Défi 32

[Imod]

Un nouveau défi que j'avais déjà proposé dans la section olympiades sans réponse . J'ai une solution franchement horrible qui ne me convient absolument pas , si quelqu'un pouvait y réfléchir ?

On se donne un entier supérieur à 1 , montrer que :



L'implication réciproque ne pose aucun problème mais le sens direct est vraiment ardu :we:

Merci d'avance .

Imod

[BiZi]

Ca me rappelle quelque chose ca :briques:

[namfoodle sheppen]

on va prouver par recurrence sur b€N la contraposée. " b n'est pas une puissance de a => (il existe n€N tel que (b^n-1)/(a^n-1) ne soit pas entier) "
pour ba; si b n'est pas une puissance de a alors il existe k,p tel que b=k*a^p et tel que a ne divise pas k. A fortiori k n'est pas une puissance de a (et k(b^n-1)/(a^n-1)= (k^n*a^(pn)-k^n+k^n-1)/(a^n-1)
= k^n(1+a^n+a^2n+...+a^(n(p-1))+ (k^n-1)/(a^n-1)
et donc (b^n-1)/(a^n-1) n'est pas entier.

[Imod]

Soit b>a; si b n'est pas une puissance de a alors il existe k,p tel que b=k*a^p et tel que a ne divise pas k. A fortiori k n'est pas une puissance de a (et k<b).

Donc a divise b ? Pourquoi ?

Il est clair que les facteurs premiers de b sont aussi facteurs premiers de a mais en déduire que a divise b ? Il faudrait expliquer un peu . Sinon la suite marche très bien mais il manque un maillon :doh:

Imod

[namfoodle sheppen]

oui excusez moi j'avais complètement occulté que si p=0 la récurrence tombe à l'eau. :hum:

[yos]

Je suis d'accord qu'il suffit de prouver que a|b.
Le fait que tout facteur premier de b est facteur premier de a ne me saute pas aux yeux cependant. C'est vraiment évident?

[BiZi]

Je suis d'accord qu'il suffit de prouver que a|b.
Le fait que tout facteur premier de b est facteur premier de a ne me saute pas aux yeux cependant. C'est vraiment évident?

On est dans la section supérieur ici, apparemment y'en a qui se sont trompés de catégorie....

[namfoodle sheppen]

euh bizi pourquoi dis-tu ça ? tu as une solution peut être a partager avec nous ? :zen:

[yos]

On est dans la section supérieur ici, apparemment y'en a qui se sont trompés de catégorie....

Que veux-tu dire? Le problème devrait figurer au collège? Ou moi peut-être? Quoi qu'il en soit ça répond pas à ma question.

[Imod]

Pour répondre à yos ( niveau un peu plus que collège ) , si premier ne divise pas , ( Fermat ) . Au contraire , si divise alors n'est pas inversible modulo donc pour tout , n'est pas congru à 1 [Mod p] , donc .

Il reste du travail sur la planche :we:

Imod

[BiZi]

Pour répondre à yos ( niveau un peu plus que collège ) , si premier ne divise pas , ( Fermat ) . Au contraire , si divise alors n'est pas inversible modulo donc pour tout , n'est pas congru à 1 [Mod p] , donc .

Il reste du travail sur la planche :we:

Imod

Moi quand j'avais proposé cette approche je m'étais fait rembarré :briques:

et yos je plaisantais bien sûr, c'était juste une petite vengeance de ta remarque acide sur la convergence de (1+1/n)^n, je sais pas si tu te souviens :lol4:

[yos]

et yos je plaisantais bien sûr, c'était juste une petite vengeance de ta remarque acide sur la convergence de (1+1/n)^n, je sais pas si tu te souviens

Acide moi? On me surnomme pH13 !!

[Imod]

Un peu de miel , un peu de poivre , c'est la vie ! Il faut parfois accepter d'être un peu bousculé , souvent pour son bien !

Imod

PS : Actuellement mon PH doit-être à peu près 7 mais il peut fluctuer dans un sens comme dans l'autre ( on n'est pas des machines ) et je supplie ceux qui ne peuvent pas me supporter d'envoyer aussi leurs critiques :we:

[sue]

je supplie ceux qui ne peuvent pas me supporter d'envoyer aussi leurs critiques

moi Imod , pourquoi ? je sais pas désolée :triste:




je plaisante biensûr ^^, à propos , sont sympas tes défis !

[sue]

euh Imod j'ai peur que tu n'as pas remarqué mon message en blanc ! je plaisantai bien evidemment :we:
en tout cas , désolée j'étais un peu distraite hier soir :lol2:

[Imod]

Moi quand j'avais proposé cette approche je m'étais fait rembarré :briques:

Je vois pas ce qui est critiquable dans ce raisonnement ?

Imod

[BiZi]

Moi quand j'avais proposé cette approche je m'étais fait rembarré :briques:QUOTE]

Je vois pas ce qui est critiquable dans ce raisonnement ?

Imod

Tu dois le savoir mieux que moi c'est toi qui m'avait fait la remarque :lol4:

[Imod]

Tu dois le savoir mieux que moi c'est toi qui m'avait fait la remarque :lol4:

Peux-tu me donner la référence ( je n'en garde aucun souvenir ) .

Imod

[BiZi]

Peux-tu me donner la référence ( je n'en garde aucun souvenir ) .

Imod

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=21924

:ptdr:

[Imod]

Bonjour,

Comme (b-1)/(a-1) est un entier naturel et que a-1 est un entier naturel, b-1 est aussi un entier naturel et finalement b est un entier naturel.

On peut déjà montrer que l'ensemble des diviseurs de b est inclus dans l'ensemble des diviseurs de a.
Soit p un diviseur de b. Raisonnons par l'absurde et supposons que p ne divise pas a. D'après le petit théorème de Fermat, on a alors a^(p-1)=1 modulo (p) d'où p divise a^(p-1)-1. Or a^(p-1)-1 divise b^(p-1)-1 ce qui est absurde.

Ensuite, on pourrait montrer que réciproquement l'ensemble des diviseurs de a est inclus dans l'ensemble des diviseurs de b. Enfin, il faudrait travailler sur les valuations p-adiques pour conclure.

Sur ce, je vous laisse :ptdr:

Ma critique portait sur le "Ensuite, on pourrait montrer que réciproquement ..." La difficulté de l'exercice est à ce niveau et l'évacuer par un "On pourrait ..." m'avait semblé ( et me semble toujours ) un peu léger . Mais je ne cherchais pas à t'offencer , le problème reste ouvert :we:

Imod