Re-défi

[mathelot]

bonjour,

je corrige mon énoncé:

soit

1) Quel est le nombre de racines du polynome
dans l'intervalle ]0;1[
2) soit une suite de réels de ]0;1[ tels que
La suite () converge t elle ?

[Imod]

Bonsoir .

Une réponse pour la première question ( la deuxième attendra demain ) . Pour n=1 ou n=2 le polynôme n'a pas de racine dans ]0;1[ . Pour n>2 en étudiant la dérivée sur ]0;1[ , on constate que Pn décroît sur [0;xn] puis croît sur [xn;1] avec Pn(0)=1 et Pn(1) = 0 ( xn est la racine n-1 de 2/n ) . Alors Pn a au plus 1 racine et il suffit de trouver une valeur négative pour Pn(x) pour assurer l'existence de cette racine . On a Pn(3/4)< 0 , le polynôme a donc une racine unique ( elle appartient à ]0;3/4[ ) .

Imod

[mathelot]

D'accord, d'après le tableau de variation,
a une unique racine dans

soit où atteint son minimum.

est strictement croissante sur
donc et ne s'annule pas sur

est strictement décroissante sur

conclusion:
a unique racine dans

Comme , cette racine appartient à . On note cette racine.

[fahr451]

la limite est 1/2 ;la suite est bornée et monotone d'après les variations de Pn
et le fait que x^(n+1) < x^n d'où convergence vers 0xn^(n) ->0 donc xn ->1/2

[mathelot]

bonjour,
comme est racine de

d'où


Bravo à vous deux. :we: