après :s

[uztop]

si on parle toujours d'un anneau de Boole, on a vu
-que c'est commutatif xy=yx
-que x+x = quel que soit x
Donc si tu appliques ici, tu trouves bien 0

[Hardtoexplain91]

v voir ça tout de suite

[Hardtoexplain91]

on a posé X= xy et Y = x+y ?

[Hardtoexplain91]

et pourquoi on peut en déduire que ce n'est pas intègre

on a bien XY=0 non?

[uztop]

J'ai alpha = xy.(x+y) = xyx+xy²

là on a juste développé

= xxy+xy²

On a utilisé la commutativité xyx=xxy

= x²y+xy²

xx=x²

= xy+yx

c'est un anneau de boole donc x²=x et y²=x
En fait, on trouve xy+yx mais comme la loi + est commutative ça revient au même

= 0

Là, il y a deux étapes:
alpha=xy+xy par commutativité
= 0 parce que x+x=0 quel que soit x

[uztop]

et pourquoi on peut en déduire que ce n'est pas intègre

on a bien XY=0 non?

oui, on a donc trouvé un diviseur de 0, ce qui prouve que l'anneau n'est pas intègre.

[Hardtoexplain91]

jcomprends pas.. un diviseur de 0?

exemple: si on a AB=0, si A = 0 ou B= 0, cet anneau est intègre ou pas? Et si oui, pourquoi?

[uztop]

un diviseur de 0 c'est un élément, autre que 0 qui donne 0 quand on le multiplie par autre chose.
En clair si A.B=0 et que et alors A et B sont des diviseurs de 0.
Par définition, un anneau intègre est un anneau qui n'a pas de diviseurs de 0.

Or, ici on trouvé que pour tout x et y, xy.(x+y)=0
xy et x+y ne sont pas égaux à 0, on a donc bien trouvé des diviseurs de 0 et l'anneau de Boole n'est donc pas intègre.

[Hardtoexplain91]

et j'ai encore une question.. j'arrête après ^^: la première loi, c'est + et la deuxième loi, . n'est-ce pas? Ont-elles des propriétés, c'est-à-dire l'associativité, etc?.

[uztop]

Il y a effectivement deux lois + et .
+ est associative ( a+(b+c) = (a+b)+c) et commutative (a+b=b+a)
. est associative et distributive par rapport à + c'est à dire a(b+c) = ab+ac

Par contre, il n'y a aucune obligation à ce que la loi . soit commutative.
Si t'as encore des questions n'hésite pas (j'espère que je saurais y répondre)

[Hardtoexplain91]

elles sont internes non?

jpense que jv partir là, il se fait tard... demain jv attaquer les espaces vectoriels, et connaissant mon prof, j'aurais déjà finis cette partie du programme demain,

seriez-vous là demain? (aprem, soir..) ?

[uztop]

oui c'est des lois de compositions internes.
Je serai peut être là demain soir, je sais pas encore (surement pas aprem vu que je travaille)
Par contre, tu peux me tutoyer, j'aime pas le vous, et puis je suis pas si vieux que ça ;)

[Hardtoexplain91]

C'est noté ;), je serais par ailleurs, très souvent sur le forum.. vu que mon DS approche.. et tu dois surement connaître le stress des exams de maths T_T.. surtout qd les exos sont infaisables


bref, je te dis à demain soir alors ;)

et merci encore !