Défi triangle

[yos]

Bonjour.
Il est bien connu que dans un triangle, .
Le point I est lui un peu exclus de la droite d'Euler. On peut cependant calculer OI en fonction de R et de r. Sauriez-vous le faire?
Peut-on calculer de la même façon IH ou IG? Pour cette deuxième question, je n'ai pas la réponse.

[maf]

Hello, (1. Vive la Suisse :-) ...)

O c'est le centre du cercle circonscrit et les points I sont les point d'intersections du cercle d'Euler avec le triangle.

Les points O, G, H sont sur la droite d'Euler où G est l'isobarycentre et H l'orthocentre

De plus, il me semble que les points sont sont également les milieux des côtés du triangle.

Je sais que y a pas de démonstration encore là dedans ... mais c'est bien ça les points dont tu parles ??

[yos]

O,R :centre et rayon du cercle circonscrit
I,r : centre et rayon du cercle inscrit
H :orthocentre
G : centre de gravité

[Imod]

Bonsoir yos .

Un résultat très connu , "théorème d'Euler" : . Il existe d'ailleurs une "réciproque" de cette propriété . Pour les autres relations , il y a du travail sur la planche .

Imod

[yos]

Oui j'ai deux preuves différentes de ce résultat.
On peut en déduire avec égalité ssi équilatéral.
La réciproque dont tu parles est " si deux cercles de rayon R,r sont tels que la distance entre leur centre est , alors il existe un triangle blablabla".
Je pense que les autres distances doivent se calculer par des méthodes semblables (coordonnées barycentriques par exemple).

[nuage]

Salut,
En fait la réciproque est plus forte que ça : c'est l'alternative de Poncelet.
Si on prend un point qqc A sur le cercle extérieur et que l'on trace une tangente au cercle intérieur elle recoupe le 1° cercle en B, on recommence on obtient un point C on recommence on tombe sur A.
Mais je ne connais pas de démonstration élémentaire.
On peut regarder ici pour quelques idées.

[yos]

Oui nuage, tu as raison. Le triangle en question s'obtient en partant de n'importe quel point de l'un des deux cercles. Il n'y a pas de gros problème pour la preuve : on fait la construction dont tu parles et on applique le sens direct au triangle ABC.