Questions de cours sur les lois internes, groupes, anneaux e

[Nightmare]

Tim > Comme l'a souligné Doraki, mon anneau n'en est pas un, prends comme contrindiqué des applications linéaires (ou des matrices, ça revient au même).

[Nightmare]

Intéressant ! En premier lieu j'aurais tendance à rapprocher cette question de la définition d'un polynôme.
Un polynôme de la forme défini dans un anneau K[X] est bien une suite qui converge vers 0, non ... ?
Pour moi ce serait la première raison, et à vrai dire je n'en vois pas d'autre pour le moment.

Je continue à chercher.

Un polynôme une suite qui converge vers 0? Où as-tu lu ça? (A la vue des erreurs grossières que je peux écrire, ça vient peut être de moi :lol3: )

Un polynôme est une suite à support fini, cela dit aucun rapport entre notre anneau et les suites. C'est encore tout chaud il faut laisser reposer un peu.

[Timothé Lefebvre]

Salut,

je passe ici entre deux DM de français et anglais ...

Alors, j'en reviens à mon idée sur les polynômes.
En fait je voulais dire que l'ensemble, muni de la multiplication et de l'addition (que l'on définira asse facilement), des polynômes forme un anneau commutatif.
Pour moi un polynôme c'est une suite dont les termes deviennent nuls à partir d'un certain rang : c'est ce qui me faisait dire que la suite en question convergeait vers 0.

A la relecture, cette dernière affirmation que j'ai mise en italique me paraît fausse.

En fait, pour résumer la notation de l'anneau commutatif K, je dirais que l'anneau commutatif est l'ensemble des polynômes à coefficients dans .

[kazeriahm]

Oui, un polynome à coefficients dans K est (ou s'identifie à, selon la définition que tu considères) une suite d'éléments de K nulle à partir d'un certain rang. K[X] est effectivement un anneau commutatif (si tant est que K est un corps commutatif).

Effectivement, l'anneau des suites nulles à partir d'un certain rang est inclus dans l'anneau des suites convergeant vers 0. Tu peux répondre simplement à la question de Nightmare (avec des outils de lycée), si tu la comprends bien : pourquoi est-ce que l'ensemble des suites convergeant vers 0 est un anneau (muni de l'addition et de la multiplication terme à terme) ?

Est-ce que l'ensemble des suites convergeant vers 1 est un anneau ?

[Nightmare]

Ce que tu dis est juste et plutôt pertinent si c'est dit dans le sens où je l'entends. En fait en identifiant les polynômes avec les suites à support fini, et ayant montré comme je te l'ai dit que les suites qui convergent vers 0 forment un anneau on en déduit rapidement que les suites à support fini, donc les polynômes, en forment un sous-anneau donc un anneau.

Bref, je voudrais vraiment que tu vois par contre pourquoi l'ensemble des suites qui convergent vers un autre nombre de 0 ne forme pas un anneau. (Disons vers 1)

[Nightmare]

Salut kazeriahm :happy3:

[kazeriahm]

Salut kazeriahm :happy3:

Hello Nightmare :we:

[Timothé Lefebvre]

Re, j'y ai un peu réfléchi et je pense explorer deux pistes :

1) Trouver ce qui différencie de suites de convergences différentes, et en quoi cette différence peut m'aider.

2) Trouver une faille dans la définition, un critère non rempli qui ferait que l'ensemble des suites ne convergent pas vers 0 ne soit pas un anneau.

[Nightmare]

Attention !

Je ne parle pas de l'ensemble des suites qui ne convergent pas vers 0 mais de l'ensemble des suites qui convergent vers un réel/complexe fixé non nul ! (par exemple les suites qui convergent vers 1)

Prenons déjà A l'ensemble des suites qui convergent vers 0 et E l'ensemble des suites qui convergent vers 1.
Ici, les lci dont on munit naturellement l'ensemble A sont les opérations et définies par : et ou et sont les lois usuelles sur le corps de base.

Pourquoi ne peut-on pas munir E de ces même opérations pour en faire un groupe? (Deux raisons, l'une secondaire)

[Timothé Lefebvre]

A cause des éléments neutres ?

[Nightmare]

Alors je corrige quelques trucs que j'ai écrit déjà :

Je voulais bien sûr dire "Pourquoi ne peut-on pas munir E de ces même opérations pour en faire un anneau?

Et mes lois + et * ne sont pas celles sur le corps de base mais celles sur l'anneau des fonctions sur ce corps (bon ce sont quasiment les même). Bref si on veut c'est la somme terme à terme et le produit terme à terme comme l'a dit Kazeriahm.

