Défi

[Sylar]

Bonsoir,voila je lance un défi :trouver la solution de ce problème:

Montrer que l'ensemble des réels x qui vérifient l'inéquation :

Sum{k=1...70}[k/(x-k)]>= (5/4)
est la réunion d'intervalles disjoints dont la somme des longueurs a pour valeur 1988.

Good luck.....

[Sylar]

Moi j'ai vraiment aucune idée :triste:

[Joker62]

0 n'est pas l'union des intervalles :) !
Voilà j'en suis là :)

Juste comme ça : la longueur d'un intervalle [a;b] c'est bien b-a ?

[alben]

Bonjour,

Il est clair que x ne peut pas prendre les valeur entières de 1 à 70. En revanche, il peut prendre toutes les valeurs de ]70,a] où a est égal à un peu plus de 2035 et correspond à l'égalité. Ce qui est plus coton, c'est ce qui se passe avant 70. Par exemple x=55.50 donne une somme de plus de 2 mais 55,51 est négatif...

[Pouick]

et si on prend x = 1,01 ca marche aussi non? 2,00005 aussi je pense ... donc sur chaque intervalle [n,n+1] n entre 0 et 69 il faut etudier la fonction pour regarder a partir de combien elle est plus grde que 5/4 ... ?

[Imod]

Je n'ai pas eu le temps de regarder dans le détail mais on peut dire que les fonctions sont toutes les "mêmes" à une translation près et la somme des différents doit pouvoir se ramener à une somme de valeurs de . Je ne sais pas si ça un intérêt quelconque !!!

Imod

[Joker62]

Alben la valeur de 2035 tu l'as trouvée à taton ???

[Edrukel]

source : exercice 4 , Olympiade 1988, Canberra, Australie
http://www.animath.fr/olympiades/sujets_88.html

[Joker62]

On s'en douté tous un ptit peu que ça venait de l'année 1988 :)

[emdro]

La solution de l'inéquation est la réunion d'intervalles de la forme pour p variant de 1 à 70.
La somme de leurs longueurs est , ou encore .
Reste à trouver la somme des .

Mais ces sont les solutions de l'équation .
Il suffit de la transformer sous forme polynomiale normalisée, et se lira comme l'opposé du coefficient de .

[emdro]

Je poursuis:
En mettant au même dénominateur, chaque se transformera en un quotient dont:
* le numérateur est k(x-1)(x-2)...(x-70) (mais où ne figure pas le (x-k))
* le dénominateur est (x-1)(x-2)...(x-70) (avec le (x-k))

En développant:
* le numérateur est
* le dénominateur est soit encore

La somme est une grande fraction de numérateur:
* le numérateur est soit
* le dénominateur est

L'équation devient:


Par un produit en croix,


La somme des racines est donc 9*2485/5=4473

Et lorsqu'on retranche les 2485, cela donne bien 1988!

[Edrukel]

même type de réponse
http://www.kalva.demon.co.uk/imo/isoln/isoln884.html

[BQss]

On s'en douté tous un ptit peu que ça venait de l'année 1988

Tu travailles a la police scientifique ?

[emdro]

même type de réponse
http://www.kalva.demon.co.uk/imo/isoln/isoln884.html

Je me doutais de n'avoir pas fait avancer les mathématiques avec cette réponse, mais cela fait quand même plaisir de l'avoir trouvé soi-même...

[Joker62]

Impressionnant et Joli !
Par contre le passage :

La somme des racines est donc : 9 * 2485 / 5

ça vient d'où ça ?

[emdro]

It's a joke, dear Joker?

Je prends la question au premier degré, et je réponds:

Si tu développes tu auras , soit si on pose S la somme des racines.

Du coup cette somme est le coeff de sur celui de .

Les fonctions symétriques, tu as échappé à cela?

[Edrukel]

il écrit : a(n)x^n+a(n-1)x^(n-1)+...=0
puis x^n+a(n-1)/a(n)x^(n-1)+..=0
et la somme des racines = a(n-1)/a(n)=9 * 2485 / 5

[Joker62]

C'était pas une blague, j'ai pas fait tilt tout de suite
Mais là oui j'ai vu lol :D

Merci :D

[Sylar]

Bien joué les gars :zen:

[Joker62]

Ce qui est bien c'est qu'on a trouver la somme des u_p sans savoir ce que c'est !