Défi 33

par **yos** » 06 Fév 2007, 18:40

Déterminer à isométrie près tous les triangles CEDMO (Côtés Entiers Deux Médianes Orthogonales).

par **Imod** » 07 Fév 2007, 00:17

Un premier débroussaillage , on est amené à résoudre le système :

avec a , b ,c entiers est x , y réels positifs , on doit pouvoir dire bien plus :we:

Imod

par **yos** » 07 Fév 2007, 00:39

Oui c'est bien. Tu peux éliminer x, y et ta condition restera suffisante. Le problème devient (presque) purement diophantien.

par **Imod** » 07 Fév 2007, 00:43

C'est là où je voulais en venir , mais là , il est un peu tard :dodo:

Imod

par **Imod** » 07 Fév 2007, 10:55

En éliminant

,

et sous toute réserve :

avec

,

entiers et

.

Imod

par **yos** » 07 Fév 2007, 13:25

J'obtiens la même paramétrisation que toi pour l'équation diophantienne b²+c²=5a². Ceci en cherchant les points d'intersection du cercle x²+y²=5 avec les droites à pente rationnelle passant par A(2,1). Une fois paramétrisé l'ensemble des points rationnels de ce cercle par

, j'ai peiné pour remonter à l'équation

.
T'as pas trainé dis donc! Tu as dû trouvé une méthode plus courte??
Qui plus est, je n'ai pas cherché les conditions a+b>c et a+c>b en termes de u et v. Tu dis que u>3v est la condition? Il faudra que je regarde.

par **Imod** » 07 Fév 2007, 15:17

Je vais essayer de trouver un moment dans la soirée pour rédiger une solution un peu plus détaillée , ma méthode semble en effet un peu plus rapide que la tienne mais je fais parfois des parenthèses qui une fois comblées donnent une démonstration franchement lourde .

Imod

par **Imod** » 07 Fév 2007, 18:07

Allons-y pour les calculs ( ma bête noire ) .

On considère un triangle ABC à côtés entiers a , b , c et de médianes [BI] et [CJ] perpendiculaires ( voir figure ) . En remarquant que le centre de gravité se situe au 2/3 des médianes , la propriété de Pythagore donne immédiatement :

On remarque que

tels que :

Et

donc :

Comme

,

.

Il reste à trouver comment choisir

et

avec

pour que

. D'autre part

si et seulement si

. Le système précédent correspond donc à une solution si et seulement si

.

Imod

par **yos** » 07 Fév 2007, 19:05

Cela me semble très bien.
Juste une remarque : tu utilises un triplet pythagoricien primitif, ce qui nécessite de savoir des choses sur a,g,h.

par **Imod** » 07 Fév 2007, 19:48

D'accord , yos , je me suis posé la question quand j'ai rédigé ma réponse mais j'ai eu la flemme d'y réfléchir :--: ( paresse quand tu nous tiens ! )

Imod

par **yos** » 07 Fév 2007, 20:55

Imod a écrit:D'accord , yos , je me suis posé la question quand j'ai rédigé ma réponse mais j'ai eu la flemme d'y réfléchir :--: ( paresse quand tu nous tiens ! )

Imod

De toute façon ta solution est excellente. C'est pas en ce moment que je tirerai cela au clair car je suis débordé.

par **yos** » 15 Mai 2007, 14:49

Voir le problème du concours général 2007 : à croire qu'ils se sont inspirés de ce défi.
http://igmaths.net/ rubrique lycée

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