Concernant les éléments neutre, quel est leur problème?

[Timothé Lefebvre]

Je viens de me rendre compte que ma remarque n'avais pas de sens. Je m'explique.

Je pensais que pour un anneaux, ses deux lois admettaient un élément neutre chacun. 0 pour l'addition et 1 pour la multiplication. Je me disais que les suites qui tendaient vers 1 ne l'atteignaient pas et privait ainsi l'anneau de l'un de ses élément neutre, mais c'est con de dire ça puisque les suites qui tendent vers 0 le "priveraient" ainsi de 0 et pourtant l'ensemble qu'elles forment est bien un anneau.

J'ai peut-être une piste. Je vais raisonner par l'absurde : je suppose que E est un anneau. Pour montrer qu'un ensemble est un anneau je peux normalement montrer qu'il est le sous-anneau d'un certain anneau connu.
Donc, si E n'est pas un anneau, je ne devrais pouvoir en trouver aucun.

Est-ce que ça te paraît être une bonne piste ?
Moi ça me paraît trop compliqué à faire, on ne peut pas tout vérifier :/

[Nightmare]

D'ailleurs A n'est pas un anneau non plus munit de ces lois !

[Nightmare]

Désolé posts croisés. Je n'ai pas trop compris ton premier paragraphe mais je crois que c'est ça. En gros A et E ne sont pas des anneaux car ils ne possèdent pas de neutres pour respectivement la loi multiplicative et la loi additive (puisque la suite constamment égale à 1 ne converge pas vers 0 et la suite nulle ne converge pas vers 1).

Une autre raison pour laquelle E n'est pas un anneau est que la loi + n'y est pas interne (la somme de deux suites convergeant vers 1 ne converge pas vers 1).

Par contre ces deux ensembles sont des groupes abéliens.

Concernant ce que tu as dit à la fin, je ne comprends pas ce que tu veux faire. Pour montrer qu'un truc n'est pas un anneau tu vas montrer qu'il n'est un sous-anneau d'aucun anneau c'est ça? Infaisable.

[Timothé Lefebvre]

En gros A et E ne sont pas des anneaux car ils ne possèdent pas de neutres pour respectivement la loi multiplicative et la loi additive (puisque la suite constamment égale à 1 ne converge pas vers 0 et la suite nulle ne converge pas vers 1).

Ah, super, c'est plus simple alors comme ça !
Je comprends bien, c'est ce que je cherchais à exprimer.

Concernant ce que tu as dit à la fin, je ne comprends pas ce que tu veux faire. Pour montrer qu'un truc n'est pas un anneau tu vas montrer qu'il n'est un sous-anneau d'aucun anneau c'est ça? Infaisable.

Ok, c'est bien ce qu'il me semblait.

la suite constamment égale à 1 ne converge pas vers 0 et la suite nulle ne converge pas vers 1

Je reviens sur ça.
Les suites que l'on évoque depuis tout à l'heure sont bien des polynômes dans un certain anneau; n'est-ce pas ?
Je ne comprends pas bien cette phrase-ci.

[Nightmare]

Pourquoi vois-tu des polynômes partout? Je parle de suites comme les suites qu'on voit depuis la 1ère. Tu n'as pas encore fait ça en cours?

[Timothé Lefebvre]

Si si !
Désolé, en fait je voyais des polynômes ici parce qu'on avait prit l'exemple tout à l'heure.
Ok, maintenant que le flou est levé je pige ta remarque.

Bon, je prends tout ça en note et je poursuis dans le cours.

Merci de ton aide.

[kazeriahm]

En fait c'est ca, l'algèbre que tu verras en prépa (t'es en prépa ??) reste assez "simple" (pour dire que les côtés vraiment techniques viennent au delà de la prépa), tant que tu arrives à bien visualiser de quoi tu parles.

Il ne faut pas être impressionné par les mots "groupes", "anneaux", etc... Les objets manipulés sont (généralement) simples à appréhender individuellement, le fait de poser une structure sur les ensembles permet d'étudier leur comportement globaux. Ca doit pas être très clair. Tout ca pour dire que l'ensemble des polynomes s'identifie bien à un sous anneau de l'anneau des suites convergeant vers 0, mais pas à l'anneau entier. Bref, je sors... :briques:

[Nightmare]

Oui kazeriahm on est d'accord mais ce n'est pas ainsi que Tim emploie les polynômes!

[Timothé Lefebvre]

Non, je suis encore au lycée, je ne fais que m'intéresser à ces élégantes petites choses et tenter de les comprendre :)

Mon problème venait du fait que je considérait mal les polynômes dans ce cas-là, mais ce n'est maintenant plus le cas.